2006全国大学生数学建模竞赛A题一等奖论文.docx

出版社的资源配置模型

摘 要

本文讨论出版社的资源优化问题。 根据出版社的工作流程， 我们将问题分为 两个阶段。 第一阶段是总出版社如何将总数一定的书号分配给各分出版社； 第二 阶段是分出版社如何将分得的书号数分配到具体的课程上，以实现利润的最大 化。
在建立模型确定第一阶段的书号分配方案时， 本文侧重于体现长远发展战略 和增加强势出版社支持力度的原则， 为此我们引入强势的概念， 并以此作为目标 函数。 强势是反映各分出版社的市场占有率、 满意度、 市场排位等的一个综合指 标。 我们首先对附件 2 所给数据提取市场占有率、 满意度、 市场排位等影响书号 数分配的因素，统计出各因素历年的数据，并采用熵权法得到相应的指标权重， 然后通过 TOPSIS 方法得到各分社在总社中的排名强势系数。最后我们将所得到 的强势系数带入目标函数， 利用 Lingo 软件计算出各分社应分配的书号数。 为了 取得更好更贴近实际的结果， 我们对模型进行优化， 通过引入稳定性的概念来约 束分配方案中的奇异现象，最后得到更好的分配方案(表 4.6)。
在第二阶段的书号分配过程中， 我们以各分社利润最大化为目标又建立了一 个优化模型。 这里需要解决的难点是预测当年各课程的单位书号的销售量。 通过 对附件 3， 4 的分析处理，得到各课程往年的单位书号的销售量，并以此为基础 运用灰色预测的方法预测出 2006 年单位书号的销售量。最后用 Lingo 软件包求 解得到结果(表4.8 与附录 3)。
最后我们根据得出的结果， 对出版社提出了相应的建议， 给出了出版社在分 配书号的过程中兼顾短期效益和长远利益时应该考虑的影响因素。

关键词： 资源优化， 熵权法， TOPSIS 方法，灰色预测，强势值。

1
1 问题的重述

出版社资源配置的好坏直接决定着出版社的经济效益和长远的发展战略， 所 以如何合理的分配出版社的资源， 以达到出版社每年获得的利润最大， 而且有利 于出版社的长远发展，这就是本题所要解决的问题。
出版社最重要的资源就是书号， 书号就包括了一个出版社的人力资源、 生产 资源、 资金和管理资源等信息， 所以对出版社资源的合理分配就是对出版社的书 号进行合理的分配。
书号的分配在每个出版社都有一定的程序，以 A 出版社为例，假设 A 出版 社主要出版教材类书本， 出版社在机构上分为总出版社和分出版社， 其中分出版 社的划分是根据学科来划分， 例如出版计算机类的书为一个分社， 出版英语类书 本的为另外一个分社，依此类推将 A 出版社分为 9 个分社，其关系如图 1.1，分 社又按课程的不同进行了细分，总社在整个的过程当中只起一个领导规划的作 用， 对分社的具体资源分配不参与策划。 书号的具体分配分为两个步骤， 首先就 是总社根据各分社提出的书号数申请、 人力资源状况和历年的市场信息， 在综合 考虑当年效益和长远规划的前提下将定量的书号数分给其隶属的 9 个分社， 其中 的分配还要遵循以下原则， 就是总社要加强对 9 个分社当中的强势产品的支持力 度， 优化书号的配置。 总社的书号分配完毕之后， 各分社再根据各自所分得的书 号数按课程进行具体的定量分配， 也就是将书号分给每一个课程， 其中分配的原 则就是要使自身分社在当年获得的利润要最大， 分配好之后再安排具体的出版计 划进行书本的出版， 在分社的具体分配书号的过程当中， 总社不参与策划， 而且 各分社之间的书号分配也是独立的，相互书号的分配没有影响。
从出版行业的实际情况出发， 通常市场的信息是不完整的， 而且各出版社对 资料信息的积累和集也是不完善的， 也就是说不管从市场角度来看， 还是从出版 社自身的角度来考虑，信息量都是不全面的，所以这对书号的分配带来了问题， 这在实际当中也是一个比较普遍的问题。
现在要解决的问题就是在给定一定的市场信息和出版社自身的信息， 了解出 版社的运做情况下， 建立数学模型， 将书号进行合理的分配， 制定出一个明确的 分配方案，使出版社的当年利润最大，对长远的发展有利。

2
2 问题的背景分析

随着知识经济社会的到来， 知识产业与传媒产业作为新兴产业， 正处于飞速 发展的进程中。 在中国加入 WTO 之后， 出版行业也逐步开始向国内外开放。 传统 的出版单位也正在进行大规模的转型与改革。巨大的经济效益、 良好的投资前景、 正在开放的投资机会， 使出版发行行业受到投资者的青睐， 包括出版发行业在内 的传媒产业已经成为最具投资前景的朝阳产业之一。
全国图书销售额基本呈现稳步增长趋势。 1999-2005 年，中国图书纯销售金 额从 355 亿元增长到 522 亿元左右， 年均增长率 6.7%。 中国图书零售总额从 273 亿元增长到 390 亿元左右，年均增长率 6. 1%。这两个增长率的差异造成库存数 量的增加。 中国的图书总库存金额从 241 亿元增长到 455 亿元， 年均增长率高达 11%。也就是说，平均每年有 30-40 亿元的出版新书卖不出去造成库存增加。
另一方面， 由于库存的增加， 最近几年的全球出版业增长趋缓， 利润率下降， 行业景气程度走低， 竞争也是愈演愈烈， 所以怎样在这个充满机遇又充满竞争的 市场中站稳自己的脚跟， 在竞争中处于领先地位是每一个出版社现如今要解决的 问题。
随着出版行业的对外开放和市场经济的冲击， 在市场经济中， 市场对资源的 配置起基础性作用。 根据平均利润率的规律， 人们的职业抉择和社会资金会流向 获利丰厚、 利润率高于社会平均利润率的行业。 出版行业虽然走势下降， 但是利 润率仍然高于社会平均利润。 怎样在社会平均利润的基础上， 调整好自己内部的 各种资源分配关系， 以达到最大的利润， 并对未来长远的发展有益是出版社的最 终要求。

3 模型的假设与符号说明

3.1 模型的假设
1. 假设问卷调查表的数据客观真实。
2. 假设一定时期内 A 出版社的经营正常，不会出现经营不善的情况，而且 教材出版行业的市场运行正常。
3. 假设每年各分社按照总社所分配的实际书号数计算的销售量(附件 3) 为当年的实际销售量。
4. 假定同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近。

3
x
e
3.2 符号的说明
表 3.1 符号的说明

符 号
Z
a

6
i

i

n
i

p
i

m
i

a
ij

b
ij

C
i

p
ij

j

g
j

w
ij

Y
说 明
各个分社的强势总值
A 出版社书本的利润率
稳定系数

每个分社所分得的书号数

2006 年预测的第 i 个分社单位书号的销售量

第 i 个分社书本的平均价格

第 i 个分社申请的书号数

第 i 个分社第 j 个部门的人数

第 i 个分社第 j 个部门的工作能力

强势系数

第 j 项指标下第 i 个方案的指标比重

指标 j 的熵值

第 j 项指标的差异系数

第 j 项指标下第 i 个方案的熵权值

第 i 个分社的利润
i

4 模型的建立与求解

4.1 问题的总体分析

首先对题目进行分析， 可以确定该题是一个优化预测的问题。 其中本题给出 前 5 年的相关数据的量相当大， 所以数据的统计分析就是一个难点， 也是解决本 题的一个关键。 如何从大量的数据当中获得需要的信息， 是本题要做的一个重要 工作。
本题的总目标是 2006 年的预计销售利润最大和考虑长远的发展战略。该问 题的解决主要分为两个步骤： 1) 总出版社根据各分出版社提供的信息将总数一

4
定的书号数分配到各个分社， 也就是将总社的书号数分为 9 部分， 关键是确立分 配的标准与原则； 2) 分社再根据自己各社的状况对各课程的书号数进行具体的 定量分配。 两个步骤的目的就是希望达到利润最大。
4.2 步骤 1 模型的建立与求解

总体思路： 总社将书号数分配到各个分社， 首先就应该以 9 个分社的总利润 为目标， 各个分社所分得的书号数为决策变量。 利用附件的数据对目标函数进行 约束， 要求目标所得的利润达到最大， 最后用 Lingo 进行求解。 总体的思路比较 明了， 也由于数据量的庞大， 在模型的求解当中会比较麻烦， 还需要建立另外的 模型对目标函数中的某些量进行预测计算。
在分配书号使利润达到最大的情况下， 必须要体现的一点就是加强对强势产 品的支持力度来优化资源配置。也就要确立强势产品的定义， 它与哪些因素有关， 定出一个标准来对强势产品进行度量。

4.2.1 模型的建立

由上面的分析我们对步骤 1 首先建立一个单目标的优化模型。在这里我们引 入了一个强势的概念。 所谓强势是指反映各分出版社的市场占有率、 满意度、 市 场排位等的一个综合指标。目标函数为 9 个分社的强势值 Z，要使得 Z 的值达到 最大，在目标函数当中我们要体现对强势出版社的支持力度来优化资源的配置，
在这当中我们引入一个强势系数 Ci ，以 Ci 的大小来体现出强势产品，其中，运
用熵权法进行确定熵权值 w 。每个分社的强势值为该分社对应的强势系数 C 乘 ij i
以所分得的书号数 x 。
i

目标函数表达式如下：

5
C x
max z = 9
i i
i = 1

(1)

其中决策变量为每个分社 2006 年所分得的书号数目x 。
i
对目标函数的约束条件首先为总的书号数是一定的，为 500。

9
x = 500 (2)
i
i=1
题目要求每个分出版社所分得的书号数不得小于各分社申请总数的一半，即
x > i i = 1,2,3,...,9 (3)
m
i 2
人力资源对目标的约束， 即每个分社每年能完成的书号数有一个上限， 上限的确 定为各分社三个部门每年能完成书号数的最小值，即

x min(a b a b a b ) i = 1,2,3,...,9 (4)
i i1 i1, i 2 i 2, i3 i3,

6
4.2.2 模型的求解
对于该模型的求解，我们首先要计算出目标函数中的
Lingo 软件求出目标函数的最优解。


C ，这样才能运用
i

a) 附件 2 的数据处理

由于附件 2 的数据庞大， 我们必须对其数据进行压缩、 精简， 剔除一些和题 意无关的数据， 提取出我们需要的信息。 首先我们要对附件 2 进行处理， 方法如 下：
1. 将附件 2 中的出版社代号为 P115 的全部数据提取出来，也就是将 A 出版社 的全部数据提取出来，得到 2001-2005 这 5 年A 出版社的全部统计数据。
2. Q2f 栏为教材的获得方式，由于本题考虑的是从 A 出版社出版的书本，所以 在书的获得方式当中，对于代号 3 (高年级学生免费赠送或向高年级学生购 买二手教材)、代号 4 (老师复印的教材或讲义)、代号 6 (其他)这 3 类对 应的数据我们予以剔除。
3. Q2k 栏为获得的书本是否为新书， 由于旧书不能作为当年出版社的一个销售 反应量，所以 Q2k 栏代号为 2 (旧书)的数据也要剔除。
4. 在本题当中，附件 3 和附件 4 共统计的课程为 72 个，也就是 A (P115)出 版社现在统计的是 72 类课程书目，在题目给出的统计表中每一个课程名称 对应一个编号，但是 A 出版社所出版的书对应的课程数目却大于 72，所以 在调查问卷当中， 有些课程不在题目所统计的范围之内， 也就在调查问卷课 程名称一栏当中没有对应的编号， 是用中文汉字写出， 对于这部分的数据我 们也予以剔除。
经过上述的处理， 我们就将附件 2 的数据进行了大量的精简， 得到了一个数 据量相对较小的统计表格，然后再对统计后的表格的每一栏标题作为影响因素， 考虑这些因素是否对所建立的目标函数有影响， 能确定对书号分配没影响的先进 行剔除，其余的再根据计算的数据进行确定。

b) 强势系数 C 的确定 i
要确定 C ，首先就要从所给的附件当中提取出与权重相关的指标，经过筛
i
选提取出 4 类指标，分别为：市场占有率、附件 2 中的 Q1 栏(A 出版社在你心 目中的地位)和 Q2l 栏(对该书的满意度)。其中对书的满意度有 4 项，所以一
共影响 入 确定的指标数为 6 个。
i
对于每个指标子我们运用熵权法(参考文献[4])进行确定，熵权法是一种 决定指标的方法， 我们知道， 综合指标取决于单个指标数的确定， 一般情况下的 权重是根据经验来确定的， 但是这种确定权重的方法缺少科学根据， 也不能保证 确立的综合指标能反映原始指标的大部分信息， 且权重的确立因人而异， 所以其

应用受到了限制， 而熵权法就能够避免这些问题， 使权重的确立具有科学的根据， 具有说服力。熵权法的步骤确立如下：
① 计算第 j 项指标下第 i 个方案的指标比重 p = yij
ij m y
ij
i=1
② 计算指标 j 的熵值 e = km p ln p ( k = 1 )
j ij ij ln m
i=1

7
③ 计算第 j 项指标的差异系数

④ 定义权重 w = gj ij m g
j
i=1

g = 1 e
j j

则 w 就为熵权法确定的权重。
ij
以下根据上述理论计算每个指标的熵权：

⒈ 市场占有率的预测

从附件 2 中分别统计出各类学科书本的总量和 P115 出版社各类学科的书本 数，市场占有率方面我们考虑的是 A 出版社每一学科的书占其对应学科总数的量
市场占有率 = A出版社占有的第i类书目的数量
所有统计数据中第i类书目的数量
例如： A 出版社计算机类的书市场占有率为 A 出版社拥有计算机类的书的总 数除以市场中计算机类书的总量，各类书的市场占有率计算结果如表 4.1
表 4.1 分社的市场占有率
年份
分社
计算机类 经管类 数学类 英语类 两课类
机械、能源类
化学、化工类
地理、地质类
环境类
2002

0.141104 0.239861 0.569121 0.059231 0.338919 0.600897 0.43617 0.878505 0.734043
2001

0.132515 0.252607 0.55512 0.056597 0.38726 0.565022 0.37234 0.906542 0.702128
2004

0.158867 0.295481 0.614566 0.069792 0.354572 0.668161 0.478723 0.878505 0.829787
2005

0.165025 0.308227 0.631761 0.080208 0.377207 0.757848 0.531915 0.906542 0.925532
2003

0.155828 0.283893 0.599216 0.059172 0.327216 0.657658 0.431579 0.88785 0.734043

上述表格当中每个分社的市场占有率有 5 年的数据， 在计算的时候我们需要 2006 年的市场占有率，由于每一年只有 5 个数据，属于小样本事件，所以我们

用灰色模型 GM (1， 1)对 2006 年市场占有率进行预测。
运用 DPS 数据处理软件进行预测得出结果如表 4.2

表 4.2 经 管 数 学 类 类
预测每分社市场占有率
计 算 机类
英 语 类
两 课 类
化学、 化 工 类
0.5391
地理、 地 质 类
0.90677
环 境 类
分社
机械、
能 源
类
占 有 率
0.39585
0.09436
0.33915 0.64948
0.18384
0.99133
0.78936

对应的条形图如图 4.1

图 4.1 市场占有率条形图

⒉ Q1 栏(A 出版社在你心目中的地位)的预测

首先从附件 2 中统计出 Q1 栏中 5 年历史数据每年每一学科的平均地位，然 后建立灰色 GM (1， 1)模型对 Q1 栏数据进行预测，平均值和预测值见下表 4.3
表 4.3 Q1 栏平均与预测值
年份 分社
计算机类 经管类 数学类
2006
3.31939
2.9024
1.5799
2001
2.944
2.9817
3.0415
2004
3.38
3.3176
1.5229
2005
3.328
3.2932
1.5415
2002
3.4
3.6039
1.5028
2003
3.402
3.2776
1.5133

8
61
69
61
69
b
a

英语类
2.9877
2.3275
2.3588
2.393
2.4199
2.3564
两课类
2.1101
1.9566
2.1346
2.1188
2.1101
2.19
机械、能 源类
2.8571
2.291
2.2808
2.2483
2.2308
2.2966
化学、化 工类
3.3714
2.0732
2.122
2.0889
2.06
2.0255
地理、地 质类
2.8144
2.8191
2.8211
2.8191
2.8144
2.7871
环境类
2.9394
3.7101
3.7101
3.7308
3.7126
3.8055

⒊ 满意度(4 个评价)的预测

从附件 2 中统计出 Q2l 栏(对该书的满意度)的数据，求每年每一学科的 满意度，运用同样方法建立灰色 GM (1， 1)模型对满意度进行预测，满意度 4 个方面的评价平均及预测值见附录。
根据上面所得的 6 组预测值， 用 Matlab 按照熵权法的算法步骤进行编程求 解熵权值，可得 6 个指标的熵权值见表 4.4
表 4.4 各指标的熵权值
指标 出版社地位 评价 1 评价 2 评价 3 评价 4 市场占有率
熵权值 0.15495 0.005221 0.00433 0.00143 0.001931 0.83213

将预测的 2006 年的 6 个指标值构成一个 6×9 的矩阵，如下所示
( a
a11
|
a19 ||

矩阵 1
其中aij为第 i 个指标第 j 个学科的 2006 的预测值，然后将矩阵 1 矩阵转化成

9
矩阵 2，转化方法为 b
ij

= aij ，得到矩阵 2 ，如下
9 a
ij
j = 1

(b
b11
|
b19 ||

矩阵 2

选出每一列中的最大元素b* 与最小元素b** ，然后根据马氏距离求出第 j 列中每
i i
一个元素到b* 和b** 的距离，公式如下
i i

d * = 6 w (b b* )2
j i ij ij
i=1
d ** = 6 w (b b** )2
j i ij ij
i=1
这里对前面所定义的 C 作如下表达式：
j

C = d*j
j d* + d**
j j


(5)

(6)

(7)

10
公式 7 中如果 d* 越大，那么d** 相应的就会小， C 的值就会越大，说明第 j 个分
j j j
社的强势越明显。

最后根据上面计算的结果运用 Lingo 编写程序(程序见附录)解得书号的最 优分配情况如下表 4.5
表 4.5 各分社分配的书号数
分社 分配的书号数
计算机类 55
经管类 47
数学类 120
英语类 60
两课类 36
机械、能源类 72
化学、化工类 30
地理、地质类 40
环境类 40

由上述模型解得的结果发现大部分分社所分得的书号数要不是申请数的一半 就是申请数， 也就是大部分的取值要么为上限， 要么为下限， 从实际的出版情况 来说， 由于出版行业没有太大的波动， 所以各分社所分得的书号数与往年的书号 数相比波动也不大，于是在此基础上，我们要考虑对模型的改进。
4.3 步骤 1 模型的改进

由实际的出版行业可以得知， 在出版行业运行正常， 没有什么大的改革措施 的情况下， 各出版社的书号分配也不会出现太大的波动， 而且在模型的假设当中， 我们也假设了在一段时间内， 出版行业的运行是正常的； 另一方面， 我们可以从 历史数据看出每年的书号分配数目也没有太大的波动， 总是保持在一个小区间段 内， 而且在出版社对书号的分配波动性较大的情况下， 其市场对应的风险也相应
的越大，所以在模型的改进当中我们引入一个系数，定义为稳定系数6 ， i

6 = 1 i

11
x x
i i

x
i


(8)

其中 x 为第 i 个分出版社书号分配的平均值， 通过引入系数， 步骤 1 模型的目标
i
max z = 9 (1
i=1
)C x
i i
函数变为
(9)
x x
i i
x
i
将改进的模型用
Lingo 编程解得书号的分配情况如表4.6

表 4.6 各分社分配的书号数
分社 分配的书号数
计算机类 70
经管类 40
数学类 120
英语类 95
两课类 65
机械、能源类 40
化学、化工类 21
地理、地质类 24
环境类 25

我们将两次求得的结果与前 5 年的均值进行比较，如图4.2

图 4.2 两次预测结果与均值比较

(○ 代表原始模型分配书号数； *代表改进后模型的分配书号数； 折线代表各年 各分社分得书号数的平均值)
由图中我们可以很直观的看出改进后的模型的数据与平均值的比较靠近， 初始模 型与均值的相差较大， 也就是波动性较强， 与实际情况不是很吻合。 所以我们认 为改进的模型比较成功。
4.4 稳定性分析

对总书号数进行变动在 400 到 560 中以 20 为间隔进行稳定性分析，得到 表格和图形如下：
表 4.7 书号数的变动量与强势值变动量之间的关系
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
书号数 400 420 440 460 480 500 520 540 560
变动量
- 100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
强势值 173.347 193.329 197.684 203.200 204.434 204.172 203.622 203.250 200.980
变动量
-30.825
- 10.843
-6.488
-0.972
0.262
0
-0.550
-0.922
-3. 192

图 4.3 总书号数的变化对强势值的影响

12
从表格和图形中可以看出在强势值随书号数的变动以 400 分界，在400 以下 总书号数对强势值的影响较大，在 400 以上对强势值影响较小。总书号在 460 时强势值达到最大。 在 420 到 540 之间是比较稳定的， 出版社把每年的书号总数 定为 500 的原因可能在这里。

4.5 步骤 2 模型的建立与求解

总体思路： 步骤 2 是建立在步骤 1 的结果之下的。在每个分社的书号分配 当中， 以利润最大作为每个分社的目标函数建立优化模型， 在目标函数的建立当
中我们要引入单位书号销售量的概念 n， 对 n 进行灰色预测， 与步骤 1 的改进模
i i
型类似， 在该模型当中我们同样要加入稳定系数来控制书号数的大幅度波动。 对 于模型的约束条件我们对书号数确立一个下限，下限为历史书号数据的最低值， 上限为所申请的书号数，最终运用 Lingo 对 9 个目标函数依次进行求解。

4.5.1 模型的建立

每个分社以利润最大为目标函数建立单目标优化模型，表达式如下
max i(Y) = n xij nij qij (1 xij xij ) (10)
j =1 ij

x 为第 i 个出版社第 j 个课程分配的书号数， n 为 2006 年第 i 个分社第 j
ij ij
个课程的单位书号的销售量， q 为第 i 个分社第 j 个课程的均价。
ij
约束条件的确立：
决策变量 xij 的上限为第 i 个出版社第 j 个课程的申请书号数。下限为第 i
个出版社所有课程书号数的最低值。 这里我们仅以计算机类为例解答 (其它类相 似)。由前五年的分配的书号数的可以看出最小值为2 ，所以有如下的约束条件：
x > 2
1j

10
x = x
1j 1
j=1
x m (j=1,2,3…10)
1j 1j

4.5.2 模型的求解
在求解目标函数时，我们首先要确立 n 的值，其确立方法如下：
ij
首先将前 5 年的每个课程的单位书号销售量进行统计， 这里以计算机类的数

13
据为例进行说明， 单位书号销售量为每年每门课程的实际销售量比上该课程所分 配的书号数， 这是因为附件 2 中假设了同一课程不同书目价格差别不大， 同时销 售量相近，所以我们这样进行平均的处理。在预测 2006 年的单位书号销售量的 时候我们首先是用回归进行拟合，在处理的过程中我们发现拟合的可信度很低， 很难找到一个相关量。 这个预测是一个小样本的问题， 所以我们选择用灰色模型 GM (1， 1)进行预测，在这个过程中预测的效果都很好(C 值基本上都小于 0.5，
P 值都大于 0.7)，其统计数据和预测数据如表 4.7 (其它课程的数据见附录 2)。

表 4.7 计算机类单位书号销售量及预测值
年份 课程
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2001 2002 2003 2004 2005 2006

124 113 154.1667 240.0909 224.3333 303.4933

180.9 155.0909 223.4167 274.8333 327.25 403.5948

33.33333 92.5 57.5 382.5 101.3333 238.2424

60 69.75 62.66667 136.6667 202.75 289.0524

48.66667 60.33333 49.75 97.25 139.6667 188.9747

111.4 98.18182 118.75 168.8 243.5455 327.3054

280.25 296.125 316.7778 354 458.8889 526.1727

62.66667 61.33333 95.75 39.66667 79 68.98314

223.1 205 235.3636 303.8 355 431.407

148.25 162 161.1667 243 361.6 479.5463

在求解的时候我们可以不用考虑利润率 的大小，因为它是一个定值。这样
用 lingo 求得的结果如下表 4.8：

表 4.8 计算机学科的书号分配
对应课程 书号数量
C++程序