人教版高中数学必修课后习题答案详解.docx

D

第二章 平面向量
2． 1 平面向量的实际背景及基本概念
练习 (P77)
uu u
1、略 . 2、 AB ， BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.
uu uuur uuur uuur
3、 AB = 2， CD = 2.5， EF = 3， GH = 2 2 .
4、(1)它们的终点相同； (2)它们的终点不同 .
习题 A 组 (P77)
.
1、 (2)
B
C
45°
O
B
A

30°
C

A

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3、与 DE 相等的向量有： AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD, DA；
uuur uu uu
与 FD 相等的向量有： CE , EB .
r uuur uu uur r uuu uuur
4、与a 相等的向量有： CO , QP, SR ；与b 相等的向量有： PM , DO；
r uuur uuur u
与c 相等的向量有： DC , RQ, ST

uuur 3 3
5、 AD = . 6、(1)×； (2) √； (3) √； (4)× . 2
习题 B 组 (P78)
1、海拔和高度都不是向量.
uuu
2、相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对，与
uuu uuur uuur
AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共
有 4 对；模为 2 的向量有 2 对
2． 2 平面向量的线性运算 练习 (P84)
uuur uu
1、图略 . 2、图略 . 3、(1) DA； (2) CB .
r ur ur ur
4、(1) c； (2) f； (3) f； (4) g .

2

练习 (P87)
1、图略 .


uuur
2、 DB，


u CA，


uuur AC，


uuur AD，


u
BA .


3、图略 .

练习 (P90)
1、图略 .
uuur 5 uu uuur 2 uu
2、 AC = AB， BC = AB . 7 7
uu uu 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB
反向.
r r r 7 r r 1 r r 8 r
3、(1) b = 2a； (2) b = a； (3) b = a； (4) b = a . 4 2 9
4、(1)共线； (2)共线 .
r r 11 r 1 r r
5、(1) 3a 2b； (2) a + b； (3) 2ya . 6、图略 . 12 3
习题 A 组 (P91)
1、(1)向东走 20 km； (2)向东走 5 km； (3)向东北走10 2 km；

(4)向西南走5 2 km；(5)向西北走10 2 km；(6)向东南走10 2 km.
2、飞机飞行的路程为 700 km；两次位移的合成是向北偏西 53°方向飞行 500 km. uu uuur
3 、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水
B C
的流速，以 AB、 AD 为邻边作□ ABCD ，则
uuur
AC 表示船实际航行的速度.
uu uuur
在 Rt△ABC 中， AB = 8， AD = 2，
A D 水流方向
uuur uu uuur
所以 AC = AB 2 + AD 2 = 82 + 22 = 2 17
因为 tan 三CAD = 4 ，由计算器得三CAD 必 76。
所以，实际航行的速度是2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76° .
r uu u r r uu r
4、(1) 0； (2) AB； (3) BA； (4) 0； (5) 0； (6) CB； (7) 0 .
5、略
6、不一定构成三角形 . 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非 零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成
三角形.
r r r r r r
7、略 . 8、(1)略； (2)当a 」 b 时， a + b = a b
r r 9、(1) 2a 2b；
r 1 r (3) 3a + b；
r (4) 2(x y)b .
r r r
(2) 10a 22b +10c；

B

r r ur r r ur r r ur
10、 a + b = 4e ， a b = e + 4e ， 3a 2b = 3e +10e
1 1 2 1 2 .
uuur r uuur r
11、如图所示， OC = a， OD = b，
uuur r r
BC = a b .
uuur 1 r r uuur 3 r
uuur r r
DC = b a，
(第 11 题)
uuur
12、 AE
uuur EC
1 r = b，
DE = (b a)， DB = a，
4 4
uuur r r
BC = b a，
4
uuur 1 uuu 1 r r
3 r = b，
4
uuur 1 r r
AN = AM = (a + b) .
4 8
DN = (b a)，
8
13、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，
(第 12 题) G
所以 EF //AC 且 EF = AC，
1
C
2
uuur 1 uuur 即 EF = AC；
2
uuur 1 uuur
同理， HG = AC，
2
uuur uuur
所以 EF = HG .
D
F

B
H

E
A
习题 B 组 (P92)
1、丙地在甲地的北偏东 45°方向，距甲地 1400 km. r r
2、不一定相等，可以验证在a, b 不共线时它们不相等.
(第 13 题) 乙
丙
uuu uuur uuu uuur 1 uuur uuu 1 uu
3、证明：因为MN = AN AM ，而 AN = AC， AM = AB，
3 3
uuu 1 uuur 1 uu 1 uuur uu 1 uuur
甲 (第 1 题)

C
所以 MN = AC AB = (AC AB) = BC .
3 3 3 3
4、(1)四边形 ABCD 为平行四边形，证略
(2)四边形 ABCD 为梯形.
uuur 1 uuur
证明：∵ AD = BC，
3
∴ AD //BC 且 AD 士 BC
D
A
∴四边形 ABCD 为梯形.
(3)四边形 ABCD 为菱形.
(第 4 题(2)) B
uu uuur
证明：∵ AB = DC，
A
C
∴ AB //DC 且 AB = DC
∴四边形 ABCD 为平行四边形
uu uuur
D (第 4 题(3))

M
又 AB = AD
∴四边形 ABCD 为菱形.
5、(1)通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形.

A
D

B
C

uu uu u uuur uuur uuur
证明：因为OA - OB = BA， OD - OC = CD
uu uuur uu uuur
而OA + OC = OB + OD
uu uu uuur uuur
所以OA - OB = OD - OC
u uuur
所以 BA = CD ，即 AB ∥ CD .

因此，四边形 ABCD 为平行四边形.
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示 练习 (P100)
r r r r r r r r
1、(1) a + b = (3,6)， a - b = (-7, 2)； (2) a + b = (1,11)， a - b = (7, -5)；
r r r r r r r r
(3) a + b = (0,0) ， a - b = (4,6) ； (4) a + b = (3, 4)， a - b = (3, -4) .
r r r r
2、 -2a + 4b = (-6, -8)， 4a + 3b = (12,5) .
uu u uu u
3、(1) AB = (3,4)， BA = (-3, -4)； (2) AB = (9, - 1)， BA = (-9,1)；
uu u uu u
(3) AB = (0, 2)， BA = (0, -2)； (4) AB = (5,0)， BA = (-5,0)
uu uuur uu uuur
4、 AB ∥ CD . 证明： AB = (1,- 1)， CD = (1,- 1) ，所以 AB = CD .所以 AB ∥ CD .
5、(1) (3,2)； (2) (1,4)； (3) (4, -5) . 6、 ( ,1) 或( , - 1) 3 3
10 14

uu 3 uu uu 3 uu
7、解：设 P(x, y) ，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且 AP = PB ，得 AP = - PB 2 2
uu uu
AP = (x, y) - (2,3) = (x - 2, y - 3)， PB = (4, -3) - (x, y) = (4 - x, -3 - y)

3
∴(x - 2, y - 3) = - (4 - x, -3 - y)
2

x - 2 = - 2(3) (4 - x)
∴ 〈
y - 3 = - 2(3) (-3 - y)

(x = 8
∴ 〈 ，所以点 P 的坐标为(8, - 15) .
y = - 15
习题 A 组 (P101)
1、(1) (-2,1)； (2) (0,8) ； (3) (1,2) .

说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 .
u u
2、 F + F + F = (8,0) 1 2 3

uu uuur
3 、解法一： OA = (1,2)， BC = (5 3,6 (1)) = (2,7)
uuur uuur uuur uu uuur uu uuur
而 AD = BC， OD = OA + AD = OA + BC = (1,5) . 所以点 D 的坐标为

(1,5).

uuur
解法二：设 D(x, y) ，则 AD = (x (1), y (2)) = (x +1, y + 2)，

uuur uuur (x +1 = 2
y + 2 = 7
由 AD = BC 可得， 〈 ，解得点 D 的坐标为(1,5) .

uu uu
4、解： OA = (1,1)， AB = (2, 4) .
AC = AB = (1,2)， AD = 2AB = (4,8)， AE = AB = (1,2) .
uuur 1 uu uuur uu uuur 1 uu
2 2
uuur uu uuur
OC = OA + AC = (0,3) ，所以，点 C 的坐标为(0,3) ；
uuur uu uuur
OD = OA + AD = (3,9) ，所以，点 D 的坐标为(3,9)；
uuur uu uuur
OE = OA + AE = (2, 1) ，所以，点 E 的坐标为(2, 1) .
5、由向量a, b 共线得(2,3) = 入 (x, 6) ，所以 = ，解得 x = 4 .
r r 2 3
x 6
uu uuur uuur uu uu uu
6、 AB = (4, 4)， CD = (8, 8)， CD = 2AB ，所以 AB 与CD 共线.
uuur uu
7、 OA = 2OA = (2, 4) ，所以点 A 的坐标为(2, 4)；
uuur uu
OB = 3OB = (3,9) ，所以点 B 的坐标为(3,9)； 故
uuuur
AB = (3,9) (2, 4) = (5,5)
习题 B 组 (P101)
uu uu
1、 OA = (1,2)， AB = (3,3) .
uu uu uu uu
当t = 1时， OP = OA + AB = OB = (4,5) ，所以 P(4,5) ；

1 uu uu 1 uu 3 3 5 7 5 7
当 t = 时， OP = OA + AB = (1,2) + ( , ) = ( , ) ，所以 P( , )；
2 2 2 2 2 2 2 2
uu uu uu
当t = 2 时， OP = OA 2AB = (1,2) (6,6) = (5, 4) ，所以 P(5,4)；
uu uu uu
当t = 2 时， OP = OA + 2AB = (1,2) + (6,6) = (7,8) ，所以 P(7,8) .

uu uuur uu uuur
2、(1)因为 AB = (一4, 一6)， AC = (1,1.5) ，所以 AB = 一4AC ，所以 A、 B、 C 三点共
线；
uuur uu uu uuur
(2)因为 PQ = (1.5,一2)， PR = (6, 一8) ，所以 PR = 4PQ ，所以 P、 Q 、 R 三点共
线；
uuur uuur uuur uuur
(3)因为 EF = (一8, 一4)， EG = (一 1,一0.5) ，所以 EF = 8EG ，所以 E、 F、 G 三点
共线.
ur r ur 入
1 1 1 2 2 1 入 2 .
3、证明：假设入 士 0 ，则由入 e + 入 e = 0 ，得e = 一 2 e
1
ur ur
所以 e , e 是共线向量，与已知 e , e 是平面内的一组基底矛盾,
1 2 1 2
因此假设错误， 入 = 0 . 同理入 = 0 . 综上入 = 入 = 0 .
1 2 1 2

4、(1)

uu
OP = 19 .

uu ur
(2) 对于任意向量OP = xe + ye ， x, y 都是唯一确定的，
1 2
所以向量的坐标表示的规定合理.

2． 4 平面向量的数量积
练习 (P106)
ur r ur r ur r 1
1、 p . q = p . q . cos 想 p, q >= 8人 6人 = 24 . 2
r r r r
2、当a .b想 0 时， 编ABC 为钝角三角形；当a .b = 0 时， 编ABC 为直角三角形.

3、投影分别为3 2， 0， 一3 2 . 图略
练习 (P107)
r r r r
1、 a = (一3)2 + 42 = 5， b = 52 + 22 = 29， a .b = 一3人 5 + 4 人 2 = 一7 .
r r r r r r r r r r r
2、 a .b = 8， (a + b)(a 一 b) = 一7， a . (b + c) = 0， (a + b)2 = 49 .
r r r r
3、 a .b = 1， a = 13， b = 74， 9 必 88o .
习题 A 组 (P108)
一6 3， ( )2 = a(r) 2 2 = 25 一 一 12 3 .
uu u uuur u
2、 BC 与CA 的夹角为 120°， BC .CA = 一20 .
r r r r r r r r r r r r
3、 a + b = a2 + 2a .b + b2 = 23， a 一 b = a2 一 2a .b + b2 = 35 .
r r
4、证法一：设a 与b 的夹角为9 .
(1)当 入 = 0 时，等式显然成立；

r r r r
(2)当入 > 0 时， 入a 与b， a 与入 b 的夹角都为9 ，
r r r r r r r r r r
所以 (入a) .b = 入a b cos9 = 入 a b cos9 入(a.b) = 入 a b cos9
r r r r r r
所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；
r r r r
(3)当入 想 0 时， 入a 与b， a 与入 b 的夹角都为180o一 9 ，
r r r r r r
则 (入a) .b = 入a b cos(180o 一 9 ) = 一 入 a b cos9
r r r r r r
所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；
综上所述，等式成立.
r r
证法二：设a = (x , y )， b = (x , y )，
1 1 2 2
r r
那么 (入a) .b = (入x , 入y ) .(x , y ) = 入x x +入y y
1 1 2 2 1 2 1 2
r r r r r r
所以 (入a) .b = 入(a .b) = a . (入b)；
5、(1)直角三角形， 三B 为直角.
u uuur
证明：∵ BA = (一 1,一4) 一 (5, 2) = (一6, 一6)， BC = (3, 4) 一 (5, 2) = (一2, 2)
u uuur
∴ BA. BC = 一6 人(一2) + (一6) 人 2 = 0
u uuur
∴ BA 」BC， 三B 为直角， 编ABC 为直角三角形
(2)直角三角形， 三A 为直角
uu uuur
证明：∵ AB = (19,4) 一 (一2, 一3) = (21,7)， AC = (一 1,一6) 一 (一2, 一3) = (1,一3)
uu uuur
∴ AB . AC = 21人1+ 7 人(一3) = 0
uu uuur
∴ AB 」AC， 三A 为直角， 编ABC 为直角三角形
(3)直角三角形， 三B 为直角
u uuur
证明：∵ BA = (2,5) 一 (5, 2) = (一3,3)， BC = (10,7) 一 (5, 2) = (5,5)
u uuur
∴ BA. BC = 一3人 5 + 3人 5 = 0
u uuur
∴ BA 」BC， 三B 为直角， 编ABC 为直角三角形
6、 9 = 135o .
7、 9 = 120o .
r r r r r r r r r r
(2a 一 3b)(2a + b) = 4a2 一 4a.b 一 3b2 = 61 ，于是可得a .b = 一6，

r r
cos9 = r(a) . r(b) = 一 1 ，所以9 = 120。.
a b 2
8、 cos9 = 23， 9 = 55。. 40
uu uuur
9、证明：∵ AB = (5, 一2) 一 (1,0) = (4, 一2)， BC = (8, 4) 一 (5, 一2) = (3,6) ，
uu uuur uu uuur
∴ AB = DC， AB . BC = 4 人 3 + (一2) 人 6 = 0

∴ A, B, C, D 为顶点的四边形是矩形.
r
10、解：设a = (x, y)，

( 3 5 ( 3 5
(|x2 + y2 = 9 |x = 5 |x = 一 5
则〈|lx = 2(y) ，解得 〈|ly = 6 55 ，或 〈|ly = 一 6 55 .
r 3 5 6 5 r 3 5 6 5
于是a = ( , ) 或a = (一 , 一 ) .
5 5 5 5
r r
11、解：设与a 垂直的单位向量e = (x, y)，
( 5 ( 5
(x2 + y2 = 1 |x = 5 |x = 一 5
l4x + 2y = 0 | 2 5 | 2 5
则 〈 ，解得 〈 或 〈 .
|ly = 一 5 |ly = 5

r 5 2 5 r 5 2 5
于是e = ( , 一 ) 或e = (一 , ) .
5 5 5 5
习题 B 组 (P108)
r r r r r r r r r r r r r r
1 、证法一： a .b = a . c 一 a .b 一 a . c = 0 一 a . (b 一 c) = 0 一 a 」 (b 一 c)
r r r
证法二：设a = (x , y )， b = (x , y )， c = (x , y ) .
1 1 2 2 3 3
r r r r r r r
先证a .b = a . c 亭 a 」 (b 一 c)
r r r r
a .b = x x + y y ， a . c = x x + y y
1 2 1 2 1 3 1 3
r r r r
由a .b = a . c 得x x + y y = x x + y y ，即 x (x 一 x ) + y ( y 一 y ) = 0
1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3
r r r r r
而b 一 c = (x 一 x , y 一 y ) ，所以a . (b 一 c) = 0
2 3 2 3

r r r r r r r
再证 a 」(b 一 c) 亭 a . b = a . c
r r r
由 a . (b 一 c) = 0 得 x (x 一 x ) + y ( y 一 y ) = 0，
1 2 3 1 2 3
r r r r
即 x x + y y = x x + y y ，因此a . b = a . c
1 2 1