2023年高考数学函数性质的综合运用练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学---函数性质的综合问题综合运用练习题(含答案解析)
一、综合运用练习题
1． (2019 · 惠州调研)已知定义域为 R 的偶函数f(x)在(－∞， 0]上是减函数，且
f(1)＝2，则不等式 f(log2x)＞2 的解集为( )
A． (2，＋∞) B. 0， 2(1)| ∪(2，＋∞)
C.|0， 2 |∪( 2，＋∞) D． ( 2，＋∞)
( 2

B [f(x)是 R 上的偶函数， 且在(－ ∞， 0]上是减函数， 所以 f(x)在[0， ＋∞)上是 增函数， 因为 f(1)＝2， 所以 f(－ 1)＝2， 所以 f(log2x)＞2⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞ 1
1
⇔log2x＞1 或 log2x＜－ 1⇔x＞2 或 0＜x＜2.故选 B.]
2．已知函数 y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的 x1， x2 ∈[4,8]，当 x1＜x2 时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0 恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若 a＝f(7)， b＝f(11)， c＝f(2 018)，则 a， b， c 的大小关系正确的是( )
A． a＜b＜c B． b＜c＜a
C． a＜c＜b D． c＜b＜a
B [由①知函数 f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知 f(x＋8)＝－f(x＋4) ＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 8，所以 c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)； 由③可知函数 f(x)的图像关于直线 x＝4 对称， 所以 b＝f(3)＝f(5)， c＝f(2)＝f(6)． 因 为函数 f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数， 所以 f(5)＜f(6)＜f(7)， 即 b＜c＜a， 故选
B.]
3．定义在 R 上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]

1
上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图像关于x＝1 对称；
③f(x)在[1,2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)． ①②③④ [因为 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x， y∈R 恒成立．
令 x＝y＝0，

所以 f(0)＝0.令 x＋y＝0， 所以 y＝－x，
所以 f(0)＝f(x)＋f(－x)．

所以 f(－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．

因为 f(x)在 x∈[－ 1,0]上为增函数， 又 f(x)为奇函数，
所以 f(x)在[0,1]上为增函数．

由 f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)

⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以周期 T＝4，

即 f(x)为周期函数．

f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为 f(x)为奇函数．

所以 f(2－x)＝f(x)，

所以函数关于 x＝1 对称．
由 f(x)在[0,1]上为增函数，

2
又关于 x＝1 对称，

所以 f(x)在[1,2]上为减函数．

由 f(x＋2)＝－f(x)， 令 x＝0 得 f(2)＝－f(0)＝f(0)． ]

4．已知函数 y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意 x1， x2 ∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)] · (x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明： 若 x1＋x2＝0， 显然不等式成立 ． 若 x1＋x2＜0， 则－ 1≤x1＜－x2 ≤1，
因为 f(x)在[－ 1, 1]上是减函数且为奇函数，

所以 f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)， 所以 f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0 成立．
若 x1＋x2＞0， 则 1≥x1＞－x2 ≥－ 1，
同理可证 f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0 成立．
综上得证， 对任意 x1， x2 ∈[－ 1,1]， 有[f(x1)＋f(x2)] · (x1＋x2)≤0 恒成立．

(2)因为 f(1－a)＋f(1－a2)＜0 f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－ 1)， 所以由 f(x)在定义
(|－ 1≤1－a2 ≤1， (|0≤a2 ≤2，
域[－ 1, 1]上是减函数， 得〈| 即〈| 解得 0≤a＜ 1.

故所求实数 a 的取值范围是[0,1)．

二、思维拓展练习
1．定义在 R 上的函数f(x)满足：①对任意 x∈R 有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]

3
上是增函数；③f(x＋2)的图像关于 y 轴对称．则下列结论正确的是( )
A． f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B． f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C． f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D． f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
D [由①知函数 f(x)的周期为 4， 由③知 f(x＋2)是偶函数， 则有 f(－x＋2)＝f(x
＋2)， 即函数 f(x)图像的一条对称轴是x＝2， 由②知函数 f(x)在[0,2]上单调递增， 则 在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近 x＝2，对应的函数值越大，又 f(7)＝f(3)，f(6.5)
＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得 f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故 选 D.]
2．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线x＝1 对称，对任意 x1，
x2 ∈0， 2(1)，都有 f(x1＋x2)＝f(x1) ·f(x2)．
(1)设f(1)＝2，求 f(|(2(1)))|， f(|(4(1)))|；
(2)证明： f(x)是周期函数．
[解] (1)由 f(x1＋x2)＝f(x1) ·f(x2)，x1，x2 ∈0， 2(1)，知 f(x)＝f(|(2(x)))|· f(|(2(x)))|≥0，x∈[0,1]． ∵f(1)＝f(|(2(1)＋2(1)))|＝f(|(2(1)))|·f(|(2(1)))|＝f(|(2(1)))|2， f(1)＝2，
∴f(|(2(1)))|＝22(1) .
∵f(|(2(1)))|＝f(|(4(1)＋4(1)))|＝f(|(4(1)))|·f(|(4(1)))|＝f(|(4(1)))|2， f(|(2(1)))|＝22(1)，∴f(|(4(1)))|＝24(1) .
(2)证明： 依题设， y＝f(x)关于直线 x＝1 对称，
∴f(x)＝f(2－x)．
又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，

4
∴f(x)＝f(2＋x)，

∴f(x)是定义在 R 上的周期函数， 且 2 是它的一个周期．
三、基础巩固练习
(一) 、解答题
9．设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1＋x)＝f(1－x)，当
－1≤x≤0 时， f(x)＝－ x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
[解] (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又 f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．

又 f(x)的定义域为 R，∴f(x)是偶函数．

(2)当 x∈[0,1]时， －x∈[－ 1,0]，
则 f(x)＝f(－x)＝x；

从而当 1≤x≤2 时， － 1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－ (x－2)＝－x＋2.
(|－x， x∈[－ 1， 0]，
故 f(x)＝〈|

10． 设函数f(x)是(－∞， ＋∞)上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)， 当 0≤x≤1 时，f(x)
＝x.
(1)求f( π)的值；
(2)当－4≤x≤4 时，求函数 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积． [解] (1)由 f(x＋2)＝－f(x)得，

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

5

所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，

所以 f(π)＝f(－ 1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－ (4－π)＝π－4.

(2)由 f(x)是奇函数且 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－ 1)＋2]＝－f(x－ 1)＝f[－(x－ 1)]，

即 f(1＋x)＝f(1－x)．

故函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝1 对称．

又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x， 且 f(x)的图像关于原点成中心对称， 则 f(x)的图像如

图所示．

当－4≤x≤4 时， 设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S＝4S ＝
△OAB
4×2(1)×2×1|＝4.
(二) 、选择题
1．设f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数， 当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2－x，则f－2(5)|
＝( )

6
1
A．－4

1
B ．－ 2

1
C． 4

1
D． 2

C [因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数， 所以 f－2(5)|＝－f2(5)|＝－f2(1)|.又 当 0≤x≤1 时， f(x)＝x2－x， 所以 f2(1)|＝2(1)|2－2(1)＝－ 4(1)， 则 f－2(5)|＝4(1) .]
2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )

A． y ＝ex＋e－x
C． y ＝ |x|
sin x

B． y ＝ln(|x|＋1)
1
D． y ＝x－x

7
D [选项 A、B 显然是偶函数， 排除；选项 C 是奇函数， 但在(0， ＋∞)上不是
单调递增函数， 不符合题意； 选项 D 中， y＝x－1是奇函数， 且 y＝x 和 y＝－ 1在 x x
x
(0， ＋∞)上均为增函数， 故 y＝x－ 1在(0， ＋∞)上为增函数， 所以选项 D 正确． ]

3．已知定义在 R 上的奇函数f(x)有f|x＋2|＋f(x)＝0，当－4 ≤x≤0 时， f(x)＝
( 5 5

2x＋a，则 f(16)的值为( )

1
A.2

1
B ．－ 2

3
C.2

3
D ．－ 2

A [由 fx＋2(5)|＋f(x)＝0， 得 f(x)＝－fx＋2(5)|＝f(x＋5)，

∴f(x)是以 5 为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．

∵f(x)是 R 上的奇函数，

∴f(0)＝ 1＋a＝0，∴a＝－ 1.
∴当－ 4(5)≤x≤0 时， f(x)＝2x－ 1，
∴f(－ 1)＝2－ 1－ 1＝－ 2(1)，
1 1
∴f(1) ＝2 ，∴f(16)＝2.]
4．定义在 R 上的奇函数f(x)满足fx＋2(3)|＝f(x)，当 x∈0， 2(1)时， f(x)＝log2(1)(1
－x)，则 f(x)在区间1， 2(3)| 内是( )

8
A．减函数且 f(x)＞0
C．增函数且 f(x)＞0

B．减函数且 f(x)＜0
D．增函数且 f(x)＜0

D [当 x∈(|(0， 2(1)时， 由 f(x)＝log1(1－x)可知， f(x)单调递增且 f(x)＞0， 又函数
2
f(x)为奇函数，所以 f(x)在区间－2(1)， 0))|上也单调递增，且 f(x)＜0.由 f(|(x＋2(3)))|＝f(x)知， 函数的周期为 2(3)， 所以在区间(|(1， 2(3)))|上， 函数 f(x)单调递增且 f(x)＜0.]
5． (2019 · 合肥调研)定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上
是减函数，则有( )
A． f(|(2(3)))|＜f(|(－4(1)))|＜f(|(4(1)))|
B． f(|(4(1)))|＜f(|(－4(1)))|＜f(|(2(3)))|
C． f(|(2(3)))|＜f(|(4(1)))|＜f(|(－4(1)))|
D． f(|(－4(1)))|＜f(|(2(3)))|＜f(|(4(1)))|
C [因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为 4，
作出 f(x)的草图， 如图， 由图可知 f(|(2(3)))|＜f(|(4(1)))|＜f(|(－4(1)))|.

]
(三) 、填空题
6．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－3,0]时，
f(x)＝6－x，则 f(919)＝________.
6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为 6，

∵919＝ 153×6＋ 1，∴f(919)＝f(1)．

又 f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－ 1)＝6.]

7．定义在实数集 R 上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且 f(4－x)＝f(x)．现有 以下三个命题：
①8 是函数f(x)的一个周期； ②f(x)的图像关于直线 x＝2 对称； ③f(x)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．
①②③ [∵f(x)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x) 的周期为 4， 故①正确；又 f(4－x)＝f(x)， 所以 f(2＋x)＝f(2－x)， 即 f(x)的图像关于 直线 x＝2 对称， 故②正确；由 f(x)＝f(4－x)得 f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)， 故③正确． ]
8． 已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在(0， ＋∞)内单调递增， 且f(|(2(1)))|＝0，则f(x)
＞0 的解集为________．
〈x| －2(1)＜x＜0或x＞2(1)J())卜 [由奇函数 y＝f(x)在(0， ＋∞)内单调递增， 且 f(|(2(1)))|＝0， 可知函数 y＝f(x)在(－ ∞， 0)内单调递增，且 f(|(－2(1)))|＝0.由 f(x)＞0，可得 x＞2(1)或－ 2(1)＜
x＜0.]
本课结束。
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