高中数学必修3(人教B版)第三章概率3.1知识点总结含同步练习题及答案.docx

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高中数学必修3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章概率3. 1 事件与概率

、学习任务
1. 了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义，了解概率的统计定义以及频率与概率的区别。
2. 了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1 的结论，会用相关公式进行简 单概率计算.

二、知识清单

随机事件的概念 频率与概半 事件的关系与运算

三、知识讲解

1.随机事件的概念
措述： 必然事件
一般地，我们把在条件 S 下， 一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件 (certain event), 简称必然事件.
不可能事件
在条件 s 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 s 的不可能事件 (1xposs1ble event), 简称不可能事件.
确定事件
必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件.
随机事件
在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件 (randen event), 简称随机事件.
基本事件与基本事件空间
通常用大写英文字母 A、B、C、 …. 来表示随机事件，随机事件可以简称为事件.在一次试验中，所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述， 这样的事件称为基本事件 (elenentary event) , 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.

例题： 下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
①如 果 x ,y 均为实数，那么x ·y=Y ·x:
② 三张奖养只有一张中奖，任取一张奖芬能中奖：
③掷毂子出现7点：
④某高速公路收费站3分钟内至少经过8辆车：
⑤ 声音在真空中传措：
⑥ 地球绕太阳旋转。
解：①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件，②④是随机事件.
由实数的运算性质知①恒成立，是必然事件；⑥是自然常识，是必然事件，所以①@为必然事件：掷骰子不可能出现7点，声音不能在真空中传播，所以③⑤为不可能事件：三张奖券只有一张中奖，任 取一张可能中奖也可能不中奖，收费站3分钟内经过的车辆还可能少于8辆，因此②④为随机事件.
从 a,b,c,d 中任取两个字母，求该试验的基本事件空间.
解：含 a 的 有 ab、ac、ad: 不含 a, 含 b 的 有 bc,bd: 不 含 a、b, 含 c 的 有 cd.
所以该试验的基本事件空间32={ab,ac,ad,be,bd,ed}-
从 A、B、C、D、E、F 这6名学生中选出4人参加数学竞赛.
(1)写出这个试验的基本事件空间：
(2)求这个试验的基本事件总数：
(3)写出事件 “A 没被选中”所包含的基本事件.
解： (1)这个试验的基本事件空间是
92={(A,B,C,D),(A,B,C,B),(A,B,C,F),(A,B,D,E),(A,B,D,F),(A,B,E,F),(A,C,D,E),(A,C,D,F),(A,C,E,F),(A,D,E,F),(B,C,D,E),(B,C,D,F),(B,C,E,F),(B,D,E,P),(C,D,E,P)}
(2)从6名学生中选出4人参加数学竞赛，共有15种可能情况.
(3)“A 没被选中”包含下列5个基本事件： (B,C,D,E)、(B,C,D,F)、(B,C,E,F)、(B,D,E,F)、(C,D,E,F).

2.频率与概率

措述： 频率
在相同的条件 S 的频率 (relative 概率


下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次事件中 A 出现的次数 n 为事件 A 出现的频数 (frequency), 称事件 A 出现的比例 fn(A)=?
frequency)


为事件 A 出现

对于给定的随机事件A, 由于事件A 发生的频率 fg(A) 随着试验次数的增加稳定于某个常数，把这个常数记作 P(A), 称为事件 A 的 概率，简称为A 的概率.
频率与概率的区别与联系
① 频率是概率的近以值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值：
② 颊率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.
③ 概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
④ 二者都介于0～1 之间 .
例题： 某人将一枚质地均匀的散子连抛了10次，其中2点朝上出现了6次，若用A 表示“2点朝上”这一事件，则事件 A 的 ( )
A. 概率为 B. 频率)
c. 频率为6 D. 概率接近于频率
解 ：B
C 选项明显错误，应该是频数为6.选项 D 错误，应该是“频半接近于概率”。试验的次数确定是10次，因此仅凭10次试验不能确定事件 A 发生的概率大小，由频率的定义知事件 A 发生的频率
为
某地气象局预报说，明天本市降雨的概率是80%,则下列解释：
① 明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨：
② 明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨：
③明天本地降雨的机率是80%. 其中正确的是 (填序号) 解：⑧
①②不正确，因为80%的概率是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨或80%的时间降雨.

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3.事件的关系与运算
措述： 事件的关系
(1)包含关系： 一般地，对于事件A 与事件B, 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B ), 记作 B2A 《 或 ACB). 不可能事件记作
②,任何事件都包含不可能事件.
(2)相等关系：如果事件C₁ 发生，那么事件D³ 一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作C₁=D₁. 一般地，若B2A, 且 A2B, 那么称事件A 与事件B 相等，记作
A=B.
事件的运算
(1)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件( 或和事件) , 记 作 AUB ( 或A+B)
(2)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件 B 的交事件( 或积事件) , 记 作 AnB ( 或 AB)
互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：若AnB 为不可能事件 (A∩B=②) , 那么称事件A 与事件B 互斥，其含义是，事件A 与事件B 在任何一次试验中都不会同时发生。
(2)对立事件：着ADB 为不可能事件， AUB 为必然事件，那么称事件 A 与事件B 互为对立事件，其含义是，事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.
概率的儿个基本性质
(1)概率的范围：由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从面任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.
(2)概率的加法公式：当事件A 与事件B 互斥时， P(AUB)=P(A)+P(B)
般地，如果事件 A₁ ,A₂ , … ,A。 两两互斥(彼此互斥),那么事件“A₁UA₂U…UAʙ ” 发生(是指事件 A₁ ,A₂ , … ,An 中至少有一个发生)的概率，等于这 n 个事件发生的概
率和，即
P(A₁UA₂U …UAa)=P(A₁)+P(A₂)+ …+P(An).
(3)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则AUB 为必然事件， P(AUB)=1.

例题：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件 A={3 个球中有1个红球 ·2个白球},事件 B={3 个球中有2个红球 · 1个白球},事件 C={3 个球中至少有1个红球},事件
D={3 个球中既有红球又有白球}-
(1)事件 D 与 A、B 是什么样的运算关系?
(2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件?
解： (1)对于事件 D, 可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故 D=AUB.
(2)对于事件 C, 可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球。3个均为红球，故 CnA=A.
判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从1到10)中任意抽取1 张。
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”:
(3) “抽出的牌的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”
解： (1)是互斥事件，不是对立事件
从40张扑克牌中任意抽取1张， “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件 (2)既是互斥事件，又是对立事件.
从40张扑克牌中任意抽取1张， “抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，也不是对立事件.
从40张扑克牌中任意抽取1张， “抽出的脾的牌面数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为10,因此二者不是互斥事件，当然也不可能 是对立事件
某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)请问他可能乘何种交通工具去的概率为0.5?
解：(1)记“他乘火车去”为事件A], “他乘轮船去”为事件 A₂ , “他乘汽车去”为事件A₃ , “他乘飞机去”为事件 A₄ , 这四个事件不可能同时发生，故它们被此互斥.
所以
P(A₁UA₄)=P(Ai)+P(A4)=0.3+0.4=0.7·

(2)设他不乘轮船去的概率为P, 则
P=1-P(A₂)=1-0.2=0.8.

(3)由于
0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,
故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.

四 、课后作业 (查看更多本章节同步练习题，请到快乐学)

1. 下列事件中 · 随机事件的个数为( )
(1)物体在重力作用下会自由下落；
(2)方程 z²+2r+3=0 有两个不相等的实根；
(3)某传呼台每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次；
(4)下周日会下雨 ·
A ·1 个 B-2 个 C-3 个 D ·4 个
答室： B
解析：(3)(4)是随机事件

2. 在10伴同类产品中 · 有8伴是正品 · 2件是次品 · 从中任意抽出3件的必然事伴是( )
A ·3 件排是正品 B · 至少有1伴是次品
C ·3 件都是次品 D · 至少有1件是正品
答案： D

3. 下面说法正确的是( )
A · 事件A ·B 中至少有一个发生的概率一定比A、B 中拾有一个发生的概率大
B · 事件A ·B 同时发生的概率一定此A ·B 中恰有一个发生的概率小
C · 互斥事件一定是对立事件 ·对立事件不一定是互斥事伴
D · 互斥事件不一定是对立事伴，对立事件一定是互斥事伴
答案： D

快乐学

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4. 下列说法：
① 频率是反映事伴发生的频繁程度 ·概率反映事件发生的可能性的大小；
② 做 n次脑机试验 ·事件 A 发生的频率 m 就是事件的概率； n
③ 百分率是频率 · 但不是概率；
④频率是不能配离具体的 n次试验的实验值 · 而概率是具有确定性的不像鞋于试验次数的理论值；
⑤ 频率是概率的近似值 ·概率是频率的稳定值 ·
其中正确的是( )
A ·①④⑤ B-②④⑤ C-①③④
答案： A

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