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2023 年中考数学模拟测试试卷(三)

(本试卷满分 120 分，考试时间:120 分钟)
一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1． -2022 的绝对值是( )
A． -2022 B． 2022 C． 1 D． - 1 2022 2022
2． 2021 年 5 月 11 日，第七次全国人口普查结果公布数据显示，与 2010 年第六次全国人口普查相比，增
加 7206 万人，增长 5.38%，年平均增长率为 0.53%，我国人口 10 年来继续保持低速增长态势． 7206 万用 科学记数法表示为( )
A． 7.206×106 B． 72.06×106 C． 7.206×107 D． 0.720 6×108
3．实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数 b 满足 b ＜a，则 b 的值可以是( )

A． -3 B． -2 C． 3 D． 4

第 5 题图

第 3 题图
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m-1=0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )
A． m≥2 B． m≤2 C． m＞2 D． m＜2
5． 如图， ⊙O 是△ABC 的外接圆， 连接 OB， OC． 若⊙O 的半径为 2， ∠BAC=60°， 则弦 BC 的长为 ( )

A． 4 B． 2 3 C． 3 D． 3
6． “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了 50 名八年级学生的视力情况，
得到的数据如下表：

视 力 4.7 以下 4.7 4.8 4.9 4.9 以上

人 数 8 7 9 14 12

则本次调查中视力的众数和中位数分别是( )
A． 4.9 和 4.8 B． 4.8 和 4.8 C． 4.9 和 4.9 D． 4.8 和 4.9
7．已知 x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5 的值是( )

第1页

A． -31 B． 31 C． 41 D． -41
8．如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=6， O 是矩形的对称中心，点 E， F 分别在边 AD， BC 上，连接
OE， OF．若 AE=BF=2，则 OE+OF 的值为( )

A． 2 2 B． 5 2 C． 5 D． 2 5

第 8 题图

第 9 题图

9．如图，在△ACD 中， AD=6， BC=5， AC2=AB (AB+BC)，且△DAB∽△DCA．若 AD=3AP， Q 是线段 AB 上的动点，则 PQ 的最小值是( )

7 6 5 8
A． B． C． D．
2 2 2 5
10．如图，在△ABC 中， CA＝CB＝5 cm， AB＝8 cm，直线 l 经过点 A 且垂直于 AB，现将直线 l 以 1 cm/s 的速度向右匀速移动， 直至经过点 B 时停止移动， 直线 l 与边 AB 交于点 M，与边 AC(或 CB) 交于点N．若 直线 l 移动的时间是x (s)， △AMN 的面积为 y (cm2 )，则 y 与 x 之间函数关系的图象是( )

A B C D 第 10 题图
二、填空题 (本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分)

3
11. 计算： 3-3 - (| 1 |-1= .

12. 有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形，将
这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率为 .
13. 如图，在△ABC 中， AC=4，∠A=60°，∠B=45°， BC 边的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，
连接 CD，则 AB 的长为 .

第 14 题图
第 13 题图

第2页

14. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， D， E 分别是 AB， BC 的中点，连接AE， DE. 若 DE= 9， AE= 15， 2 2
则点 A 到 BC 的距离是.
15. 已知整数 a1， a2， a3， a4， … ，满足下列条件： a1=0， a2=- a + 1， a3=- a + 2， a4=- a + 3， … ，依此 1 2 3
类推，则 a2022=．
16. 如图， 已知等边三角形 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△CBD，点 E， F 分别为线段 AC 和线段 CD 上的
动点．若 AE=CF，有下列结论：①四边形ABDC 为菱形；②△ABE≌△CBF；③△BEF 为等边三角形；④
15
∠CFB=∠CGE；⑤若 CE=3， CF=1，则 BG= ．其中正确的有 . (填序号)
4

第 16 题图
三、解答题 (本大题共 8 小题，共 66 分)
(4 (x - 1)＞3x - 2,
17．(6 分)解不等式组： 〈|l 1 2(+)x + 1 3(-)x ≥1.

18． (6 分) 先化简，再求值： ：(|(1+ a 3))| ，请从-4， -3， 0， 1 中选一个合适的数作为 a 的值

代入求值．

19. (8 分) 在某体育用品商店，购买 30 根跳绳和 60 个毽子共用 720 元，购买 10 根跳绳和 50 个毽子共
用 360 元．

(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2) 该店在“五四”青年节期间开展促销活动， 所有商品按同样的折数打折销售． 节日期间购买 100 根跳绳 和 100 个毽子只需 1800 元，该店的商品按原价的几折销售？

第3页

20. (8 分) 某市为了加快 5G 网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设如图所示的信号发射塔．小军为了知 道发射塔的高度，在地面上选取一点A， 测得发射塔顶端 P 点的仰角是 45°， 再向前走 30 米到达 B 点测得
P 点的仰角是 60°，测得发射塔底部 Q 点的仰角是 30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ 的高度． (结果

第4页
精确到 0.1 米，

3


≈1.732)

第 20 题图

21． (8 分) 如图，点 E， F 分别在正方形 ABCD 的边 AB， AD 上，且 AE＝DF，点 G， H 分别在边 AB， BC 上，且 FG⊥EH，垂足为 P．
(1)求证： FG＝EH；

3
(2)若正方形 ABCD 的边长为 5， AE＝2， tan∠AGF＝ ，求 PF 的长度．
4

第 21 题图

22． (8 分) 如图，直线 y＝kx+b 与双曲线 y＝ m 交于点 A (﹣ 8， 1)， B (2，﹣4)，与两坐标轴分别交 x
于点 C， D，已知点 E (1， 0)，连接 AE， BE．
(1)求 k， b， m 的值；
(2)求△ABE 的面积；

9

(3)作直线 ED，将直线 ED 向上平移 n (n＞0)个单位长度后，与双曲线 y＝ m 有唯一交点，求 n 的值． x

第 22 题图

23． (10 分)如图， AB 是⊙O 的直径， C， D 是⊙O 上两点，且BD =CD ，过点 D 的直线 DE⊥AC 交 AC
的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F，连接 AD， OE 交于点 G．
(1)求证： DE 是⊙O 的切线；
(2)若 = ， ⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积； AG 3
DG 2

(3)连接 BE，在(2)的条件下，求 BE 的长．

第 23 题图
24. (12 分)如图，抛物线 y＝ax2+bx ﹣ 6 与 x 轴相交于 A， B 两点，与 y 轴相交于点 C， OA＝2， OB＝4， 直线 l 是抛物线的对称轴，在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D，连接 AD， BD， BC， CD．
(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点 D 在 x 轴的下方，当△BCD 的面积是 时，求△ABD 的面积； 2
(3)在(2)的条件下，点 M 是 x 轴上一点，点 N 是抛物线上一动点，是否存在点 N，使得以点 B， D，
M， N 为顶点，以 BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第 24 题图

第5页
MN MN 3 3

2022 年中考模拟试卷(三)

一、 1． B 2． C 3． B 4． D 5． B 6． C 7． A 8． D
9． A 解析： 因为△DAB∽△DCA，所以 = ，即 = ，解得 BD=4 (负值舍去) ． CD AD 5 + BD 6
AD BD 6 BD

因为△DAB∽△DCA，所以 AB = AD ，即 AB = 6 ，解得 AC= 3 AB． 将其代入 AC2=AB (AB+BC)，解得
CA CD CA 9 2
AB=4． 所以 AB=BD=4．
1
过点 B 作 BH⊥AD 于点 H，所以 AH= AD=3． 所以 BH= AB2 一 AH 2 = 42 一 32 = 7．
2
因为 AD=3AP， AD=6，所以 AP=2．
当 PQ⊥AB 时， PQ 的值最小．

易证△APQ∽△ABH，所以 AP = PQ ，即 2 = PQ ，解得 PQ= 7 ． 故选 A．
AB BH 4 7 2

10． C 解析： 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D． 在等腰三角形 ABC 中， AC＝5， AD＝ 1 AB＝4，则 CD＝3． 2
在 Rt△ACD 中， tan A＝ ＝ ＝tan B．
CD 3

AD 4
(1)当 0≤x≤4 时，因为 tan A＝ ＝ ＝ ，所以 MN＝ x． AM x 4 4
所以 y＝ AM•MN＝ x• x ＝ x2 ，该函数为开口向上的抛物线的一部分，对称轴为 y 轴．
1 1 3 3

2 2 4 8
(2)当 4＜x≤8 时，同理得 y＝ 1 x• 3 (8 ﹣ x)＝﹣ 3 x2+3x，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称 2 4 8
轴为直线 x＝4．

故选 C．
二、 11． - 3

16. ①②③④


12． 4 13． 2+2 3 14． 36 15． - 1011
5 5
解析： ①由等边三角形及旋转的性质可知 AB=AC=CD=BD，可判断四边形 ABDC 为菱形；

②由于 AE=CF，∠A=∠BCF=60°， AB=CB，根据“SAS”可判定△ABE≌△CBF；③由△ABE≌△CBF 可知 BE=BF，∠ABE=∠CBF，再结合∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，可求出∠EBF=60°，从而证明△BEF 为等边
三角形；④由∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG 可判断∠CFB=∠CGE；⑤易证△CGE∽△
CG CE CG 3 3 3 13
CFB，所以 = ，即 = ，解得 CG= ，从 而 可 求 得 BG=4- = ．综 上 ，① ② ③ ④
CF CB 1 1+ 3 4 4 4

都 正 确．
三、 17． 不等式组的解集为 x＞2． 18.解： 原式=．
第6页

因为 a (a+3) ≠0， a+4≠0，所以 a 不能取 0， -3， -4．所以 a=1．
所以原式= =5．
1+ 4
1
19.解： (1)设跳绳的单价为 x 元/根，毽子的单件为 y 元/个．
10x + 50y = 360. y = 4.
根据题意，得〈(30x + 60y = 720, 解得〈(x = 16,

答：跳绳的单价为 16 元/根，毽子的单件为 4 元/个．
(2)设该店的商品按原价的 a 折销售．
根据题意，得(100×16+100×4) × a =1800．解得 a=9．
10
答：该店的商品按原价的 9 折销售．
20. 解： 如图， 延长 PQ 交直线 AB 于点 C， 则 PC⊥AC．
由已知，得∠PAC=45°， ∠PBC＝60°， ∠QBC＝30°， AB=30 米．
所以∠BPQ＝ ∠PBQ＝30°．所以 PQ＝BQ．
设 PQ＝x 米，则 BQ＝x 米．
3
2
在 Rt△BCQ 中， BC＝BQ ·cos∠QBC＝ x 米，

1
QC＝BQ · sin∠QBC＝ x 米．
2
第 20 题图

在 Rt△APC 中， ∠PAC＝45°，则 AC＝PC．
3 1
所以 AB+BC=PQ+QC，即 30+ x=x+ x．
2 2

解得 x=30+10 3 ．
所以 PQ＝30+10 3 ≈47.3 (米)．
答：信号发射塔 PQ 的高度约为 47.3 米．
21. (1) 证明： 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AD＝AB，∠A＝∠B＝90°．所以∠AGF+∠AFG＝90°．
因为 FG⊥EH，所以∠AGF+∠BEH＝90°．所以∠AFG＝∠BEH．
因为 AE＝DF，所以 AD ﹣ DF＝AB ﹣AE，即 AF＝BE．
(∠A = ∠B,
在△AFG 和△BEH 中，〈 所以△AFG≌△BEH (ASA)．所以 FG＝EH．

(2) 解： 因为 AD＝5， AE＝DF＝2，所以 AF＝3．
在 Rt△AFG 中， tan∠AGF＝ ＝ ，所以 AG＝4．所以 EG＝2．
AF 3
AG 4

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(-8k+b = 1, 1

在 Rt△AFG 中， FG＝ AF 2 + AG2 ＝ 32 + 42 ＝5．
因为∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，所以△AFG∽△PEG．
所以 = ，即 = ．解得 PG＝ ．所以 PF＝FG ﹣ PG＝5 ﹣ ＝．
AG FG 4 5 8 8 17
PG EG PG 2 5 5 5

2k + b = 4. 2
22． 解： (1)因为直线 y＝kx+b 经过点 A (﹣ 8， 1)， B (2，﹣4)，所以〈 解得 k＝﹣ ， b

＝﹣ 3．
m m
因为双曲线 y＝ 过点 A (﹣ 8， 1)，所以 1 ＝ ，解得 m ＝﹣ 8．
x -8
所以 k＝﹣ ， b ＝﹣ 3， m ＝﹣ 8．
1
2
(2)由(1)可得直线 AB 的函数表达式为 y＝﹣ 1 x ﹣ 3． 2
当 y＝0 时，﹣ 1 x ﹣ 3＝0，解得x ＝﹣ 6，即 C (﹣ 6， 0)，所以 OC＝6．
2
由点 E (1， 0)可得 OE＝1，所以 EC＝OE+OC＝1+6＝7．
所以 S△ABE＝S△ACE+S△BCE＝ ×7×1+ ×7×4＝ ．
1 1 35
2 2 2
(3)因为直线 y＝﹣ 1 x﹣3 与 y 轴交于点 D，所以当 x=0 时， y=-3，即 D (0， -3)． 2

(t＝﹣3，
m + t＝0.
设直线 DE 的函数表达式为 y＝mx+t，将点 D (0，﹣ 3)， E (1， 0)代入，得〈 解得 m＝3， t＝

﹣3．所以直线 DE 的函数表达式为 y＝3x ﹣ 3．
8
由(1)可得双曲线的函数表达式为y＝- ．设直线 DE 平移后的函数表达式为 y＝3x ﹣ 3+n，因为直线 DE x
平移后与双曲线 y＝- 8 有唯一交点，所以方程 3x ﹣ 3+n＝- 8 有唯一解，即关于 x 的方程 3x2+ (n ﹣ 3) x+8
x x

＝0 有两个相等的实数根．所以(n ﹣ 3) 2 ﹣ 4×3×8＝0．解得 n1＝3+4 6， n2＝3 ﹣ 4 6 (舍去)．
所以 n 的值为 3+4√6．
23. (1) 证明： 如图，连接 OD．

因为 BD =CD p 所以∠DAB＝∠CAD．
因为 OA＝OD，所以∠DAB＝∠ODA．所以∠CAD＝∠ODA．所以 OD∥AE．
因为 DE⊥AC，所以 DE⊥OD．
因为 OD 是⊙O 的半径，所以 DE 是⊙O 的切线．

第8页
b

第 23 题图
(2) 解： 由(1)知 OD∥AE，所以△OGD∽△EGA．所以 DG OD ． AG EA
因为 DG = 2 ，⊙O 的半径为 2，所以 2 = 2 ．解得 AE＝3．
AG 3 3 EA
如图，连接 BD．因为 DE⊥AE， AB 是⊙O 的直径，所以∠AED＝∠ADB＝90°．
因为∠CAD＝∠DAB，所以△AED∽△ADB．
所以 AE = AD ，即 3 = AD ．解得 AD＝2√3．
AD AB AD 4
在 Rt△ADB 中， cos∠DAB＝ AD ＝ 3 ，所以∠DAB＝30°．
AB 2
所以∠EAF＝60°，∠DOB＝60°．所以∠F＝30°．
2 ＝2 3．
3
＝ ＝
在 Rt△ODF 中， DF＝ OD 2
tan F tan 30
3
所以 S 阴影＝S△ODF ﹣ S 扇形 OBD ＝ 2(1) ×2×2 3 ﹣ =2 3 ﹣ ．
(3)如图，过点 E 作 EM⊥AB 于点 M，连接 BE．
在 Rt△AEM 中， AM＝AE•cos∠EAM＝3×cos 60°＝3× 1 ＝ 3， EM＝AE•sin∠EAM＝3×sin 60°＝3× 3 ＝
2 2 2
3 3 ．所以 MB＝AB ﹣ AM＝4 ﹣ 3 ＝ 5．
2 2 2

2
所以 BE＝ EM 2 MB2 = 3 32 5 2 = 13．
2
24． 解： (1)因为 OA＝2， OB＝4，所以 A (﹣ 2， 0)， B (4， 0)．
3
4a 2b 6 0, a ,

-
把 A (﹣ 2， 0)， B (4， 0)代入抛物线 y＝ax2+bx﹣6，得 16a 4b 6 0. 解得 43
2 .
所以抛物线的函数表达式为 y＝ 3 x2 ﹣ 3 x ﹣ 6．
4 2
(2)如图①，过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，交 BC 于点 H．

第9页

①
第 24 题图
当 x＝0 时， y＝﹣ 6，所以 C (0，﹣ 6)．
设直线 BC 的函数表达式为 y＝kx+n，则〈(4k + n = 0, 解得〈(|k = 2(3) ,
ln = -6. |ln = -6.
所以直线 BC 的函数表达式为 y＝ x ﹣ 6．
3
2
设 D (|(t，4(3) t2 - 2(3) t - 6))| ，则 H(|(t，2(3) t﹣6))| ．所以 DH＝ 2(3) t ﹣ 6 ﹣ (|( 4(3) t2 - 2(3) t - 6))| ＝- 4(3) t2+3t．
因为△BCD 的面积是 2(9) ，所以 2(1) DH·OB= 2(9) ．所以 2(1) (|( - 4(3) t2 +3t))| ×4= 2(9) ．解得 t1＝1， t2＝3．
( 4 )
因为点 D 在直线 l 右侧的抛物线上，所以 D(|3，- 15 )|．

所以△ABD 的面积为 AB·DG= ×6× ＝ ．
1 1 15 45
2 2 4 4
(3)分两种情况：
( 4 )
①如图②，图③，点 N 在 x 轴的上方时，四边形 MNBD 是平行四边形，因为 B (4， 0)， D (|3，- 15 )| ，且
点 M在 x 轴上，所以点N 的纵坐标为15．当y＝ 15 时，即 3 x2 ﹣ 3 x ﹣ 6＝ 15，解得 x1＝1- 14，x2＝1+ 14．所
4 4 4 2 4
( 4 ) ( 4 )
以点 N 的坐标为 (|1- 14，15 )| 或 (|1+ 14，15 )|．

② ③ ④
第 24 题图
15
②如图④，点 N 在 x 轴的下方时，四边形 BDNM 是平行四边形，此时点 N 的纵坐标为- ，点 N 与点 D
4
关于抛物线的对称轴 x=1 对称． 因为点 D 的横坐标为 3，所以点 N 的横坐标为-1．所以点 N 的坐标为

第10页

4
综上，点 N 的坐标为 (|1- 14，15 | 或 (|1+ 14，15 | 或 (| - 1，- 15 |．
(| - 1，- 15 |．

4 4 4
第11页