全国数学建模大赛A题获奖论文.docx
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1、全国数学建模大赛 A 题获奖论文城市表层土壤重金属污染分析摘要本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析,建立 模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确 定进行有效的描述、评价和定位。对于重金属空间分布问题,首先基于克里金插值法,应用 Surfer 8 软件对各数据点的分布情况进行模拟,得到了直观的重金属污染空间 分布图形;随后,分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模 型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。对于金属污染的主要原因分析问题,基于因子分析法、问题一的 结果和对各个金属污染物的来源分析等因素,判断出金属污染的主要 原因有:工业生产、汽车尾气排
2、放、石油加工并推测该区域是镍矿富 集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。针对污染源位置确定问题,我们建立了两个模型:模型一以流程 图的形式出现,基于污染传播的一般规律建立模型,求取污染源范围, 模型作用更倾向于确定污染源的位置;模型二基于最小二乘法原理, 建立了拟合二次曲面方程,在有效确定污染源的同时也反映了其传播 特征,模型更加清楚,理论性也更强。在研究城市地质环境的演变模式问题中,我们对针对污染源位置 确定问题所建模型的优缺点进行了评价,同时建立了考虑了时间,地 域环境和传播媒介的污染物传播模型,从而反映了地质的演变。综上所述,本文模型的特点是从简单的模型建立起,强更
3、准确的 数学模型发展,逐步达到目标期望。关键词:重金属污染,克里金插值最小二乘法因子分析流程图一、问题重述问题背景随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城 市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证,以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价,研究人类 活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点。评 价和研究城市土壤重金属污染程度,讨论土壤中重金属的空间分布, 研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机 理,并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议, 不仅有利于城市生态环境良性发展,有利于人类与自然和谐,也有
4、利 于人类社会健康和城市可持续发展 1。按照功能划分,城区一般可分 为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等,不同的区域 环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此,将所考察的城区 划分为间距 1 公里左右的网格子区域,按照每平方公里 1 个采样点对 表层土( 010 厘米深度)进行取样、编号,并用 GPS 记录采样点的 位置。应用专门仪器测试分析,获得了每个样本所含的多种化学元素 的浓度数据。另一方面,按照 2 公里的间距在那些远离人群及工业活 动的自然区取样,将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。目标任务(1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分
5、布,并分析该城区 内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的 位置。(4) 分析所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变 模式,分析还应收集的信息,并进一步探索怎样利用收集的信息建立 模型及解决问题。二、 模型假设1 )忽略地下矿源对污染物浓度的影响;2 )认为海拔对污染物的分布较小,故只在少数模型中讨论其作用; 3 )认为题目中的采样方式是科学的,能够客观反映污染源的分布。三、 符号说明第一问中的符号说明i p 污染物 i 的环境污染指数 i C 污染物 i 的实测值 i S 污染物 i
6、 的背景值max (/)i i C S 土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S 土壤 污染指数的平均值i x i 区域土壤的平均值max()i x i 区域土壤评价因素上限 min()i x i 区域土壤评 价因素下限问题三中模型一的符号说明,x y z 采样点空间坐标值 q 所在功能区L 污染源 C 浓度 R 基准半径rr 污染源范围半径 问题三中模型二的符号说明,x y 采样点坐标值 Z 浓度 C 模型系数 Q 总误 差 问题四符号说明t 城市历史时间统计值()it Y 第 i 种元素在 t 时刻的污染浓度;(i=1,2,8,依次代表 As、 Cd、 Cr、 Cu、 Hg、 N
7、i、 Pb、 Zn ) ilV 第 i 种元素在液态载体中的迁移矢量;igV第 i 种元素在气态载体中的迁移矢量;isV第 i 种元素在固态载体中的迁移矢量;()igt 、()il t 、 ()ist 第 i 种元素在气、液、固三种状态下在 t 时刻的加权值 ()N t 其他因素四、 模型的建立与求解 问题一4.1.1 金属元素在该城区的空间分布针对题目中对于地理坐标的要求,我们选用 Surfer 8 软件对各数 据点的分布情况进行直观的图形求解。首先将数据采集进该软件,接 下来对数据点进行网格化处理。在这里我们采用的是克里金(Kriging ) 插值法。该插值法是一种地质统计网格化方法。它首
8、先考虑的是空间 属性在空间位置上的变异分布,确定对一个待插值点有影响的距离范 围,然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。由于它考虑了 采样点的形状、大小及与待估计地段相互间的空间位置等集合特征以 及品位的空间结构之后,为达到线性、无偏和最小估计方差的估计, 而对每个采样点赋予一定的系数,最后加权平均来估计块段品位的方 法。 2同时由于克里金插值法是一种光滑插值法,相对于多元回归插 值法以及最小曲率插值法等其他插值法在解决像本题这一类数据点较 多的问题内插的结果可信度较高,且在空间问题上具有合理的解决方 式,所以采用该插值法。最后进行制图和统计,具体方法如下:( 1 ) 利用该软件的 地图
9、中的等值线图和线框图功能制作出金属浓度地 理分布图;( 2 )综合等值线图及线框图对重金属高浓度区域进行标注, 分别求出其二维坐标范围;( 3 )从统计数据中分理处该范围内的取样 点数据,得到该城区 8 种主要重金属元素在该城市的空间分布。图 1 各取样点的 As 含量分布图以上为各取样点的 As 含量分布图(其余元素分布图见附件 1 ), 通过分析可得该元素主要分布在如下三个区域:( 1 ) 3703x6391, 6157y= ( 2 ) 11335x14248 , 1584yx19568 , 8933y/x6391, 61573 为重污染; ( 2 )综合污染指数 2-3 为中污染;( 3
10、 )综合污染指数 1-2 为轻污染; (4)综合污染指数 为警戒级;( 5 )综合污染指数 为安全级。从表中我们可以直观的看到,五个功能区的环境污染都十分的严 重,最轻的也为轻度污染,交通区和工业区的污染尤其严重所有 元素都为,而居民区的铅和锌污染很严重,山区的污染程度最轻。但 是这组数据评判标准有一些问题:某些污染指数如Hg 超标十分严重, 超出标准几百倍且在山区也为重污染,这不禁使我们感到这套评价体 系很可能并不使用于该地区的土壤环境评估。对此,我们引入模糊评价标准和模型,并以Hg 为例说明其使数据 的评价作用更符合实际。4.1.3 土壤环境标准隶属函数模型 土壤清洁度的隶属函数:其中 i
11、 x 为 i 区域土壤的平均值, max()i x 为 i 区域土壤评价因素 上限, min()i x 为 i 区域土壤评价因素下限。其中 max()i x 和 min()i x 可由国家评价标准结合本题的背景数据共同完成。以Hg 为例,其国家 标准见表 4改为我们的背景值,同时,为了更加清晰的看到各区的污染程度, 我们采用五级标准制,见表 5Hg 土壤环境标准隶属函数:为清洁,比较符合我们的实际情况。用同样的方法,我们求的了其他七种元素的污染等级,见表 7的建立有所帮助。问题二对于问题二,意在说明重金属污染的主要原因。4.2.1 基于因子分子法判断重金属污染的主要原因多变量研究中,由于变量的
12、个数很多,并且彼此往往存在一定的 相关性,因此使观察的数据反映的信息在一定程度上重叠。因子分析 则是通过一种降维方法进行简化得到综合指标。综合指标之间既互不 相关,又能反映原来的观察指标的信息。因子分析从变量的相关矩阵出发将一个 m 维的随机向量 X 分解成 低于 m 个且有代表性的公因子和一个特殊的 m 维向量,使其公因子数 取得最佳的个数,从而使对 m 维随机向量的研究转化成对较少个数的 公因子的研究。 3题中土壤单点样重金属元素含量的数据特征完全符合因子分析的 要求,在这里以 Hg、 Cd、 Pb、 As、 Cu、 Cr、 Ni、 Zn 八种重金属元 素指标作因子分析,这样在解释各指标变
13、化异常时可以着重讨论综合 指标因子,同时为题中重金属污染成因的解释提供一定的理论依据。下面对各功能区土壤采点样重金属元素含量的数据标准化处理后,经 for windows 统计软件进行因子分析,可得出以下结果。1)给出题中表层土壤 Hg、 Cd、 Pb、 As、 Cu、 Cr、 Ni、 Zn 八种 重金属原始含量数据的相关系数矩阵。表 8 相关系数矩阵表中可见, Ni 和 Cr 的相关系数最大,为,相关性最好,从成因上 来分析,相关性较好的元素可能在成因和来源上有一定的关联。其原 因肯能是:1.工业生产的相互关联性,镍和铬合金是工业上常用的合金。2.考虑到表 7 中山区也含有很高浓度的镍,可以
14、推断该城区富含镍 矿,而对镍矿的开采和镍铬合金的冶炼是其污染的主要原因。其次为 Pb 和 Cd ,相关系数为 0 660 ,这确实出乎我们的意料, 因为一般镍镉合金出现在一起比较多,但了解了 Pb 和 Cd 的物理性质 后,我们不难发现这两种金属的一些共同点:1.它们都广泛用于蓄电池的制造且易于以气态的方式进行传播2.它们都是工业废水的主要组成部分4 。所以推断其污染原因是 工业废水的排放。另外,我们从表 7 中可以看到 Pb 的污染等级很平 均,那是因为像铅在石油中含量很大,故在工业区中其污染原因是石 油能源的燃烧与化工产品的生产;而汽车也以石油为动力源,故在交 通区,其也有广泛的分布;而化
15、工产品的使用,生活区的铅含量有时 会很大,这在附件数据中也有反映,铅的最大浓度出现在生活区。以下依次是 Cr 和 Cu, Pb 和 Cu ,相关系数分别为,其它元素 之间的相关性并不是很好。2 )利用相关系数矩阵求出相应的因子的特征值和累计贡献率,见 表 9表 9 特征值和累计贡献率从表中可见,在累积方差为 (85 )的前提下,分析得 5 个主 因子,可以看到 5 个主因子提供了源资料的信息,满足因子分析的 原则。从上表可以看出旋转前后总的累计贡献率有发生变化,即总的信息量没有损失。而且,表中显示旋转之后,主因子 1 和主因子 2 的方差贡献率均为 22左右,主因子 2 到主因子 5 的方差贡
16、献率的范围为到之间。这可以解释为因子 1 和因子 2 可能为本市土壤重金属污染的最重要的污染源,从而推测出 金属污染的原因主要是本市重金属污染的贡献最大,因子 3、因子 4、 因子 5 对本市重金属污染有重要作用。而从上面分析和下面的因子组 成可知因子 1 和因子 2 主要是工业污染和交通废气污染,故更加确定 了污染原因。 3 )因子的相关分析因子分析的主要目的是将具有相近的因子荷载的各个变量置于一 个公因子之下,正交方差最大旋转使每一个主因子只与最少个数的变 量有相关关系,而使足够多的因子负荷均很小,以便对因子的意义作 出更合理的解释。输出结果见表。表 10 正交方差最大旋转后的矩阵基于旋转
17、理论:变量与某一个因子的联系系数绝对值(载荷)越大, 则该因子与变量关系越近。正交因子解说明:因子 1 为 Cr、 Ni 和 Cu 的组合,这说明这几种土壤重金属污染物可能是同一来源或相似来源; 因子 2 为 Cd 和 Pb 的组合表明两者可能有相似的来源;因子3 为 Hg ; 因子 4 为 As ;因子 5 为 Zn 。这里,我们对 Hg 的污染原因作出分析。 Hg 在土壤的污染严重, 污染区域大多处于某一工业区或某大型污染企业,其来源比较单一, 废气和废水是其污染的主要来源。 56来源重金属矿产开采、冶炼、加工排放的废气、废水和废渣Cr Hg As Pb Ni Mo煤和石油燃烧过程中排放的
18、飘尘Cr Hg As Pb 电镀工业废水Cr Cd Ni Pb Cu Zn 塑料、电池、电子工业排放的废水 Hg Cd Pb Ni ZnHg 工业排放的废水Hg 染料、化工制革工业排放的废水Cr Cd 汽车尾气 Pb 农药、化肥As Cu Cd4.3.1 模型综述对于问题的第三问我们主要采取了两个模型:一是以全体坐标为研究对象,通过假设污染源来进行比较和检索, 从而确定污染源的范围。二是以第一问中的图像和污染源范围为基础,利用已经筛选了的 数据,基于最小二乘法的原理,作出其污染源的目标函数,直接求出 污染源的空间坐标。 4.3.2 模型一根据第一问所得出的 8 种主要重金属元素在该城区的空间分
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