2023年中考数学复习 锐角三角函数 专题复习练习题 .docx

B．
C．
3

2023 年中考数学复习 锐角三角函数 专题复习练习题
一、单项选择。
1．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB，则 cos A 的值为( )

5
A．
2

1
B．
2

2 5
C．
5

5
D．
5

2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是 BC 边上的中线，BD＝4，AD＝2 5 ，则 tan ∠CAD 的值是( )

A．2 B． 2 C． 3 D． 5
3．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 3，AC＝4，则 sinB 等于( )

A． 13 B． 34 C． 45 D． 23
4. 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD＝5，AC＝6，则 tan B 的值是( )

A． 45 B． 35 C． 34 D． 43

5. 若∠A 为锐角，且 sinA＝ ，则 cosA 等于( ) 2

A．1


3

2


2

2

D． 12

2 3
| ＋( －cosB) 2＝0，则
6．在△ABC 中，∠C，∠B 为锐角，且满足|sinC－
2 2
∠A 的度数为( )
A．100° B．105° C．90° D．60°
7. 如图，点 A 为锐角α边上的任意一点，作 AC⊥BC 于点C，CD⊥AB 于点D，下 列用线段长度比表示 cosα的值错误的是( )

A． BDBC B． BCAB C． ADAC D． CDAC
8. 如图， 四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形， A， B， O 是小正方形顶点， ⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 上的一点，且位于右上方的小正方形内，则sin ∠APB 等于( )

3
2
A．
D．1
B．
2
2
C． 12
9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 5 ，AC＝ 15 ，则∠A 的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
10. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝45 ，AC＝6cm，则 BC 的长度为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D.若 BD∶CD＝3∶2，则 tanB 等于( )

C．
D．

A． 32


B． 23



6

2


6

3


12. 如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为( )

3
A．
3

5
B．
5

2 3
C．
3

2 5
D．
5

13. 消防云梯如图所示， AB⊥BC 于点B， 当点 C 刚好在点 A 的正上方时， DF 的长
是( )

A.a cosθ＋b sinθ B．a cosθ＋b tanθ
C． acosθ ＋b sinθ D． acosθ ＋bsinθ

二、填空题。
14. 如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为 ______．

15. 如图， 在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， △ABC 的顶
点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是．

16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别为 BC，CD 边的中点，连接 AE， BF 交于点 P，连接 PD，则 tan ∠APD＝ ．

17. 如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，cos A＝35 ，BE＝2，则 tan ∠DBE
的值为．

18. 如图，面积为 24 的 ABCD 中，对角线 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE⊥BD 交 BC 的延长线于点 E，DE＝6，则 sin ∠DCE 的值为 ．

19. 如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60°方向，距离灯塔 50 海里的 A 处， 它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的北偏东 45°方向上的 B 处， 此 时 B 处与灯塔P 的距离为 海里．(结果保留根号)

20. 如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经 CD 上点 O 反射后照射到B 点，若入 射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD 于点C，BD⊥CD 于点D，且 AC＝3，BD＝6，CD＝12，则 tanα的值为 ．

21. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 45°方向，距离灯塔 100 海里的 A 处， 它沿正南方向以 50 2 海里/小时的速度航行 t 小时后，到达位于灯塔 P 的南偏
东 30°方向上的点 B 处，则 t＝ _________ 小时．

22. 一般地，当α， β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面 的公式求得：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；

例如： sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°

＋ × ＝1 .
3 1 1
2 2 2
类似地，可以求得 sin15°的值是 ___________．

3
·sin 0°＝ ×
2

三、解答题。
23. 计算：sin230°－ tan60°－ sin245°＋ cos230°.

24. 如图， 在△ABC 中， AD⊥BC， 垂足为点 D， 若 BC＝14， AD＝12， tan∠BAD＝34 ， 求 sinC 的值.

25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A′处，若 EA′的延长线恰好过点 C，求 cos∠CBE 的值．

26. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 AD，BC 相交于点 P，如果 CD＝6，AB＝10，试求 tan ∠BPD 的值．

27. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一边，∠BDC＝ 45°，AD＝4，求 BC 的长．(结果保留根号)

28. 在△ABC 中，AB＝10，AC＝2 7 ，sin B＝12 ，求△ABC 的面积．

29. 如图，B 港口在 A 港口的南偏西 25°方向上，距离 A 港口 100 海里．一艘货 轮航行到 C 处，发现 A 港口在货轮的北偏西 25°方向，B 港口在货轮的北偏西70° 方向．求此时货轮与 A 港口的距离．(结果取整数，参考数据：sin50°≈0.766， cos50°≈0.643，tan50°≈1. 192， 2 ≈1.414)

30. 某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 20 米的发 射塔 AB 如图所示．在山脚平地上的 D 处测得塔底B 的仰角为 30°，向小山前进
80 米到达点 E 处，测得塔顶A 的仰角为 60°，求小山BC 的高度.

31. 某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某 校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架 侧面的截面图如图所示，并测得 AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD ＝75°，四边形 DEFG 为矩形，且 DE＝5 cm.请帮助该小组求出指示牌最高点 A 到 地面 EF 的距离． (结果精确到 0. 1cm，参考数据： sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
tan75°≈3.73， 2 ≈1.41)

1 2 3 1

答案;

一、
1- 13 DADCD BCBDC DDC
二、

14.

15.

16. 17.
18.
19.

1
2

5

5
2
2
24
25
25 6

4
20.
3
21. (1＋ 3 )
6－ 2
22.
4
三、

23. 解：原式＝( )2 － 3 －( )2 ＋( )2 ＝ － 3 2 2 2 2
BD 3 3
24. 解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝ ＝ ，∴
＝ ，∴BD＝9，
BD

12
AD 4 4
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴在 Rt△ADC 中，AC＝
AD2＋CD2 ＝ 122＋52 ＝13，
AD 12
∴sin C＝ ＝
AC 13
25. 解： 由折叠知， A′E＝AE， A′B＝AB＝6， ∠BA′E＝90°， ∴∠BA′C＝90°， ∴A′C＝ BC2 －A′B2 ＝8，设 AE＝x，则A′E＝x，
∴DE＝10－x，CE＝A′C＋A′E＝8＋x.在 Rt△CDE 中，根据勾股定理得(10－x)2

1

＋36＝(8＋x) 2 ，∴x＝2，∴AE＝2，CE＝8＋2＝10 .在 Rt△ABE 中，
BE＝ AB2＋AE2 ＝2 10 ，∴cos ∠AEB＝ ＝ ，∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB，
AE 10
BE 10

10
∴cos ∠CBE＝
10
26. 解：连接 BD，则∠ADB＝90°，∵∠CDA＝∠ABC，∠C＝∠DAB，
∴△CPD∽△APB，∴ ＝ ＝ ，在 Rt△BPD 中，设 PD＝3x，则 BP＝5x，BD
PD CD 3

PB AB 5
＝4x，∴tan ∠BPD＝ ＝
BD 4

PD 3
27. 解：BC 的长为 2 3 ＋2

28. 解：由 sin B＝ 可知∠B＝30°.分两种情况： 2
①当高在△ABC 内，过点 A 作AD⊥BC，

1
垂足为 D，如图①，则在Rt△ABD 中，∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝ AB＝5， 2
BD＝ABcos30°＝10× ＝5 3 ，在 Rt△ADC 中，AC＝2 7 ，
3
2
∴CD＝ AC2－AD2 ＝ (2 7) 2－52 ＝ 3 ，∴BC＝BD＋CD＝6 3 ，
∴S ＝ BC ·AD＝ ×6 3 ×5＝15 3
1 1
△ABC 2 2

②当高在△ABC 外，过点 A 作 AE⊥BC，交BC 的延长
线于点 E，如图②，在Rt△ABE 中，∠B＝30°，AB＝10，
∴AE＝ AB＝5，BE＝ABcos30°＝10× ＝5 3 ，在 Rt△AEC 中，AC＝2 7 ，
1 3
2 2
∴CE＝ AC2－AE2 ＝ (2 7) 2－52 ＝ 3 ，∴BC＝BE－CE＝4 3 ，

∴S ＝1 BC ·AE＝1 ×4 3 ×5＝10 3 . △ABC 2 2
综上所述，△ABC 的面积为 15 3 或 10 3

29. 解：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠BAC＝25°＋25°＝50°， ∠BCA＝70°－25°＝45°，在 Rt△ABD 中，AB＝100(海里)，
∴AD＝AB ·cos 50°≈100×0.643＝64.3(海里)，
BD＝AB ·sin50°≈100×0.766＝76.6(海里)，在 Rt△BDC 中，
CD＝ ＝76 .6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，
BD
tan45°
∴此时货轮与 A 港口的距离约为 141 海里
30. 解：设 BC 为 x 米，则AC＝(20＋x)米，由条件知，∠DBC＝∠AEC＝60°，
DE＝80(米).在 Rt△DBC 中，tan ∠DBC＝ ＝ ＝ 3 ，则 DC＝ 3 x(米)，
DC DC

BC x

AC 20＋x
∴CE＝( 3 x－80)米．在 Rt△ACE 中，tan ∠AEC＝ ＝ ＝ 3 .
CE 3x－80
解得 x＝10＋40 3 . ∴小山 BC 的高度为(10＋40 3 )米
31. 解：如图所示，过点 A 作 AH⊥EF 于点 H，交直线 DG 于点 M，过点 B 作BN⊥ DG 于点 N，BP⊥AH 于点 P，则四边形 BNMP 和四边形 DEHM 均为矩形，∴PM＝BN， MH＝DE＝5 cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝
2 120°－75°＝45°.在 Rt△ABP 中， ∠APB＝90°， AP＝AB ·sin 45°＝100×
2 ＝50 2 (cm)，在 Rt△BCN 中，∠BNC＝90°，BN＝BC · sin 75°≈80×0.97＝ 77.6 (cm)， ∴PM＝BN≈77.6 (cm)， ∴AH＝AP＋PM＋MH≈50 2 ＋77 .6＋5≈153. 1 (cm).答：指示牌最高点 A 到地面EF 的距离约为 153.1 cm