变换的操作A.doc

十七 变换和操作（A）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1. 黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.
2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.
3. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.
4. 一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.
对数123456789101112…272829作连续变换，最终得到的一位数是_____.
5. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.
6. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换:
(15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).
对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的
20个1
数是_____.
7. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.
8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:
① 将左边第一个数码移到数字串的最右边；
② 从左到右两位一节组成若干这两位数；
③ 划去这些两位数中的合数；
④ 所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
⑤ 所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
经过1997次操作，所得的数字串是_____.
9. 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的小三角形,中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角形的_____.

(1) (2)

10. 口袋里装着分别写有1,2,3,…，135的红色卡片各一
张，从口袋里任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回口袋内.经过若干次这样的操作后，口袋内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片.已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97.那么这张黄色卡片上写的数是_____.

二、解答题
11．请说明例1中，对1980的连续变换中一定会出现重复.对其它的数作连续变换是不是也会如此?
12. 将33方格纸的每一个方格添上奇数或偶数,然后进行如下操作:将每个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和,问是否可以经过一定次数的操作,使得所有九个方格里的数都变成偶数?如果可以,需要几次?
13. 在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作,经过若干次操作后变为下图.问:下图A格中的数字是几?为什么?

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1

14. 在19971997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变不亮,不亮变亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

———————————————答 案——————————————————————

1. 71
所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.
2. 50
每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数等于1~99的和除以100的余数.
(1+2+…+99)100=100
=4950100
=49100+50

故这张纸片上的数是50.
3. 4次；40次.
当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，1时，交换次数最多，需交换40次.
4. 3
一个整数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数,如果这个整数不是9的倍数,就可以根据这一点来确定题目要求的一位数.
(1+2+…+9)3+110+210被9除余3，可见最终得到的一位数是3.

5. 20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21
或19,19,20,21, 21.
仿例2，5个数的差距会越来越小，最后最大与最小数最多差2.最终的5个数可能是20，20，20，20，20，或者19，20，20，20，21或19，19，20，21，21.
6. 1
变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最大公约数.因为1024=210,而11…1
20个1
没有质因子2，它们是互质的.所以最后得到的两个相同的数是1.
7. 4
事实上,在第一次删节之后.留下的皆为原数中处于偶数位
置上的数；在第二次删节之后，留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次删节之后,原数中只留下处于第28k=256k号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256位数.由于256=928+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上.即为4.
8. 1731
第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173；
以下以4为周期循环，即4k次操作均为1173.
1996=4499,所以第1996次操作得数字串1173,因此第1997次操作得数字串1731.
9.
每一次黑三角形个数为整个的,所以5次变换为=
10. 3
卡片上的数字之和除以17的余数始终不变.
(1+2+3+…+135)17=918017=540.
(19+97)17=11617=6……14，
因为黄色卡片上的数都小于17，所以黄色卡片上的数是17-14=3.
11. 对1980的连续变换中,每个数都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之内必定会出现重复,对其它的数作连续变换也会如此.
12. 如图,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9个方格内的数字,0代表偶数.
a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i
d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f
g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c
d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0
g+c+a+i 0 g+c+a+i 0 0 0
d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0
可见经过四次操作后,所有九个方格中的数全变为偶数.
13. 每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如右下图),因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1或减1,所以无论进行多少次操作,白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数.由原题左图知这个常数是8,再由原题右图可得(A+7)-8=8,由此解得A=9.

14. 1997次
将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.
如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.