高考第一轮复习——数列的求和方法(理).doc

年 级
高三
学 科
数学
版 本
通用版
课程标题
高考第一轮复习——数列的求和方法
编稿老师
胡居化
一校
林卉
二校
黄楠
审核
王百玲
一、学习目标：
1. 熟练地掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用。
2. 体会并掌握用倒序相加、错位相减、裂项、并项等数学方法求数列的前n项的和。
二、重点、难点：
重点：等差数列、等比数列求和，非等差、等比数列求和。
难点：数列求和的应用。
三、考点分析：
在新课标高考中重点考查等差数列、等比数列求和及采用倒序相加、错位相减、裂项等数学方法求非等差、等比数列的和。考查的题型有选择题、填空题、综合题的某一问等，难度小，易得分。
1. 求等差、等比数列的前n项和。
若由已知条件可以判断一个数列是等差或等比数列，或可以转化为等差数列、等比数列的，则可用等差、等比数列的求和公式求数列的前n项和
等差数列求和公式：
等比数列求和公式：
2. 对于非等差、等比数列的求和，可采用下面的方法：
（1）倒序相加：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。
（2）错位相减：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列（其中数列是等差数列，数列是等比数列）的前n项和。
（3）裂项法：求数列的前n项和时，若能将拆分为：
则，常见的裂项公式有：
（i）数列是公差为d的等差数列，
则

（ii）。
（4）并项法：已知数列的相邻两项的和是相等的，可以采用并项法。
（5）公式法（利用公式直接求和）
，
，
。

知识点一：等差数列、等比数列求和及其应用
例1：基础题
1. 已知数列的前n项和是常数），且，则
2. 在等差数列中，若
3. 等比数列的前n项和是，且成等差数列，，则
【思路分析】
1. 由已知常数）得：数列是等差数列，根据等差数列的性质：
成等差数列，由此求出；
2. 由已知可求，再根据等差数列的性质求；
3. 由成等差数列，，求出首项及公比q后，可求。
【解题过程】
1. 由已知是常数）得：数列是等差数列，根据等差数列的性质：
成等差数列，
2. 由

3. 由成等差数列，得：

【解题后的思考】
对于等差数列、等比数列的求和，关键是确定数列的首项及公差、公比。同时注意等差数列、等比数列的性质的应用。
例2：中等题
1. 数列的前n项和是＝
（1）判断数列是否是等差数列，若是，求出其首项及公差。
（2）设，求数列的前n项和。
2. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和。已知，且构成等差数列。
（1）求数列的通项公式。
（2）令求数列的前项和。
【思路分析】
1. （1）由求出其通项公式即可判断。
（2）根据数列的通项公式判断数列从哪一项开始是负值，从哪一项开始是正值。去掉绝对值，再利用等差数列的求和公式求解。
2.（1）由已知，且构成等差数列，求出首项和公比q。
（2）先判断数列是等差数列，继而求和。
【解题过程】
1.（1），又。
，适合上式。故数列是等差数列，其首项是99，公差是－2
（2）由，即
时，

故
2.（1）由已知得解得。
设数列的公比为，由，可得。
又，可知，即，
解得。由题意得。
。故数列的通项公式为。
（2）由于由（1）得
，又
是首项为3ln2，公差为3ln2的等差数列。

【解题后的思考】
要注意数列综合问题中某一问求和的作用，对于数列求和时，首先要验证该数列是否是等差或等比数列，是等差或等比数列的可采用等差、等比数列的求和公式解决，若不是，再采用其他方法求和。
例3：综合与应用题
数列{an}的前n项和，数列{bn}满足。
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
【解题过程】
（Ⅰ）由，
①②两式相减得：，
故是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

＝
【解题后的思考】
对的既不是等差也不是等比数列进行数列求和时，首先要看其能否转化为等差数列、等比数列来求和，若能，则采用转化的方法求和，如利用分组可将这类数列适当拆开，则将其分为几个等差、等比或常见的数列，然后再分别求和，最后将其合并。此种方法是常见的方法，如求数列的前n项和，可转化为求等差、等比数列的前n项和。
知识点二：非等差、等比数列求和及其应用
例1：基础题
1. 数列的前2010项的和
2. 设函数f(x)=x2+x，则数列（的前n项和
【思路分析】
1. 采用并项法求和，注意
2. 求出后采用裂项法求和。
【解题过程】
1.

2.

【解题后的思考】
当数列中相邻两项的和相等时，可采用并项法求和，但要注意项数。对数列中的项通过分解组合后能消去一些项的可采用裂项法求和，要注意如何分解才能达到目的，如下列数列的分解：
（1）
（2）
（3）

例2：中等题
已知二次函数y=3x2-2x，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最大正整数m。
【思路分析】
（I）根据已知条件确定函数的解析式，得出关于n的表达式，利用求通项公式
（II）利用裂项法求，由确定m的最大值。
【解题过程】
（Ⅰ）设二次函数（a≠0），则，由得：a＝3，b＝－2，所以 f（x）＝3x2－2x。
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5。
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）。
因此，要使（）对所有都成立，必须
关于n递增，
，故所求的最大正整数值是8
【解题后的思考】
一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和时首先考虑即＝。下列求和：也可用裂项求和法。

例3：综合创新与应用
在数列中，，其中。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和。
【思路分析】
（I）将已知两边同除以得，此时可把已知数列转化为等差数列来求其通项公式。
（II）利用错位相减法求和。
【解题过程】
（Ⅰ）由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为，故，所以数列的通项公式为。
（Ⅱ）设数列的前n项和为，数列的前n项和是
， ①
②
当时，①式减去②式，
得，
。

当时，数列的前项和。
当时，．这时数列的前项和。
【解题后的思考】
错位相减法求和是推导等比数列前n项和公式时所用的方法，它适用于数列的求和，其中数列是等差数列，数列是等比数列。在错位时，应注意项数的问题，新课标高考中常考查用这种方法求和。

数列求和是中学有关数列问题的一个重要方面，也是新课标考查数列问题的重要的知识点，对数列求和的方法要熟练的掌握，特别是裂项法、错位相减法求和是考查的重点，对等差等比数列求和是重中之重。掌握等差等比数列求和的公式及其简单的应用是新课标高考复习的重点。

一、选择题
1. 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和是（ ）
A. 210 B. 200 C. 190 D. 220
2. 在等比数列{an}中，则（ ）
A. 135 B. 90 C. 205 D. 2400
3. 数列的前n项和是（ ）
A. B. C. D.
4. 数列的前n项和是（ ）
A. B. C. D.
5. 数列的前n项和是10，则n＝（ ）
A. 100 B. 110 C. 90 D. 120
6. 已知数列的前n项和＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋，则（ ）
A. 13 B. －76 C. 46 D. 76

二、填空题
7. 数列的通项公式是，则其前20项的和＝_________。
8. 设数列均是等差数列，其前n项和分别是为， ，，则，。
9. 已知正数组成的等差数列的前20项的和是100，则的最大值是__________。
10. 在各项均为正数的等比数列中，若。

三、计算题
11. 已知数列的首项，，…。
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和。
12. 已知点是函数图像上的一点，数列的前n项和为，数列的首项为c，（，其前n项和满足，
（1）求数列的通项公式
（2）若数列的前n项和为则满足的最小正整数n是多少？

一、选择题
1. A 解析：由等差数列的性质得：成等差数列可求。
2. B 解析：由等比数列的性质得：成等比数列可求。
3. C 解析：因为，

4. A 解析：

5. D 解析：
，
＝，
6. B 解析：

二、填空题
7. 2146 解析：由通项公式得：奇数项成等差数列，公差为2，偶数项成等比数列，公比是2

8. ，
解析：＝＝
＝.
设＝kn（5n＋3），＝kn（2n－1）（）
＝－＝ k{n（5n＋3）－（n－1）［5（n－1）＋3］}＝k（10n－2），
＝－＝k{n（2n－1）－（n－1）［2（n－1）－1］}＝k（4n－3），
∴＝k×（10×5－2）＝48k
＝k×（4×8－3）＝29k
∴ ＝
9. 25 解析：
10. 10
解析：设

＝
＝
＝10

三、计算题
11.（Ⅰ）证明： ，
，

又，
数列是以为首项，为公比的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，即，。
设…， ①
则…，②
由①②得
…，
。又…。
数列的前项和。
12. 解：（1）由已知得：
当时，
是等比数列 的公比是

由题设知：，由得：
，
∴，
当，
（2）

由得：
故满足条件的最小正整数n是112。

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