全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编.doc

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全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编
力学
第16届预赛题.
1.（15分）一质量为的平顶小车，以速度沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。
1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？
2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？
参考解答
1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即
（1）
从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即
（2）
其中为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即
（3）
其中为小车移动的距离。用表示车顶的最小长度，则
（4）
由以上四式，可解得
（5）
即车顶的长度至少应为。
2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即
（6）
由（1）、（6）式可得
（7）

2.（20分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为和（）。现让一长为、密度为的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。
参考解答
1．用表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由牛顿第二定律可知，其下落的加速度
（1）
用表示所需的时间，则
（2）
由此解得
（3）
2．木棍下端开始进入下面液体后，用表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为．当时，浮力小于重力；当时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有
（4）
由此可得
（5）
即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为轴，向上为正，则当木棍中点的坐标时，木棍所受合力为零．当中点坐标为时，所受合力为

式中 （6）
这时木棍的运动方程为

为沿方向加速度
（7）
由此可知为简谐振动，其周期 （8）
为了求同时在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅．木棍下端刚进入下面液体时，其速度
（9）
由机械能守恒可知
（10）
式中为此时木棍中心距坐标原点的距离，由（1）、（3）、（9）式可求得，再将和（6）式中的代人（10）式得
（11）
由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图预解16-9）上可知，对应的为30°，对应的时间为。因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为
（12）
3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间
（13）
4．总时间为
（14）

第17届预赛题.
1.（20分）如图预17-8所示，在水平桌面上放有长木板，上右端是固定挡板，在上左端和中点处各放有小物块和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不计，、之间和、之间的距离皆为。设木板与桌面之间无摩擦，、之间和、之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为；、、（连同挡板）的质量相同．开始时，和静止，以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块的初速度应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．
（1）物块与发生碰撞；
（2）物块与发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块与挡板发生碰撞；
（3）物块与挡板发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块与在木板上再发生碰撞；
（4）物块从木板上掉下来；
（5）物块从木板上掉下来．
参考解答
1. 以表示物块、和木板的质量，当物块以初速向右运动时，物块受到木板施加的大小为的滑动摩擦力而减速，木板则受到物块施加的大小为的滑动摩擦力和物块施加的大小为的摩擦力而做加速运动，物块则因受木板施加的摩擦力作用而加速，设、、三者的加速度分别为、和，则由牛顿第二定律，有

事实上在此题中，，即、之间无相对运动，这是因为当时，由上式可得
（1）
它小于最大静摩擦力．可见静摩擦力使物块、木板之间不发生相对运动。若物块刚好与物块不发生碰撞，则物块运动到物块所在处时，与的速度大小相等．因为物块与木板的速度相等，所以此时三者的速度均相同，设为，由动量守恒定律得
（2）
在此过程中，设木板运动的路程为，则物块运动的路程为，如图预解17-8所示．由动能定理有
（3）
（4）
或者说，在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和（（3）与（4）式等号两边相加），即
（5）
式中就是物块相对木板运动的路程．解（2）、（5）式，得
（6）
即物块的初速度时，刚好不与发生碰撞，若，则将与发生碰撞，故与发生碰撞的条件是
（7）
2. 当物块的初速度满足（7）式时，与将发生碰撞，设碰撞的瞬间，、、三者的速度分别为、和，则有
（8）
在物块、发生碰撞的极短时间内，木板对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计。故在碰撞过程中，与构成的系统的动量守恒，而木板的速度保持不变．因为物块、间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后、交换速度，若碰撞刚结束时，、、三者的速度分别为、和，则有

由（8）、（9）式可知，物块与木板速度相等，保持相对静止，而相对于、向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块替换继续向右运动。
若物块刚好与挡板不发生碰撞，则物块以速度从板板的中点运动到挡板所在处时，与的速度相等．因与的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，设此时三者的速度为．根据动量守恒定律有
（10）
以初速度开始运动，接着与发生完全弹性碰撞，碰撞后物块相对木板静止，到达所在处这一整个过程中，先是相对运动的路程为，接着是相对运动的路程为，整个系统动能的改变，类似于上面第1问解答中（5）式的说法．等于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和，即
（11）
解（10）、（11）两式得
（12）
即物块的初速度时，与碰撞，但与刚好不发生碰撞，若，就能使与发生碰撞，故与碰撞后，物块与挡板发生碰撞的条件是
（13）
3. 若物块的初速度满足条件（13）式，则在、发生碰撞后，将与挡板发生碰撞，设在碰撞前瞬间，、、三者的速度分别为、和，则有
（14）
与碰撞后的瞬间，、、三者的速度分别为、和，则仍类似于第2问解答中（9）的道理，有
（15）
由（14）、（15）式可知与刚碰撞后，物块与的速度相等，都小于木板的速度，即
（16）
在以后的运动过程中，木板以较大的加速度向右做减速运动，而物块和以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为
（17）
加速过程将持续到或者和与的速度相同，三者以相同速度向右做匀速运动，或者木块从木板上掉了下来。因此物块与在木板上不可能再发生碰撞。
4. 若恰好没从木板上掉下来，即到达的左端时的速度变为与相同，这时三者的速度皆相同，以表示，由动量守恒有
（18）
从以初速度在木板的左端开始运动，经过与相碰，直到刚没从木板的左端掉下来，这一整个过程中，系统内部先是相对的路程为；接着相对运动的路程也是；与碰后直到刚没从木板上掉下来，与相对运动的路程也皆为．整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即
（19）
由（18）、（19）两式，得
（20）
即当物块的初速度时，刚好不会从木板上掉下．若，则将从木板上掉下，故从上掉下的条件是
（21）
5. 若物块的初速度满足条件（21）式，则将从木板上掉下来，设刚要从木板上掉下来时，、、三者的速度分别为、和，则有
（22）
这时（18）式应改写为
（23）
（19）式应改写为
（24）
当物块从木板上掉下来后，若物块刚好不会从木板上掉下，即当的左端赶上时，与的速度相等．设此速度为，则对、这一系统来说，由动量守恒定律，有
（25）
在此过程中，对这一系统来说，滑动摩擦力做功的代数和为，由动能定理可得
（26）
由（23）、（24）、（25）、（26）式可得
（27）
即当时，物块刚好不能从木板上掉下。若，则将从木板上掉下，故物块从木板上掉下来的条件是
（28）

第18届预赛题
1.（25分）如图预18－5所示，一质量为、长为带薄挡板的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为．质量为的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？

参考解答
在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以表示人与木板间的静摩擦力，以表示地面作用于木板的摩擦力，以和分别表示人和木板的加速度，则
（1）
（2）
（3）
（4）
解以上四式，得
（5）
对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有
（6）
为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向前移动的距离为，地面的滑动摩擦系数为，则有
（7）
木板向前移动的净距离为
（8）
由以上各式得

由此式可知，欲使木板向前移动的距离为最大，应有
（9）
即 （10）
即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．
移动的最大距离
（11）
由上可见，在设木板发生向后运动，即的情况下，时，有极大值，也就是说，在时间0～内，木板刚刚不动的条件下有极大值．
再来讨论木板不动即的情况，那时，因为，所以人积累的动能和碰后的总动能都将变小，从而前进的距离也变小，即小于上述的。
评分标准：本题25分
（1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；说明时木板向前移动的距离小于时的给1分。
2.（1 8分）在用铀 235作燃料的核反应堆中，铀 235核吸收一个动能约为0.025的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025的热中子？

参考解答
设中子和碳核的质量分别为和，碰撞前中子的速度为，碰撞后中子和碳核的速度分别为和，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因、和沿同一直线，故有
（1）
（2）
解上两式得
（3）
因
代入（3）式得
（4）
负号表示的方向与方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为

于是
（5）
经过2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次为，，，…，，有

……
（6）
因此 （7）
已知
代入（7）式即得
（8）
故初能量的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 的热中子。
评分标准：本题18分
（1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。

第19届预赛
（15分）今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达

其中为一系数，为沙尘颗粒的截面积，为空气密度．
（1）若沙粒的密度 ，沙尘颗粒为球形，半径，地球表面处空气密度，，试估算在地面附近，上述的最小值．
（2）假定空气密度随高度的变化关系为，其中为处的空气密度，为一常量，，试估算当时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化）

参考解答
（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即
①
式中为沙尘颗粒的质量，而
②
③
得 ④
代入数据得 ⑤
（2）用、分别表示时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有
⑥
此时式①应为
⑦
由②、③、⑥、⑦可解得
⑧
代入数据得
⑨
评分标准：本题15分。
1. 第一小题8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。
2. 第二小题7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。

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