圆与方程教案及练习题.doc
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1、_圆与方程一、圆的标准方程1、情境设置:在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢?探索研究:2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r。(其中a、b、r都是常数,r0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件化简可得: 引导学生自己证明为圆的方程,得出结论。方程就是圆心为
2、A(a,b),半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。1. 圆的标准方程:方程表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;(3)解此方程组,求出a,b,r的值; .(4)将所得的a,b,r的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的标准方程3. 求圆的标准方程的常用方法:(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程;(2)待定系数法:先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,再代入标准方程.二、圆的一般方程1.方程表示的曲线不一定是圆,只有当时
3、,它表示的曲线才是圆,我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程.2. 对于方程 .(1)当D2E24F0时,方程表示(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;(2)当时,方程只有实数解,即只表示一个点(-,-);(3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形3.圆的一般方程的特点:(1)x2和y2的系数相同,不等于0没有xy这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D,E,F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.例1求过三点A(0,0),B(1,1),
4、C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先设出圆的一般方程 解:设所求的圆的方程为:在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组.即解此方程组,可得:所求圆的方程为:;得圆心坐标为(4,-3).或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3) 练习:1判断二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( )A.-1. B.2
5、 C.-1或2 D.13.一个圆经过点与,圆心在直线上,求此圆的方程.4.求经过两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.5.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2,求圆的方程。6已知圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;圆心到直线l:x-2y=0的距离为,求该圆的方程三、点与圆的位置关系1.判断方法:点到圆心的距离与半径的大小关系点在圆内;点在圆上;点在圆外即(1)点在圆上等价于;(2)点在圆内部等价于;(3)点在圆外部等价于2.涉及最值:(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值 思考:
6、过此点作最短的弦?(此弦垂直)练习:1.已知点在圆上,求的值2.设点P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9上各点距离为d,则d的最大值为_四、直线与圆的位置关系I 复习准备:1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系:(1)相交,有一两个公共点;(2)相切,只有一个公共点;(3)相离,没有公共点。2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系?现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系?3.判断方法(为圆心到直线的距离)(1)相离没有公共点(2)相切只有一个公共点(3)相交有两个公共点4.直线与圆相切(1)知识要点基本图形(如图)主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等问题:直线与
7、圆相切意味着什么?:圆心到直线的距离恰好等于半径(2)常见题型求过定点的切线方程切线条数:点在圆外两条;点在圆上一条;点在圆内无求切线方程的方法及注意点i)点在圆外如定点,圆:,第一步:设切线方程 第二步:通过,从而得到切线方程特别注意:(i)以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上千万不要漏了!(ii)点在圆上(1)若点在圆上,则切线方程为(2)若点在圆上,则切线方程为求切线长:利用基本图形,求切点坐标:利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交(1)求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式:(掌握,圆锥曲线将会涉及)(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点
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