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概率论与数理统计 公式

第 1 章 随机事件及其概率

1
随 机 试 验 和 随 机 事 件

基本事件、 样 本 空 间 和事件

)事件的关 系与运算

概 率 的 公 理化定义

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A，B，C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件 (Ø) 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件(Ω)的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B
如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件： A U B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可
表示为 A-AB 或者AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生： A n B，或者 AB。An B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
n U
A = A
德摩根率： i i A U B = A n B， A n B = A U B
i=1 i=1
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A 1， A 2，…有

概率论与数理统计 公式

1

古典概型

几何概型

加法公式

减法公式

条件概率

)乘法公式

独立性

P(||(w(U)Ai ))|| = xw P(Ai )
常称为可列(完全) 可i=加1性。 i=1
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° Q = {O ,O …O }，
1 2° P(O ) = P(O ) = … P(O ) = 。
1 2 n

1 2 n n
A)(任) )(件) )(它)U(是)由… …)}mP，P )(有) + … + P(O )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
L(A)
P(A) = 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
L(Q)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B 仁 A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
P(AB)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，事
P(A)
P(AB)
件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = 。
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 亭 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A ，A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
1 2 … n 1 2 1 3 1 2 …… n 1 2 …
P(A A A ) =1 P A )P(nA | A )P1(A2 | An-1 A ) P(A | A A
A )
n - 1 。
①两个事件的独立性
设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 若事件A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有
P(AB) P(A)P(B)
P(B | A) = = = P(B)
P(A) P(A)
若事件A、 B 相互独立， 则可得到A 与B、 A 与B、 A 与B 也都相互独 立。

概率论与数理统计 公式

全概公式

贝 叶 斯 公 式

伯 努 利 概 型

必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2, … , Bn 满足
1° B1, B2, … , Bn 两两互不相容， P(Bi) > 0(i = 1,2, … , n)，
A 仁 Un B
2° i，
i=1
则有
P(A) = P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B ) + … + P(B )P(A | B )
1 1 2 2 n n 。
设事件B1， B2 ，…， Bn及A 满足
，
1° B1， B2 ，…， B n两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1，2，…， n
A 仁 Un B
2° i， P(A) > 0，
i=1
则
P(B )P(A/ B )
P(B / A) = i i ，i=1，2，…n。
i n P(B )P(A/ B )
j j
此公式即为贝j 叶(=1)斯公式。
P(B )， ( i = 1， 2， …， n )， 通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2， …，
n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
i i

“由果朔因”的推断。
我们作了n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生； 令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p = q ，用Pn (k) 表
示n 重伯努利试验中A 出现k(0 k n) 次的概率，

P (k) = C k pk qnk k = 0,1,2,… , n
n
， 。
n

j
概率论与数理统计 公式

第二章 随机变量及其分布

设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
件(X=X )的概率为 k
P(Xk=x )=p ，k=1,2,…，
则称上k 式为k 离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = x ) p , p , … , p , …
k 1 2 k 。
显然分布律应满足下列条件：
(1) pk > 0， k = 1,2, k = 1。
设 F(x) 是随机变量X 的分布函数， 若存在非负函数f (x)， 对任意实数 x， 有

，
一w
则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概 率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
f (x) > 0
。

。
一w
P(X = x) 则 P(x < X 共 x + dx) 则 f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布 律

(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度

(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量
的关系
F(x) = jx f (x)dx
P(X = x ) = p
k k
+w f (x)dx = 1
1°

2°
在离

概率论与数理统计 公式

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) = P(X x)
(4)分布
函数

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a < X b) = F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b] 的概率。分布

函数F(x) 表示随机变量落入区间( – ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, < x < +；

2° F(x) 是单调不减的函数，即x < x 时，有 F(x ) F(x )；
1 2 1 2
3° F() = lim F(x) = 0， F(+) = lim F(x) = 1；
x x+
4° F(x + 0) = F(x) ，即F(x) 是右连续的；

5° P(X = x) = F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) = p ；
k
xk x
对于连续型随机变量， F(x) = jx f(x)dx 。

(5)八大
分布
0-1 分布

二项分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为 p 。事件A 发生

的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为0,1,2,… , n 。

P(X = k) = P (k) = C k p k q nk ， 其 中
n n
q = 1 p,0 < p < 1,k = 0,1,2,… ,n，

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为

X ~ B(n, p) 。

当n = 1时， P(X = k) = pk q1k， k = 0.1 ，这就是(0-1)分
布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。

P(x <1X 2< x ) = x2 - x1 。
1 2 b - a
f (x) =〈|l
概率论与数理统计 公式

1
泊松分布

超几何分布

几何分布

均匀分布

设随机变量X 的分布律为
P(X = k) = 入 k e-入， 入 > 0， k = 0,1,2…，
k!
则称随机变量X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~ 爪 (入) 或
者 P(入 )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ，n → ∞)。
P(X = k) = M N-M ,
C k • Cn-k k = 0,1,2… , l
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 P(X = k) = q k -1 p, k = 1,2,3,… ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内， 其密度函数f (x) 在[a， b]
1
上为常数 ，即
b - a
| ,
a≤x≤b
其他，
( 1

则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为
x<a，
0，
x - a
,
a≤x≤b
x>b。
b - a
1，
F(x) = j x f (x)dx =
-w

当 a≤x <x ≤b 时，X 落在区间( x , x
1 2
)内的概率为

P(x1 X x2 ) 2 1 。
概率论与数理统计 公式

指数分布
e x ,


x 0
,

f (x)
0,

x 0
,

其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为

1 e x ,
F (x)
0,

x 0
,

x<0。

记住积分公式：
xn e xdx n!

0
正态分布
设随机变量X 的密度函数为

f(x) 1 e x ，
其中 、 0 为常数， 则称随机变量X 服从参数为 、
2

的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N( , 2 ) 。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的；
2
2° 当 x 时， f ( ) 1 为最大值；
F(若)(x) 2 ，xe 2)2 dt(的)分。布函数为
X ~ N( , 2 ) X

参数 0 、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
(x) e x2
X ~ N(0,1)1，其密2度函数记为
， ，
2 x

分布函数为
(x) 1 x e t2(2)dt 。
(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
2
2

Φ(-x)＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。

如果 X ~N( , 2) ，则 X ~N(0,1)。
x x

概率论与数理统计 公式

下分位表： P(X )＝a；
a
离散型
已知 X 的分布列为
X x , x , … , x , …
1 2 n
P(X = x ) p , p , … , p , …
Y = g(X ) 的i分布1列 2( y = g(nx ) 互不相等)如下：
Y g(x ), g(x i), … , ig(x ), …
1 2 n
P(Y = y ) p , p , … , p , …
若有某些ig(x ) 相1等， 2则应将对应的n p 相加作为g(x ) 的概率。
i i i
先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y)＝P(g(X)≤
X Y
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。 第三章 二维随机变量及其分布 Y
(6)分位 数
(7)函数 分布
连续型
，
，

1
( 1 )联合 分布

离散型

如果二维随机向量 (X，Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。
设 =(X，Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, …)，
i j
且事件{ = (x , y ) }的概率为 p ,称
i j ij,
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为 =(X，Y)的分布律或称为 X 和 Y
布有时也用下面的概率分布表来表示：
y
y
…
…
…
2
1
Y
X
p
p
p
x
1

2
：
12
11
p
x
22
：
21
：
x
p
…
i
：
i1
：
：
这里 p 具有下面两个性质：
(2) p = 1.
(1) p( ij) ≥0(i,j=1,2,…)； ij

ij
i j
的联合分布律。联合分

y
…
j
p
p
…
1j
…
2j
：
…
：
：

p
ij
：

概率论与数理统计 公式

对 于 二 维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
连续型

f (x, y)(_w < x < +w,_w < y < +w) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d} 有
P{(X , Y) = D} = jj f (x, y)dxdy,
D
则称飞 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为飞 =(X，Y)的分布

密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y)≥0;
(2) j+wj+w f (x, y)dxdy = 1.

1
(2)二维 随 机 变 量 的本质
(3)联合 分布函数

_w _w
飞 (X = x, Y = y) = 飞 (X = x Y = y)

设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F(x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}

称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和 Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(O , O ) | _w < X (O ) 共 x,_w < Y(O ) 共 y}的概率为函数值的一个实值函
1 2 1 2
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 共 F(x, y) 共 1;
(2)F(x,y)分别对 x 和y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F(x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
(3 )2 F1 (x,y)分别对2 x 和 y 是1右连续的2， 即1 2 1
F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);

(4) F(_w,_w) = F(_w, y) = F(x,_w) = 0, F(+w,+w) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ， 1 2 1 2
F(x， y ) _ F (x， y ) _ F(x， y ) + F(x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
(4)离散 型 与 连 续
型的关系
P(X = x， Y = y) 如 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 如 f (x， y)dxdy

概率论与数理统计 公式

1
(5 )边缘 分布

离散型

连续型

X 的边缘分布为
P = P(X = x ) = x i• i
j
Y 的边缘分布为
P = P(Y = y ) = x
• j j
i
X 的边缘分布密度为


p (i, j = 1,2, …)；
ij

p (i, j = 1,2, …)。
ij

(6 )条件 分布

(7 )独立 性


离散型

连续型

一般型
离散型

连续型

二维正态分 布

随机变量的 函数

f (x) = j +w f (x, y)dy；
-w
X
Y 的边缘分布密度为
f ( y) = j +w f (x, y)dx.
-w
Y
在已知 X=x 的条件下，Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下，X 取值的条件分布为
j
p
P(X = x | Y = y ) = ij ,
i j p
• j
在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
f (x, y)
f (x | y) = ；
f ( y)
Y

在已知 X=x

f ( y | x) =
的条件下，Y 的条件分布密度为
f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
p = p p
ij i• • j
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
直接判断，(X) 充要Y条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
2"住 住 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 住(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( xy - 山2 ) + (||( y 住(-)2(山)2 ))||2 ,

p ＝0 1 2
若 X ,X ,…X ,X ,…X 相互独立， h,g 为连续函数，则： h( X1，2X ,…( m)X )m+1和 g n(X ,…X )相互独立。
特例 ：(1) 若2 X 与mY 独立， 则m+ ：(1) h(nX)和 g(Y)独立。
例如：若 X 与Y 独立，则：3X+1和 5Y-2 独立。

概率论与数理统计 公式

(8 )二维 设随机向量(X，Y)的分布密度函数为

1
均匀分布


f (x, y) = 〈|0,



(x, y) D

其他

其中 S 为区域 D 的面积，则称(X，Y)服从D 上的均匀分布，记为(X，Y)~ U(D)。D
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1

O

D
1 1


x

图 3.1

y
1

D
2
O 2 x
1

图 3.2

y
d

c O a
图 3.3


D
3

b x

概率论与数理统计 公式

1
(9 )二维 正态分布


设随机向量(X，Y)的分布密度函数为

2冗装 装 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( xy - 山2 ) + (||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,

1 2
其中 山 , 山 装 > 0,装 > 0,| p |<1是 5 个参数，则称(X，Y)服从二维正态分
1 2, 1 2
布，
记为(X，Y)~N( 山 , 山 装 2 , 装 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，
即 X~N( 山 , 装 2 ),Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~N( 山 , 装 2 ),Y ~ N(山 装 2 ) ，(X，Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

(10)函数
分布

Z=X+Y

根据定义计算： F (z) = P(Z 三 z) = P(X + Y 三 z)
Z

Z
对于连续型，f (z)＝ +jwf (x, z - x)dx
-w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 )。
1 2 1 2
山 = C 山 ， 装 2 = C 2 装 2
n 个相x互独立的正态分布线性组合，仍服从正态分布。

i i
i

i i
i

Z=max,min(
X ,X , …X )
1 2 n

若 X , X … X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
1 2 n

F (x)， F (x) … F (x) ，则
x x x
1 2 n
函数为：
Z=max,min(X ,X , …X )的分布
1 2 n

F (x) = F (x) • F (x) … F (x)
max x x x
1 2 n
F (x) = 1 - [1- F (x)] • [1- F (x)] … [1- F (x)]

min

x
1

x
2

x
n

概率论与数理统计 公式

1
X 2 分布

设 n 个随机变量X , X , … , X 相互独立，且服从标准正态分
1 2 n

布，可以证明它们的平方和

2 i
W = n X

i=1
服从自由度为 n 的X 2 分布，记为 W~ X 2 (n) 。
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。
X 2 分布满足可加性：设

t 分布

F 分布

Y X 2 (n ),
i i
则

Z = k Y ~ X 2 (n + n + … + n ).
i 1 2 k
i=1
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N(0,1),Y ~ X 2 (n),
可以证明函数
X
T
=
Y / n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t(n)。
t (n) = t (n)
1
设 X ~ X 2 (n ), Y ~ X 2 (n ) ，且 X 与 Y 独 立，可 以 证明
1 2
1
X / n
F =
Y / n
2
服从第一个自由度为 n，第二个自由度为 n 的 F 分布，记为F~
f(n , n ). 1
1 2
2

1
F (n , n ) =
1 1 2 F (n , n )
2 1
第四章 随机变量的数字特征

(1) 离散型 连续型

概率论与数