概率论与数理统计公式整理(超全版).docx

第 1 章 随机事件及其概率

1

(1)排列组合公式

(2)加法和乘法原理

(3)一些常见排列

(4)随机试验和随机事件

(5)基本事件、样本空间 和事件

(6)事件的关系与运算


m!
m (m n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

m!
P n =

m n!(m n)! 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
C n =

加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可
由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n
某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种方法来完成， 则这件事可
由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不
能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是

的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件 (Ø) 的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件 (Ω) 的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B
如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。
A、 B 中至少有一个发生的事件： AU B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者AB ，它
表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、 B 同时发生： A B，或者 AB。 A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相
n n
容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C) ∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC) ∪ (BC)

1

(7)概率的公理化定义

(8)古典概型

(9)几何概型

(10)加法公式

(11)减法公式

(12)条件概率

(13)乘法公式

(14)独立性

nw Ai = Uw Ai
德摩根率： i=1 i=1 A U B = A n B， A n B = A U B
设 Q 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P(||(Ai))|| = P(Ai )
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° Q = {o ,o …o }，
1 2 n
2° P(o ) = P(o ) = … P(o ) = 1 。
1 2 n n
设任一事件 A ，它是由 o ,o …o 组成的，则有
P(A)= {(o ) U (o ) U …( 1)U 2(o )}m= P(o ) + P(o ) + … + P(o )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以
使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P(A) = L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。
L(Q)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B 仁 A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时， P(B )=1- P(B)
定义 设 A 、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称P(AB) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为
P(A)
P(B / A) = P(AB) 。
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 亭 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A， A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
P(A1A2 … A n(1)) P(A )P(A1(n) 2 |1 A21) P( n-)A3 | A1A2) …… P(An | A1A2 … An - 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) > 0 ，则有
P(B | A) = = = P(B)
P(AB) P(A)P(B)
P(A) P(A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。

1

(15)全概公式

(16)贝叶斯公式

(17)伯努利概型

必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 1, 2 , n 满足
B B … , B
1° B1, B2 , … , Bn 两两互不相容， P(Bi ) > 0(i = 1,2, … , n)，
A 仁 Un B
i
2° i=1 ， 则有
P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2) + … + P(Bn )P(A | Bn )。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1， 2，…， n，
A 仁 Un Bi P(A) > 0
2° i =1 ， ， 则
P(B / A) = P(Bi )P(A / Bi ) ， i=1， 2，…n。
i n P(B )P(A / B )
j j
j =1
此公式即为贝叶斯公式。
i i
P(B )， ( i = 1， 2，…， n ) ，通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2，…， n )，通常称为后
验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
令 n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 p = q ，用 Pn (k)表示 n 重伯努利试验中 A
出现 次的概率，
Pn (k) = C n(k) pk qnk k = 0,1,2, … , n
k(0 k n)

， 。

第二章 随机变量及其分布

1
(1) 离散型 随机变量的 分布律

(2) 连续型 随机变量的 分布密度


设离散型随机变量 X 的可能取值为 X (k=1,2, …)且取各个值的概率，即事件(X=X )的概率为
k k
P(X=x )=p， k=1,2, …，
k k
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = xk ) p1, p2 , … , pk , …
。
显然分布律应满足下列条件：
w
x pk = 1
(1) pk > 0， k = 1,2, …， (2) k =1 。
设 F (x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
F (x) = j x f (x)dx
_w
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° 。
f (x) > 0

j +wf (x)dx = 1
2°
_w
。

(3) 离散与 连续型随机 变量的关系

(4) 分布函 数

(5) 八大分

P(X = x) 如 P(x < X 共 x + dx) 如 f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X = xk ) = pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F (x) = P(X 共 x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到 X 落入区间(a, b] 的概率。分布函数F(x) 表示随机变
P(a < X 共 b) = F (b) _ F (a)

量落入区间( – ∞， x] 内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 共 F(x) 共 1, _ w < x < +w；

2° F (x) 是单调不减的函数，即x1 < x2 时，有 F (x1) 共 F (x2)；
3° F (_w) = lim F (x) = 0， F (+w) = lim F (x) = 1；
x)_w x)+w
4° F (x + 0) = F (x) ，即F(x) 是右连续的； 5° P(X = x) = F (x) _ F (x _ 0)。
对于离散型随机变量， k ； 对于连续型随机变量， 。
F (x) = x p F (x) = j(x) f (x)dx
xk 共x _w
0- 1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

1
布

二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则

X 可能取值为0,1,2, … , n 。
P(X = k ) = Pn (k ) = C n(k) p k q n一k ， 其中 q = 1 一 p,0 < p < 1, k = 0,1,2, … , n，
则称随机变量X 服从参数为 n， p 的二项分布。记为X ~ B(n, p) 。
当n = 1 时， P(X = k ) = p k q 1一k ， k = 0.1 ，这就是(0- 1)分布，所以(0- 1)分

泊松分布

超几何分布

几何分布

均匀分布

布是二项分布的特例。
设随机变量X 的分布律为
P(X = k ) = k(入)k! e一入， 入 > 0， k = 0,1,2 …，
则称随机变量X 服从参数为入 的泊松分布，记为X ~ " (入) 或者 P(入 )。

泊松分布为二项分布的极限分布(np= λ， n → ∞) 。
P(X = k) = M N一M ,
C k • Cn一k k = 0,1,2 … , l
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
，其中 p≥0， q=1-p。
P(X = k) = q k 一1 p, k = 1,2,3, …

随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内，其密度函数f (x) 在[a， b]上为常数 1 ，即
b 一 a

| ,
f (x) = 〈 b 一 a
( 1

|l0,
a≤x≤b

其他，

则称随机变量 X 在[a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。
分布函数为

F (x) = j x f (x)dx =
一w

0，
x 一 a
,
b 一 a

1，

x<a，

a≤x≤b
x>b。

x , x
当 a≤x <x ≤b 时， X 落在区间( 1 2 )内的概率为
P(x < X < x ) = x2 一 x1
1 2

1 2 b 一 a 。

1
指数分布

正态分布


x 0
e x ,
,
x 0
f (x)
,
0,
其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
0

1 e x ,
0,
x 0
,
F (x)
x<0。
记住积分公式：

xn e xdx n!

0
设随机变量 X 的密度函数为
f (x) 2 e ( )2 ， x ，
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss) X ~ N ( , 2 )
分布，记为 。
具有如下性质：
f (x)

f (x) x
1° 的图形是关于 对称的；
2
2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
若 X ~ N ( , 2 ) ，则 X 的分布函数为
F (x) 1 x e
2
。。
参数 0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 X ~ N (0,1) ，其密度函数记为
2
(x) 1 e 2(x2)
， ，
x
分布函数为
1
x t2
e 2 dt
(x)
。
2

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
(x)
Φ(-x) ＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝
2。

P(x X x ) x2 x1 。
如果 X ~N ( , 2 ) ，则 X ~N(0,1) 。

1 2

(6) 分位数
a
上分位表： P(X > )＝a 。
p
p
下分位表： P(X )＝a；

a

X
离散型
已知 的分布列为
(7) 函数分
布
X x1, x2, … , xn , …
P(X = xi ) p1, p2, … , pn , …，
Y = g(X ) 的分布列( y = g(x ) 互不相等)如下：
i i
Y g(x1), g(x2), … , g(xn), …
P(Y = yi ) p1, p2, … , pn , … ，
若有某些g(xi ) 相等，则应将对应的pi 相加作为g(xi ) 的概率。
连续型
先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y) ＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公
X Y
式求出 f (y)。
Y
第三章 二维随机变量及其分布
离散型
(1)联合分
布
如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)，则称 为离散型随
机量。
设 = (X， Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, …) ，且事件{ = (x , y ) }的概率为
i j i j
pij,,称
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
y
y
…
…
y
2
1
j
X

p
x

12
p

11
p
…
…
：

…
：
…
…
1
1j
x
p
2
：
21
：
22
：
2j
：

x
p
…
p
i
：
i1
：
：
ij
：

这里 pij 具有下面两个性质：
(1) p ≥0 (i,j=1,2,…)； ij
p = 1.
ij
(2)

i j

1
连续型
对 于 二 维 随 机 向 量 (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
，使对任意一个其邻边分别平行于坐标
f (x, y)( x , y )

轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a<x<b,c<y<d}有
P{(X , Y) D} f (x, y)dxdy,

D

则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 = (X， Y)的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。

分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：

1

(2)二维随 机 变 量 的 本 质
(3)联合分 布函数

(4)离散型 与 连 续 型 的 关系
(5)边缘分 布

(1) f(x,y) ≥0;
(2) f (x, y)dxdy 1.
(X x, Y y) (X x n Y y)

设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F (x, y) P{X x, Y y}

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{( , ) | X ( ) x, Y ( ) y}的概率为函
1 2 1 2
数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 F (x, y) 1;

(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F (x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
2 1 2 1 2 1 2 1
(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即
F (x, y) F (x 0, y), F (x, y) F (x, y 0);

(4) F ( , ) F ( , y) F (x, ) 0, F ( , ) 1.

(5)对于 x x， y y ，
1 2 1 2
F (x， y ) F (x， y ) F (x， y ) F (x， y ) 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1
P(X x， Y y) P(x X x dx， y Y y dy) f (x， y)dxdy

离散型
X 的边缘分布为
p (i, j 1,2, …)；
P P(X x )
ij
i• i
j

Y 的边缘分布为
P P(Y y )
• j j
i


p (i, j 1,2, …) 。
ij

1

1

(6)条件分 布

(7)独立性

连续型

离散型

连续型

一般型
离散型

连续型

X 的边缘分布密度为
f (x) = j+wf (x, y)dy；
-w
X

Y 的边缘分布密度为
f (y) = j+wf (x, y)dx.
-w
Y

在已知 X=x 的条件下， Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i.
在已知 Y=y 的条件下， X 取值的条件分布为
j
P(X = x | Y = y ) = ij ,
p
i j p.j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (y)
f (x | y) = f (x, y)；
Y
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为
f ( y | x) = f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
pij = pi. p.j
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
X Y
直接判断，充要条件：
①可分离变量

②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
f (x, y) =
2"装 装 1 - p 2
1 2


e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p (x1)装(2y - 山2 ) +(||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,

随机变量的函
数

p ＝0
若 X ,X , …X ,X , …X 相互独立， h,g 为连续函数，则：
1 2 m m+1 n
h (X， X , …X )和 g (X , …X )相互独立。
1 2 m m+1 n
特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。

1
(9)二维正 态分布

(10) 函数分 布

设随机向量(X，
Y)的分布密度函数为
1
f (x, y) =
e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( x1 )装(2y - 山2 ) +(||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,
2"装 装 1 - p 2
1 2
其中 山 , 山 装 > 0, 装 > 0, | p |< 1是 5 个参数，则称(X， Y)服从二维正态分布，
1 2 , 1 2
记为(X， Y)~N ( 山 , 山 装 2 ,装 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即 X~N ( 山 , 装 2 ), Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~N ( 山 ,装 2 ), Y ~ N(山 装 2 )， (X， Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

根据定义计算： FZ (z) = P(Z 不 z) = P(X + Y 不 z)
Z=X+Y

j f (x, z - x)dx 对于连续型， fZ(z)＝
+w

-w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 )。
1 2 1 2
山 = xC 山 ， 装 2 = x C 2 装 2
i i i i
i i
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

若 X , X … X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 F (x)， F (x) … F (x) ， 则
1 2 n x1 x2 xn
Z=max,min(X1,X2, …Xn)的分布函数为：
F (x) = F (x) • F (x) … F (x)
max x1 x2 xn
Z=max,min(X1,
X2, …Xn)

F (x) = 1 - [1 - F (x)] • [1 - F (x)] … [1 - F (x)]
min x1 x2 xn

1
X 2 分布