圆与方程教案及练习题.doc

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圆与方程
一、圆的标准方程
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
化简可得： ②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.
2. 求圆的标准方程的一般步骤为：
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为．
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
(3)解此方程组，求出a，b，r的值； .
(4)将所得的a，b，r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程．
3. 求圆的标准方程的常用方法：
（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；
（2）待定系数法：先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后解出a，b，r，再代入标准方程.
二、圆的一般方程
1.方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程.
2. 对于方程 .
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
3.圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.
例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组.
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
练习：1．判断二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

2．若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为 （ ）
A.-1. B.2 C.-1或2 D.1
3.一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.

4.求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.

5.一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求圆的方程。

6．已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程．

三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内；点在圆上；点在圆外
即（1）点在圆上等价于；
（2）点在圆内部等价于；
（3）点在圆外部等价于．
2.涉及最值：
（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）
练习：1.已知点在圆上，求的值．

2.设点P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9上各点距离为d,则d的最大值为______
四、直线与圆的位置关系
I 复习准备：
1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：
（1）相交，有一两个公共点；
（2）相切，只有一个公共点；
（3）相离，没有公共点。
2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
3.判断方法（为圆心到直线的距离）
（1）相离没有公共点
（2）相切只有一个公共点
（3）相交有两个公共点
4.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形(如图)
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线与圆相切意味着什么？：圆心到直线的距离恰好等于半径
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
如定点，圆：，[]
第一步：设切线方程 第二步：通过，从而得到切线方程
特别注意：（i）以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！
（ii）点在圆上
（1）若点在圆上，则切线方程为
（2）若点在圆上，则切线方程为
③求切线长：利用基本图形，
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
弦长公式：（掌握，圆锥曲线将会涉及）
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
练习：1.直线3x-4y+1=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为 （ ）
(A) (B)4 (C) (D)2
2.若直线ax+y=1与圆(x-)2+(y-2)2=1 有两个不同交点，则a的取值范围是 （ ）
A.(0, ) B.(- ,0) C.( ,+∞) D.(-∞,- )
3.已知点M(a,b)(a,b≠0)是圆C:x2+y2=r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax+by=r2,那么 （ ）
A.l//m且m与圆C相切 B. l⊥m且m与圆C相切
C.l//m且m与圆C相离 D. l⊥m且m与圆C相离
4.直线(x+1)a+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是 （ ）
A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定
5.把直线x-2y+l=0向左平移1个单位长度，再向下平移两个单位长度后，所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数l的值为 （ ）
A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-13
6.直线与圆交于两点，则三角形（是原点）的面积等于 。
7.若经过点的直线与圆相切，求此直线在y轴上的截距.

8.过点向圆引切线，求切线方程.

9.已知圆：，直线：（）
（1）证明：不论取什么值，直线与圆均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程.

五、对称问题
1.圆本身关于直线对称，则直线过圆心。
2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称，半径不变。
练习：1、曲线x2+y2+2x-2y=0关于 （ ）
A.直线x=轴对称 B. 直线y=-x轴对称
C.点（-2,）中心对称 D.点（-,0）中心对称
2.若圆，关于直线对称，则实数的值_ .
3.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 （ ）
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________ .
5.圆关于点对称的曲线方程是__________________.
六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；
练习：1.在圆x2+y2=4上，与3x-4y-12=0距离最长的点的坐标是 （ ）
A. (,- ) B. (,- ) C. (- ,) D. (- ,)
2.在圆上，在圆，则的最小值是 。
3.一束光线从点A(-1,1)出发，经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（ ）
A.4 B.5 C.3–1 D.2
4.从点(m,3)向圆x2+y2-2x=0作切线，则切线长的最小值是 （ ）
A.2 B. C.3 D.
5.已知实数，满足方程，求：
（1）的最大值和最小值；（2）的最小值；（3）的最大值和最小值.

七、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（为圆心距）

（1）外离 （2）外切
（3）相交 （4）内切
（5）内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若与相切，则表示其中一条公切线方程；
若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）
说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线与圆交点的圆系方程为
（3）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线
练习：1.若圆C1: x2+y2-2mx+m2=4和圆C2: x2+y2+2x-4my=8-4m2相交，则m的取值范围是（ ）
A. (- ,- ) B.(0,2) C. (- ,)∪(0,2) D. (- ,- )∪(0,2)
2.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有 （ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

3．求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．

八、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
练习：1.已知M (-1,0), N (3,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程( )
(A) (B)(C) (D)

2.过原点O作圆x2+y2+6x=0的弦OA (1)求弦OA中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.

3.如图，圆与圆的半径都是1，=4，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。

P

M

O1
O2

4． 如图，已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
x
Q
y
O

九、空间直角坐标系
I 复习准备：
1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？
2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？
II 讲授新课：
1.空间直角坐标系：
如图，是单位正方体.以A为原点，分别
以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴
。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(1)点A叫做坐标原点 (2)x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. (3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
2. 右手法则： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
3.有序实数组
（1).空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标
4、空间两点的距离公式
已知两点M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2)，求此两点间的距离d。
空间两点的距离公式:
。
思考：（1）点M（x，y，z）到坐标原点O（0，0，0）的距离？
（2）如果是定长r,那么表示什么图形？
5练习：
1.点A(0,-4,1),点C与A关于平面xOy对称，点B与点A关于原点对称，则|BC|=（ ）
A.7 B.8 C.9 D.2
2.已知点A(1,4,-1),B(2,2,1),C(3,4,3),则△ABC的形状是___________________

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