高中数学人教B版必修三《7.1.2弧度制及其与角度制的换算》习题含答案.docx

7.1.2 《弧度制及其与角度制的换算》习题含答案

一、选择题
1.下列转化结果错误的是( )

π
A． 60°化成弧度是3

10
B ．－ 3 π 化成度是－600°

7
C．－150°化成弧度是－6 π

π
D． 12 化成度是 15°

2.若圆的半径变成原来的 2 倍,扇形的弧长也变成原来的 2 倍,则( )

A.扇形的面积不变
C.扇形的面积增加到原来的 2 倍
3.若 α＝－3，则角 α 的终边在( )

B.扇形的圆心角不变
D.扇形的圆心角增加到原来的 2 倍

A．第一象限
C．第三象限

B．第二象限
D．第四象限

4.若 α 是第四象限角，则 π－α 是( )

A．第一象限角
C．第三象限角

B．第二象限角
D．第四象限角

5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )

π
A． 6

π
B． 3

C． 3 D． 3
6.将 1920°转化为弧度数为( )

16
A． 3

32
B． 3

16π
C． 3

32π
D． 3

11
7 ．把－ 4 π 表示成 θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的 θ 值是( )

3π
A．－ 4

π
B ．－4

π
C． 4

3π
D． 4

8.集合 P＝ {α|2kπ≤α≤(2k＋1)π， k∈Z}， Q ＝{α|－4≤α≤4}，则 P∩Q＝( )
A． B． {α|－4≤α≤－π，或 0≤α≤π}
C． {α|－4≤α≤4} D． {α|0≤α≤π}
9．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A． 2 B． sin 2

2
C． sin 1 D． 2sin 1
10．已知角 α 的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α 终边上的一点 P 到原点 的距离为 2，若 α ＝4(π)，则点 P 的坐标为( )
A． (1， 2) B． ( 2， 1)
C． ( 2， 2) D． (1,1)
11．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )

A． 2
C． 6

B． 4
D． 8

12. 已知 ,则角 α 的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
13．在△ABC 中，若 A ∶B ∶ C＝3 ∶5 ∶7，则角 A， B， C 的弧度数分别为______________．
14．已知扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100°，则该扇形的面积为________cm2.
15．已知扇形的圆心角为6 ，面积为3 ，则扇形的弧长＝________，半径＝ ．
8 α
π π

16．若角 α 的终边与 5 π 角的终边相同，则在 [0,2π]上，终边与 4 角的终边相同的角是 ________．
三、解答题
17．已知角 α＝1200° .
(1)将 α 改写成 β＋2kπ (k∈Z ,0≤β<2π)的形式，并指出α 是第几象限的角；
(2)在区间[－4π， π]上找出与 α 终边相同的角．

18.已知一扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l.
(1)若 α＝60°， R＝10 cm，求扇形的弧长 l；
(2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2 ，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

19.某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合.设秒针端点 A 转过的路程为 d cm,所形成的扇形面积为 S cm2, 求当 t∈[0,60]时 d 与 S 关于时间 t(s)的函数关系式．

π
20．如图，动点 P， Q 从点 A(4,0)出发，沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转3弧度，
π
点 Q 按顺时针方向每秒钟转6弧度，求 P， Q 第一次相遇时所用的时间及 P， Q 点各自走过
的弧长．

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算答案
一、选择题 1. C 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. A 8. B 9. C 10. D 11.C 12. A 、 B

5 3 15
π π 7π 二、填空题 13. ， ，

360
14.
π

π
3
15. ， 2

2π 9π 7π 19π
16. ， ， ，
5 10 5 10

三、解答题
17. 解析： (1)∵α＝1 200°＝1 200×18(π)0＝2 3(0)π＝3×2π＋3(2π)，

π 2π 2π
又2< 3 <π ，∴角α 与 3 的终边相同 ，∴角α 是第二象限的角．
(2)∵与角 α 终边相同的角(含角 α 在内)为 2kπ＋3(2π)，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋3(2π)≤π，得－3(7)≤k≤6(1) . ∵k∈Z ，∴k＝－2 或 k＝－ 1 或 k＝0.
故在区间[－4π ，π]上与角 α 终边相同的角是－ 10π ，－4π ，2π .
3 3 3

π π 10π
18. 解析： (1)因为 α＝60°＝ 3rad，所以 l ＝α · R ＝3 × 10＝ 3 (cm).
(|2R＋Rα ＝ 10， (|R ＝ 1， (|R＝4， 1
|2α R2＝4 |α ＝8 |α＝2．
(2)由题意得〈 1 〈 (舍去)或〈 1 故扇形圆心角为2rad.

(3)由已知得 l＋2R＝20，所以 S＝2(1)lR＝2(1)(20－2R)R＝10R－R2＝－ (R－5)2＋25，
所以当 R＝5 cm 时， S 取得最大值 25 cm2 ，此时 l＝10 cm， α＝2 rad.

19. 解析：因为秒针的旋转方向为顺时针, 所以 t s 后秒针端点 A 转过的角 α =- rad,

所以秒针端点 A 转过的路程为d=|α|· r= (cm),

所以转过的扇形面积为
d= (t∈[0,60]),S=
(cm2).所以
|α|· r2 =
(t∈
S=

[0,60]).

答： d= (t∈[0,60]),S= (t∈[0,60])
20.解析： 设 P，Q 第一次相遇时所用的时间是t，则 t · 3(π)＋t · |－6(π)|＝2π .解得 t＝4.

所以第一次相遇时所用的时间是 4 秒．
π 4π
第一次相遇时点 P 已经运动到角3 · 4＝ 3 的终边与圆交点的位置， 点 Q 已经运动到角－
2π 4π 16π
3 的终边与圆交点的位置，所以点 P 走过的弧长为 3 ×4＝ 3 ，
点 Q 走过的弧长为|－3(2π)|×4＝3(2π)×4＝3(8π) .