2023年高考数学平面向量小题全归类专项练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学-----平面向量小题全归类专项练习题
(含答案解析)
一、单选题
1． (2022· 全国 · 模拟预测)如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2BC = 4， E 为边 AB 上的任意一

点(包含端点)， O 为 AC 的中点，则 OB . DE的取值范围是( )

A． [2,10] B． [−2,8] C． [2,8] D． [4, 20]

【答案】 A
【解析】法一：设AE = 入AB(入 [0,1])，
因为 O 为 AC 的中点，所以BO = 1 (BA+ BC)= 1 (− AB + AD)，
2 2
所以OB = 2 AB − AD ．又 DE = AE − AD = 入 AB − AD，
1 ( )
所以OB . DE = 1 (AB − AD). (入 AB − AD)= 1 (入AB2 + AD2 )= 8入 + 2，
2 2
因为入 [0,1]，所以8入 + 2 [2,10]，
所以OB . DE [2,10]；

法二：以 A 为坐标原点， AB， AD 的方向分别为 x， y 轴的正方向，建立如图所示的平面直 角坐标系，
则O(2,1)， D (0,2)， B (4,0) ，设E(m,0)(0 m 4)，
所以OB = (2, −1)， DE = (m, −2) ，所以 OB . DE = 2m + 2．
因为0 m 4 ，所以2m + 2 [2,10]，

即OB . DE [2,10].

1

故选： A．
2． (2022· 江苏南京 · 模拟预测)已知O 为坐标原点，抛物线C： y2= x .过点T(t,0) (t >0 )

的直线l 与C 交于 A， B两点，且三AOB> 几 ，则t 的取值范围为( )
2
A． (0,1] B． (0,2 ] C． [1,+w) D． [2, +w)

【答案】 A
【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x = t ，则 A(t, t ),B(t, − t )，

因为三AOB > 2(几) 所以 OB OA 共 0，即 OB OA = t2− t 共 0，
解得： 0 共 t 共1 ，因为t >0 ，所以0< t 共1；
当直线l 的斜率k 存在时，则k 丰 0 ，设直线l 的方程为y = k(x − t)， A(x , y ), B(x , y ) ，由
1 1 2 2

〈ly2 = x 消去x ，得ky2 − y − kt = 0，
( 1
(y = k(x − t)

所以〈 1 2 k ，因为三AOB > ，所以 OB OA 共 0，
|y + y = 几

|ly1 . y2 = −t 2
即 OB OA = x x + y y = y 2 y 2 + y y = t2 − t 共 0，
1 2 1 2 1 2 1 2
解得： 0 共 t 共1 ，又因为t >0 ，所以0< t 共1，
综上可知：实数t 的取值范围为(0,1]，
故选： A .
3． (2022· 河南 · 高三阶段练习(理))已知平面向量a， b 满足 a = 3， b = (1， 3 )，

a −2b = 11 ，则a 在 b 上的投影为( )

A． 3 B． 1 C． 2 D． 6

【答案】 B
【解析】 a − 2b = a2 +4b 2 − 4a .b = a |2 +4 b |2 −4a .b = 11， b = 12 + ( 3) 2 = 2，

2
：解得 a?b 2，
a . b
所以a 在 b 上的投影为 b = 1，

故选： B

4． (2022· 广西贵港 · 高三阶段练习 (理)) 已知 F F = 10， 点 P 满足 PF − PF = 6， 动点 M， 1 2 2 1

N 满足| MN |= 2， MF = F N ，则 PM . PN 的最小值是( )
1 1

3
A． 3

8
B．
3

C． 4

10
D．
3

【答案】 A
【解析】由题意知不妨设点 P 的轨迹为以F (−c,0), F (c,0)(c > 0)为焦点的双曲线的左支，
1 2
设双曲线的标准方程为 x2 − y2 = 1(a > 0,b > 0)，
a2 b2
则2c = 10,2 a = 6，
：c = 5,a = 3,b = 4，
∴ 点 P 的轨迹方程是x2 − y2 = 1(x −3)，
9 16

MF = F N，
1 1

1
∴ F 为 M、 N 的中点，
：PM . PN = (PF + FM). (PF + F N)= PF 2 − FM 2 = PF 2 − 1 MN2 = PF 2 −1，
1 1 1 1 1 1 1 4 1

1
PF > c − a = 2，

：PM . PN > 3，
∴ PM . PN 的最小值为 3，当点 P 在双曲线的左顶点时取等号．
故选： A．
5． (2022· 贵州 · 高三阶段练习(理))如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图 形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角 ABC 的斜边 AB，直角边 BC，AC．若
BC = 2 3， AC = 2， E 为半圆O1弧的中点， F 为半圆O2 弧上的任一点，则 BE . AF 的最大
值为( )

B．
C．

4
A． 2 3


3 +

6



2 6


D． 4

【答案】 B

【解析】如图，以 CB, CA 为x, y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,2)， B(2 3,0) ，

1 2
O ( 3,0)， O (0,1)， E( 3, − 3)，

半圆弧O2 的方程为 x2 + (y −1)2 = 1(x 0)，
设F(cos9 ,1 + sin9 ) ( 9 )，
3

2 2
BE = (− 3, − 3), AF = (cos9 , −1+ sin9 )，

BE . AF = − 3 cos9 + 3 − 3 sin9 = 3 − 6 sin(9 + )，
4
9 ，则 9 + ， 9 = 时sin(9 + ) 取得最小值是 −1， 2 2 4 4 4 4 4
3 3 7 5

所以 BE . AF 取得最大值 3 + 6．

故选： B.

6． (2022· 全国 · 高三阶段练习(理))如图所示，已知圆 O 的半径为 5， OA = 3 ，圆 O 上有
u uur
一点 B 满足 AB ⊥ OA ，点 C 为圆 O 上任意一点，则 AB .CB 的取值范围是( )

A． [−4,36 ] B． [−4,16] C． [−8,36] D． [−10,16]
【答案】 A
【解析】根据题意可得A(3,0 ), B (3,4 )，则 (0,4 )
设C(x, y )，其中−5 共 x 共 5,−5 共 y 共 5 ，则 (3 − x,4 − y)

所以 A(u)B(uur) . C(u)B(ur) = 16 − 4y ，且−5 共 y 共 5
所以 =[−4,36]

故选:A.
7． (2022· 山西吕梁 · 高三阶段练习)如图， 在 ABC 中，O 为线段 BC 上一点， 且 BO = 2OC， G 为线段 AO 的中点， 过点 G 的直线分别交直线 AB，AC 于 D，E 两点， AB = mAD (m > 0)，
m m +4n
AC = nAE (n > 0)，则 1 + 9 的最小值为( )

5
2
A．
3

3
B．
4

4
C．
3

D． 2

【答案】 C
【解析】因为 BO = 2OC，
所以AO− AB = 2 (AC − AO )，即 AO = 1 AB + 2 AC，
3 3
又因为 G 为线段 AO 的中点，
所以AG = 2(1) (|(3(1)AB + 3(2) AC))| = 6(1) AB + 3(1)AC，
因为 AB = mAD， AC = nAE，
所以 AG = AD + AE，
m n
6 3
因为 D、 G、 E 三点共线，
所以 m + n = 1 ，即m +2n = 6，
6 3

D．
所以 m(1) + m 4n = (|(m(1) + m 4n))| (|(10 + m m(+)4n + mn ))|
> 12(1) (||(10 + 2 ))|| = 12(1) (10 + 2 9 )= 3(4)，
当且仅当 = ，即m = 2n = 3 时取等号．
m + 4n 9m

m m + 4n
故选： C.
8． (2022· 重庆八中高三阶段练习)如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点 O,2 AE = EO ，若DE = 入AB+ 山AD(入, 山 =R)，则入 + 山 等于( )

6
A． 1

B． − 1

C． − 2 3


1

8

【答案】 C
【解析】因为平行四边形 ABCD 的对角线相交于点O,2 AE = EO ，所以
DE = 2 DA + 1 DO = 2 DA + 1 (DA + AB )= 1 AB − 5 AD .
3 3 3 6 6 6
因为DE = 入AB+ 山AD(入, 山 =R )，所以入 = 1 , 山 = − 5 .
6 6
所以入+ 山 = − .
2
3
故选： C
二、多选题
9． (2022· 全国 · 模拟预测)已知平面向量a = (1,1)， b = (−3,4)，则下列说法正确的是( )

2
A． cos a,b =
B． b 在 a 方向上的投影向量为 a 2
2
10
(4 3)
C．与 b 垂直的单位向量的坐标为 |(5 , 5)|
D．若向量 a+入b与向量 a−入b共线，则 入 = 0
【答案】 AD
【解析】由题意知 a = 12 +12 = 2， b = (−3)2 +42 = 5， a .b = 1根(−3)+1根4 = 1 ，则

cos a, b = = = ， A 正确；
a .b 1 2
a b 2 根5 10

b 在 a 方向上的投影向量为 b cos a, b . a(a) = 5 根 10(2) . a2 = 2(1)a， B 错误；

0 0
设与 b 垂直的单位向量的坐标(x0 , y0 )，则有〈y(+) 2(4)

解得〈 或〈 ，所以与 b 垂直的单位向量的坐标为 ))|或 (|(− 5(4) , − 5(3)))|， C 错误；
(x = 4 (x = − 4

|l 0 5 |l 0 5
显然 a 与 b 不共线.
因为a +入b = (1,1)+入(−3,4)= (1 − 3入,1+4入)， a − 入b = (1,1)− 入(−3,4)= (1+3入,1−4入)，

向量 a + 入b与向量 a − 入b共线，
根据共线向量的坐标表示可得， (1 − 3入)(1 − 4入)−(1+ 3入)(1+ 4入)= 0，
整理可得−14入 = 0 ，解得 入 = 0， D 正确.
故选： AD.
10． (2022· 福建 · 泉州五中高三期中)已知扇形 AOB 的半径为 1， 三AOB = 120。，点 C 在弧

AB 上运动， OC = xOA + yOB ，下列说法正确的有( )
A．当 C 位于 A 点时， x + y 的值最小 B．当 C 位于 B 点时， x + y 的值最大
C． CA .CB 的取值范围为− 2(1) ,0 D． OC .BA的取值范围−
【答案】 ACD
【解析】以O 为原点，以OA 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，

设三AOC =9 ，则C(cos9,sin9) ，其中0剟9 A(1,0)， B (||(− ))||．

因为OC = xOA + yOB，

cos9 = x − 2(1) y y sin9
所以〈 ，即〈 ，
sin9 = 23 y x = cos9 + 33 sin9

7
所以 x + y = cos9 + 3sin 9 = 2sin (|(9 + 6(π)))|．
所以当9 = π 时， x + y 取得最大值 2 ，此时点C 为 AB的中点，
3
当9 = 0 或9 = 2π 时， x + y 取得最小值1，此时点C 为 A 或 B 点，故 A 正确， B 错误，
3
而 CA = (1 − cos9, −sin9)， CB = (||(− 2(1) − cos9, 23 − sin9))||，
所以CA .CB = (−cos9 +1)(|(− 2(1) − cos9))| + (||( 23 − sin9))||(−sin9)，
= 2(1) − 2(1) cos9 − 23 sin9 = 2(1) − sin (|(9 + 6(π)))|．
因为 0剟9 3(2π) ，所以 6(π)剟9 + 故 2(1) 元 sin (|(9 + 6(π)))| 元1 ，因此 − 2(1) 元 2(1) − sin (|(9 + 6(π)))| 元 0， 所以 CA .CB 的取值范围为− 2(1),0 ，故 C 正确，
OC .(OA − OB) = (cos9， sin9 )， (||( 2(3) , − 23 ))|| = 2(3) cos9 − 23 sin9 = 3 cos (|(9 + 6(π)))|，
因为 0剟9 3(2π) ，所以 6(π)剟9 + 故 − 23 元 cos (|(9 + 6(π)))| 元 23 ，
： 3 cos (|(9 + 6(π)))| = − ， ：OC .(OA − OB) = − ，所以 D 正确．
故选： ACD
11． (2022· 福建三明 · 高三期中)已知向量a = ( 2,1),b = (cos9,sin9)(0 <9 < π) ，则下列命

题正确的是( )
A． a ·b 的最大值为 3
B．存在9 ，使得 a +b = a + b

C．若a ⊥ b ，则 tan9 = 2

3 2π
D．若 b 在a 上的投影向量为− 6 a ，则向量a 与 b 的夹角为 3
【答案】 ABD
2
【解析】对于 A， a .b = 2 cos9 +sin9 = 3sin (9 +Q)，其中tanQ = 2,Q =(|(0, 2(")))|， 所以当9 +Q= "， a .b 最大值为 3， A 正确.
对于 B，因为0<9 < π ，所以当 a = 入b，且入 > 0 时， a +b = a + b ，
即9 使得 cos9 = ， sin 9 = 时，符合题意，所以 B 正确.
6 3
3 3

8
B．

对于 C，若 a ⊥ b，则 a .b = 2 cos9 + sin9 = 0，此时 tan9 = − 2， C 错误.
a cos a, b 3
对于 D， b 在 a 上的投影向量为 b cos a, b . = a = − a，
a 3 6
所以 cos a, b = − 1 ，所以 a 和 b 的夹角为 2 π， D 正确.
2 3
故选： ABD.

9
12． (2022· 湖北 · 华中师大一附中高三期中) 如图，

1 1
ABC 中， BD = BC， AE = AC， AD
3 2

与 BE 交于点F ，则下列说法正确的是( )

1 2
A． AD = AB + AC 3 3



1
BF = BE
2

C． S : S = 1:3 △BFD △AFE

D．
AF + 2BF + CF = 0

【答案】 BCD
【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，
设A, B, C 三点共线， O 为线外一点，则OB = mOC +(1− m)OA，

即 OA与OC 前系数和为 1，
证： A, B, C 三点共线，
：AB = mAC，
：OB − OA = m (OC − OA)，
：OB = mOC +(1− m)OA．
AD = AB + BD = AB + 1 BC = AB + 1 (AC − AB)= 2 AB + 1 AC，
3 3 3 3
故 A 错；
B, F , E 三点共线，
：AF = 入AB +(1− 入)AE = 入AB + (1− 入)AC， 2

A, F, D 三点共线，
：AF = 山AD = 2山 AB + 山 AC， 3 3
：〈| 3 = 入 ，
(2山

3(山) = 1 入
入 = 2(1)
解得〈|l山
：AF = 1 AB + 1 AE， 2 2
∴ F 为 BE 的中点，

：BF = 1 BE ，故 B 对； 2

S = S = 〉 .S ，
1 1 1

△BFD 4 △ABD 4 3 △ABC
S = S = 〉 .S ，
1 1 1

△AFE 2 △ABE 2 2 △ABC
：S : S = 1:3 ，故 C 对； △BFD △AFE
取 AB 中点 G， BC 中点 H，如下图，
则 G , F , H 三点共线，

：AF + 2BF + CF = (AF + BF )+ (BF + CF )= − (FA + FB )+ (FB + FC)
= − (2FG + 2FH)= − (EA + EC )= 0 ，故 D 对．

故选： BCD．
三、填空题
13．(2022· 全国 · 模拟预测)在梯形 ABCD 中，AB//CD，E 是 BC 的中点，若 AB = 3， CD = 2，
且 AB .AD = 3，则 AE .AB =___________．

10
【答案】 9
【解析】过点 E 作 EF//AB ，交 AD 于点 F，易得 F 是 AD 的中点，如下图

则 EF = 1 (AB + CD )= 5，
2 2
：AE . AB = (AF + FE ). AB = AF . AB + FE . AB = 1 AD . AB + 3人 5 = 3 + 15 = 9． 2 2 2 2
故答案为： 9．
π
14． (2022· 全国 · 模拟预测) 如图， 已知 A， B， C 为圆O 上的三点， 三ACB = ， AB = 4 2， 4
M ， N 分别在 OA， OB 上运动，且MN = 2 ，点G 在劣弧 AB上，则 GM . GN 的最小值为

___________ .

【答案】 8

π π
【解析】因为三ACB = ，所以 三AOB = ，
4 2
又 AB = 4 2 ，所以OA = OB = 4，
以 OA， OB 所在直线分别为x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 A(4,0)， B(0,4) ，令三NMO = 9 ，则M (2cos 9 ,0)， N(0,2sin 9) ，设
G(4cos a,4sin a)(|(0 共 a 共 2(") ))|，

11

故 GM = (2cos 9 − 4cos a , −4sin a )， GN = (−4cos a ,2sin 9 − 4sin a ) ，则

GM . GN = −8cosa cos9 + 16cos 2 a − 8sin a sin9 +16sin 2 a = 16 − 8(cosa cos9 +
sina sin9 ) = 16 − 8cos(a −9 ) ，故当cos(a −9 ) = 1，
即 a = 9 时， GM . GN 取得最小值，且(GM . GN)min= 8，即 GM . GN 的最小值为 8.
故答案为： 8

15． (2022· 北京 · 海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习)若AB . AC = AB2 ，且

AP = 1,CP . AB 的最大值为−6 ，则 AB = __________.

【答案】 3
【解析】因为 AB . AC = AB2，故CP . AB = (CA + AP). AB = CA . AB + AP . AB = −AB2 + AB . AP，

故当 AB, AP 同向时 CP . AB取得最大值−6 .又 AP = 1 ，故− AB 2 + AB = −6 ，即
(AB − 3)(AB + 2)= 0 ，故 AB = 3 .

故答案为： 3
16． (2022· 黑龙江 · 哈尔滨市第六中学校高三期中)在平行四边形ABCD 中，点 E 满足
DE = 3EC ，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F， AF = a1 AB +a2022 AD ，若数列an}是

等差数列，其前 n 项和为S ，则S = ______．
n 2022
【答案】 2359
1
【解析】 DE = 3EC, AE 延长交 BC 的延长线于点 F， ： ECF EDA,， ：CF = AD，
3
：AF = AB + BF = AB + AD， ：a = 1,a =
4 4

3 1 2022 3

12
1011 2023
=
4
1+
S = 3 2022 = 2359.
2022 2

故答案为： 2359

17． (2022· 浙江 · 三门县观澜中学模拟预测)已知c 为单位向量， a满足
(a − c). c = 0,2023b = a + 2022c ，当 a与 b 的夹角最大时， b − c = _________．

2023
【答案】
2023
【解析】不妨取c = (1,0)， 设a = (x , y )， 故(a − c). c = (x −1,y )?(1,0)= x −1 = 0， 故 x = 1；
1 1 1 1 1 1
2 2
设b = (x , y ) ，则 2023b = a + 2022c，

13
2 2 1 1 2
即(2023x ,2023 y )= (1,y )+(2022,0)= (2023,y ) ，故 x = 1，

y = 2023y ，
1 2

设 a 与 b 的夹角为9 ，则9 = 三AOC −三AOB ，不妨取y1 , y2 > 0，

2022
tan9 = = 2022 y2 = 2022
1 2023 ，
. 2023y
y 2
2
则 1 + y1 y2 1+ 2023y2 2 1 + 2023y 2
y
2
2
当 y(1) = 2023y2 ，即 y 时等号成立，此时夹角最大，
2
b − c = (1−1)2 + y22 = y2 =
故答案为：
2023
2023
1 1
18． (2022· 广东佛山 · 高三阶段练习)已知O 为 ABC 的外接圆圆心，若 AO = AB + AC， 2 2
AB = OA，设向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为 入 BC ，则入 = _________.

1
【答案】
4
【解析】如下图所示：

1 1
因为 AO = 2 AB + 2 AC ，则 2AO = AB + AC ，则 AO − AB = AC − AO，
即 BO = OC，故O 为 BC 的中点，故 AB⊥ AC，
π
所以， AB = OA = OB ，则 OAB 为等边三角形，则三ABC = ，
3

π BC 1 BA 1
所以， BA在 BC 方向上的投影向量为 BA cos . = . .BC = BC ，
3 BC 2 BC 4

1
因此， 入 =
4 .
1
故答案为：
4 .
19． (2022· 重庆八中高三阶段练习)已知对任意平面向量AB = (x, y) ，把 AB绕其起点沿逆时

针方向旋转9 得到向量 AP = (xcos9 − ysin9, xsin9 + ycos9)，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方
向旋转9 得到点P . 已知平面内点A(2,1)，点B(2 + 2,1 − 2 )，把点 B 绕点 A 沿逆时针 π 后
4
得到点 P ，向量a 为向量 PB在向量 PA上的投影向量，则 a =__________.
r

【答案】 2 − 2
【解析】因为A(2,1)， B (2 + 2,1 − 2 )，

所以 AB = ( 2, − 2)，

π π π π
AP = ( 2 cos − (− 2)cos , 2 sin + (− 2)cos ) = (2,0) ，
4 4 4 4
所以 P 点坐标为(4,1)，
所以PB = ( 2 − 2,− 2 )， PA = (−2,0)

14
(−2,0)
2
2

2
所以 a = . =
= 2 −
.
r PB . PA PA 4 − 2
.
PA PA 2

故答案为： 2 − 2 .
20． (2022· 广东 · 深圳实验学校光明部高三期中)中国文化博大精深， “八卦”用深邃的哲理 解释自然、社会现象． 如图(1)是八卦模型图， 将共简化成图(2)的正八边形 ABCDEFGH ，
若 AB = 1，则 AC . AE = ______________．

15
【答案】

2


+ 2

360O
【解析】在 AOB 中，设OA = OB = x， 三AOB = = 45O，
8

2 + 2
则 x2 + x2 − 2x2 cos 45 O = 1，所以 x2= ，
2
又 三AOB = 三BOC = 45O，
所以三AOC = 90O, 三OAC = 三OCA = 45O，

所以 AE = 2x = 2 2 + 2 = 2 2 + 2 ， AC = OA2 + OC2 = 2x2 = 2 + 2 ，
2

2
所以 AC . AE = AC . AE cos 45O = 2 + 2 2 2 + 2 = 2 + 2
2
故答案为： 2 + 2