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概率论与数理统计 公式(全)

2011-1-1

第 1 章 随机事件及其概率

1

( 1 )排列 组合公式

(2)加法 和 乘 法 原 理

(3)一些 常见排列

(4)随机 试 验 和 随 机事件

(5)基本 事件、样本 空 间 和 事 件

(6)事件 的 关 系 与 运算

m!
m (m n)!
P n = 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

m!
m n!(m n)!
C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件 (Ø) 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件(Ω)的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B
如果同时有 A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。
A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、 B 同时发生： AnB，或者 AB。 A n B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

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(7 )概率 的 公 理 化 定义

(8 )古典 概型

(9 )几何 概型

(10)加法 公式

(11)减法 公式

(12)条件 概率

业 -A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C)∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC)∪ (BC)
nw A = Uw A
i i
德摩根率： i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B
设业 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A1， A2 ，…有
P(||(Ai))|| = P(Ai )
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° 业 = {o ,o …o }，
1 2 n
2° P(o ) = P(o ) = … P(o ) = 1 。
1 2 n n
设任一事件A ，它是由o ,o …o 组成的，则有
P(A) = {(o ) U (o ) U … 1U (o2 )} =P(m)(o ) + P(o ) + … + P(o )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
L(业)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时， P(B )=1- P(B)
P(AB)
P(A)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，事
件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = 。
P(AB)
P(A)

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(13)乘法 公式

(14)独立 性

(15)全概 公式

(16)贝叶 斯公式

(17)伯努
利概型

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A， A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
P(A A12 … A )n = P(A )1 P(A | A )21 P(A | A A )312 …… P(An | A1A2 … An 1)。
①两个事件的独立性
1 2 n 1 2 n- 1

设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 若事件A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有
P(B | A) = P(AB) = P(A)P(B) = P(B)
P(A) P(A)
若事件A、 B 相互独立， 则可得到A 与B、 A 与B、 A 与B 也都相互独 立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性

设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2 , … , Bn 满足
1°B1, B2 , … , Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2, … , n)，
A 仁Un B
i

2° i=1 ，
则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + … + P(Bn )P(A | Bn )。
设事件 B 1， B2 ，…， Bn 及A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2，…， n，
A 仁Un B
2° i=1 i， P(A) > 0，
则
P(B / A) = P(Bi )P(A/ Bi ) ， i=1， 2，…n。
i n P(B )P(A/ B )
j j
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
P(B )， ( i = 1， 2， …， n )， 通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2， …，
n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
i i

“由果朔因”的推断。
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；

n
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令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验A 发生与 否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 一 p = q ，用Pn (k ) 表
示n 重伯努利试验中A 出现k (0 共 k 共 n) 次的概率，
Pn (k) = C k p k q n一k k = 0,1,2, … , n
， 。

(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布 律

(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度

(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量 的关系

第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各个值的概率，即事
k
件(X=X )的概率为
k
P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k
则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = xk ) p1, p2 , … , pk , … 。
显然分布律应满足下列条件：

xw pk = 1
(2) k =1 。
k = 1,2, …
，
(1) pk > 0，
设 F (x) 是随机变量X 的分布函数， 若存在非负函数f (x)， 对任意实数 x， 有 F (x) = jx f (x)dx
一w ，
则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1°
2°
f (x) > 0
。
j+w f (x)dx = 1
一w 。
P(X = x) 必 P(x < X 共 x + dx) 必 f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X = xk ) = pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。

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设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F (x) = P(X x)
(4)分布
函数

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a < X b) = F (b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a, b] 的概率。分布

函数F(x) 表示随机变量落入区间( – ∞， x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, < x < +；

2° F (x) 是单调不减的函数，即x1 < x2 时，有 F (x1) F (x2)；

3° F () = lim F (x) = 0， F (+) = lim F (x) = 1；
x x+
4° F (x + 0) = F (x) ，即F(x) 是右连续的；

5° P(X = x) = F (x) F(x 0)。
对于离散型随机变量， F (x) = p ；
k
xk x
x
对于连续型随机变量， F (x) = j f (x)dx 。
(5)八大
分布
0- 1 分布

二项分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生

的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为0,1,2, … , n。

P(X = k) = Pn (k) = C n(k) p k q nk ， 其 中
q = 1 p,0 < p < 1, k = 0,1,2, … , n，

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布。 记 为

X ~ B(n, p)。

当n = 1 时， P(X = k) = p k q 1k， k = 0. 1 ，这就是(0- 1)分
布，所以(0- 1)分布是二项分布的特例。

f (x) =〈b - a
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泊松分布 设随机变量 X 的分布律为
P(X = k) = 入 k e-入， 入 > 0， k = 0,1,2 …，
k!
则称随机变量 X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~ 爪 (入) 或
者 P(入 )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ， n → ∞)。

1
超几何分布

几何分布

均匀分布

P(X = k) = M N -M ,
C k • Cn-k k = 0,1,2 … , l
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 P(X = k) = q k -1 p, k = 1,2,3, … ，其中 p≥0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内， 其密度函数f (x) 在[a， b]
1
上为常数 ，即
b - a
a≤x≤b
其他，
| ,
( 1
|l0,

则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。 分布函数为

F (x) = j x f (x)dx =
-w

0，
x - a
,
b - a

1，

x<a，

a≤x≤b
x>b。

当 a≤x <x ≤b 时， X 落在区间(x1 , x2 )内的概率为
1 2
P(x < X < x ) = x2 - x1 。
1 2 b - a

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指数分布
e x ,
f (x)
0,


x 0
,
x 0
,

其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为

1 e x ,
F (x)
0,
记住积分公式：
xn e xdx n!

x 0
,

x<0。

0
正态分布
设随机变量X 的密度函数为
x ，
f (x)
1 e
其中、 0 为常数， 则称随机变量X 服从参数为、 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N ( , 2 )。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于x 对称的；
2° 当x 时， f () 1 为最大值；
2

2
F(若)e(，) dt(的)分布函数为
2
。 。

参数 0、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
X1， e(其)密x22度函数记为
2 ， x ，
分布函数为
(x) 1 e
(x) 是不可求
2

1
Φ(-x) ＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。
如果 X ~ N ( , 2 ) ，则 X ~ N(0,1) 。
2

P(x X x ) x2 x1 。
1 2

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下分位表： P(X )＝a；
a
上分位表： P(X > )＝a 。
a
离散型
X x1, x2, … , xn , …
P(X = xi ) p1, p2 , … , pn , …，
Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：
Y g(x1), g(x2i), … , ig(xn), …
P(Y = yi ) p1, p2, … , pn , … ，
连续型
先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) ＝ P(g(X) ≤
X Y
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。
Y
若有某些 g(xi ) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi ) 的概率。
(6)分位 数

(7)函数 分布
已知 X 的分布列为

第三章 二维随机变量及其分布

1
( 1 )联合 分布

离散型

如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。
设 = (X， Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, …)，
i j
且事件{ = (xi , y j ) }的概率为 pij,,称
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分

布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y X
x
1
x
2
：
x
i

：

y
1
p
11
p
21
：

p
i1

：

y
2
p
12

p
22
：

：

…
…
…

…

y
j
p
1j

p
2j
：

p
ij
：

…
…
…
：
…
：

这里 p 具有下面两个性质：
ij
(1) p ≥0 (i,j=1,2,…)；
ij
(2) p = 1. ij
i j

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1
连续型

对 于 二 维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数

f (x, y)(_w < x < +w,_w < y < +w) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d} 有
P{(X , Y) = D} = jj f (x, y)dxdy,
D
则称飞 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为飞 = (X， Y)的分布
密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y) ≥0;
(2) j+w j+w f (x, y)dxdy = 1. _w _w

(2 )二维 随 机 变 量 的本质
(3 )联合 分布函数

飞 (X = x, Y = y) = 飞 (X = x Y = y)

设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F (x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(O , O ) | _w < X (O ) 共 x,_w < Y(O ) 共 y} 的概率为函数值的一个实值函
1 2 1 2
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 共 F(x, y) 共 1;
(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F (x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1
(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即
F (x, y) = F (x + 0, y), F (x, y) = F (x, y + 0);

(4) F (_w,_w) = F (_w, y) = F (x,_w) = 0, F (+w,+w) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ， 1 2 1 2

(4 )离散 型 与 连 续 型的关系

F (x， y ) _ F (x， y ) _ F (x， y ) + F (x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
P(X = x， Y = y) 如 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 如 f (x， y)dxdy

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(5 )边缘 分布

离散型

连续型

X 的边缘分布为
P = P(X = x ) = x
i• i
j
Y 的边缘分布为
P = P(Y = y ) = x
• j j
i
X 的边缘分布密度为


p (i, j = 1,2, …)；
ij

p (i, j = 1,2, …)。
ij

f (x) = j +w f (x, y)dy；
X
-w
Y 的边缘分布密度为
f (y) = j +w f (x, y)dx.
-w
Y

(6 )条件 分布

(7 )独立 性

离散型

连续型

一般型
离散型

连续型

在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j
P(X = x | Y = y ) = ij ,
p
i j p • j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (y)
f (x | y) = f (x, y)；
Y

在已知 X=x
f (y | x) =
的条件下， Y 的条件分布密度为
f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
pij = pi• p • j
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
X Y
直接判断，充要条件：
①可分离变量

二维正态分 布

②正概率密度区间为矩形

f (x, y) =
1
2爪装 装 1 - p 2
1 2
p ＝0


e- 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p (x1 )装(2y - 山2 ) + (||( y装(-)2(山)2 ))||2 ,

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随机变量的 函数

若 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n
h (X， X , …X )和 g (X , …X )相互独立。
1 2 m m+1 n
特例：若 X 与Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。
例如：若 X 与Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。

(8 )二维 设随机向量(X， Y)的分布密度函数为

均匀分布

S1D
f (x, y) =〈|0,



(x, y) D

其他

其中 S 为区域 D 的面积，则称(X， Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X， Y)~
D
U (D)。
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1

O

D
1
1


x

图 3.1

y
1
D2
O
1

图 3.2

y
d
D3
c
O a
图 3.3


2 x

b x

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1
(9 )二维 正态分布

(10)函数 分布

设随机向量(X， Y)的分布密度函数为
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( x1 )装(2y - 山2 ) + (||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,
2爪装 装 1 - p 2
1 2
其中 山 , 山 装 > 0, 装 > 0, | p |< 1是 5 个参数，则称(X， Y)服从二维正态分
1 2 , 1 2
布，
记为(X， Y)~N ( 山 , 山 装 2 ,装 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，
即 X~N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

Z=X+Y

Z=max,min(
X1,X2, …Xn)
根据定义计算： F (z) = P(Z 三 z) = P(X + Y 三 z)
Z

对于连续型， fZ(z) ＝ j f (x, z - x)dx
+w

-w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 )。
1 2 1 2
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
山 = x C 山 ， 装 2 = x C 2 装 2
i i i i
i i
若 X , X … X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
1 2 n
Fx1 (x)， Fx2 (x) … Fxn (x) ，则 Z=max,min(X1,X2, …Xn)的分布
函数为：
F (x) = F (x) • F (x) … F (x)
max x1 x2 xn
F (x) = 1 - [1 - F (x)] • [1 - F (x)] … [1 - F (x)]
min x1 x2 xn

X
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设 n 个随机变量X , X , … , X 相互独立，且服从标准正态分
1 2 n
布，可以证明它们的平方和
W = xn

的分布密度为
u > 0,

u < 0.
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 X 2 分布，记为 W~ X 2 (n)，
其中
r(| n )| = j +w x 2(n) -1 e -x dx.
( 2 ) 0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数