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浅谈逆向思维训练在数学教学中的实施
宜城市汉江中学 杨永红
数学是思维的体操，思维是智力的核心。逆向思维是数学的一个重要法则，其特点表现在：善于从不同的立场、不同的角度、不同的侧面去进行探索，当某一思路出现阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决。当学生经过努力从正向理解了某个概念、定理、公式、法则后，若能适当引导学生进行逆向思考，往往会跨进新的知识领域。当人们习惯于正向思维，尤其处于“山穷水尽疑无路”的困境时，逆向思维往往会出现“柳暗花明又一村”的美景。
一 阻碍学生逆向思维的因素：
1.从教学形式看，最主要是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理——证明定理——运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维。
2.从思维过程看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是从一个方面其作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想。这种转化给学生带来了一定的困难性，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练。
3.从思维能力看，初中学生的思维是刚刚从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的一种定势。
二 逆向思维受阻的具体表现：
①缺乏显而易见的逆向联想。
由于学生在学习过程中，进行了较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。
例：“1，0，－1的立方根分别是____”，学生回答得非常轻松，也非常正确；但对“一个数的立方根是它的本身，则这个数是____”这一题，却只有少数学生才能填写完全的。像这些显而易见的逆问题，在教学中常常遇到，学生解答起来却并不顺利。
②混淆重要定理的正逆关系。
对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序。
例：勾股定理的逆定理的运用，“在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由。”学生认为运用的是勾股定理，理由是“∵AC+ BC= AB，∴5+12=13，∴△ABC是直角三角形。”其实有“AC+ BC= AB”，已经是直角三角形了，还要“5+12=13”干什么呢？
③忽视正逆转化的限制条件。
例：已知，则；但反过来由推出“”就不全面了，遗漏了另一种情况“”。特别是对一些限制条件的反求，学生更是束手无策，如：当时，；若，则的取值范围是____；使成立的条件是____；等等。
④缺乏逆向变形的解决能力。
例：计算，有些学生竟然对它进行通分，却不会用的变形。
⑤缺乏逆向分析的解题思路。
学生在分析问题时只习惯于从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，缺乏双向思维解决问题的能力。有下面两个例子：
例：已知：在△ABC中，AB=AC，BDAC于D，
求证：。
此题也应从结论分析，因为结论中有平方，联想到要用勾股定理，从题设中的“BDAC”条件联想到可以用勾股定理。有此想法的学生很少，完全做正确的学生更少。
三 逆向思维训练在教学中的具体实施：
心理学家研究的结果表明，中小学的学生思维发展中所表现的思维方向和水平是不同的，最初只能是单向的，没有逆向思维，以后才逐渐形成思维的可逆性和反复性。对于学习能力不同的学生，从正向思维序列转到逆向思维序列程度也不同：一般地，能力较强的学生几乎在建立正向思维的同时，就建立了逆向思维，只需稍加点拨；能力中等的学生，要建立逆向思维必须进行适当的训练；能力较差的学生，要形成这种逆向的心理过程是非常困难的，对于这些学生还是把重点放在正向思维的建立上，在巩固了正向思维的基础上，通过教师长期多方面的引导和特别训练，才能逐步地接受逆向思维。那么，逆向思维训练如何在教学中的具体实施呢？
1、定义教学中逆向思维的训练.
作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。
例如在讲“相反数”概念时，不但要问学生：“5的相反数是什么？”还要问：“－5是什么数的相反数？”，“－3和什么数是互为相反数？”，“互为相反数的两个数有何特征？”，这样从正逆两个方面提出问题，可以帮助学生深刻理解相反数的概念。类似的，在讲“绝对值”时，也可以从正逆两个方面去引导学生。
在几何的教学中，特别是入门阶段，对每一个定义，都要引导学生分清其正逆方向的关系，对今后推理论证的教学很有裨益。值得注意的是教师在平时教学中，经常强调一个定理的逆命题不一定成立，在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑。
例如在讲“互为余角”、“互为补角”这两个概念时，要告诉学生概念的条件和结论是互逆的，即如果已知两角互余或互补，则可得到两个角的和等于90度或180度。这样才有助于加深对这两个概念的理解。又如在学习“平行四边形”的定义时，要让学生知道“两组对边分别平行”不仅可以作为判定平行四边形的方法，同时它也是平行四边形的一条性质。
2.、公式教学中逆向思维的训练.
数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯。事实上，若能够灵活地逆用公式，再解题时就能得心应手，左右逢源。
在此应特别注意两点：第一、强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”。如：，，，，等；第二、逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段。
.例1：化简
分析：直接化简比较困难，如果逆用平方差公式可把a－b改写成 ( )( ) 的形式，问题便迎刃而解了。
解：===
例2：计算：.
分析：直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可化难为易。
解：原式

.
3、运算法则教学中逆向思维的训练.
数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念可以转化为乘法。
例1：已知：，，求：的值.
分析：将同底数幂的除法法则逆用后得到结果。
解：原式.
例2：已知：，，，试比较、、的大小.
分析：可逆用幂的乘方法则，把a ,b, c变成3个同指数的幂，从而比较它们的大小。
解：∵，，.
又∵125﹤243﹤256. ∴﹤﹤.
4.、定理教学中逆向思维的训练.
不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。
例如对定理：“等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合”。逆向分析可得出怎样的几个命题？是真还是假？有什么用途？学生既熟悉了等腰三角形的“三线合一”的性质，又掌握了等腰三角形的判定方法。
又如在学习角平分线的性质定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”时，教师在讲完此性质后，可马上问学生：“它的逆命题是什么？是真命题还是假命题？”这样既巩固了性质定理，又提高了学生的学习兴趣，同时又很自然的引出了角平分线的判定定理。
四 逆向思维训练的实施策略：
在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解，再或者证明问题的不可能性，等等都需要有非常规思路去解决。非常规地实施逆向思维的训练常采用以下三种策略：
1、“正”难则“反”
例1：求函数y= 中自变量x的取值范围。
分析：如果从正面入手，则需解，显然这是一个一元二次不等式，解它比较困难，但从问题的反面入手则比较简单，即先解方程，
解：当时，此函数无意义
解得 x＝－1或x＝－3
所以当x －1且x －3时，此函数有意义。
例2：（北师大九年级上册第8页）已知都是正数，且,那么这5个数中至少有一个大于或等于。
分析：要证明这一结论，显然从正面证很难，可从结论的反面入手。
证明：假设这5个数中没有一个大于或等于，即都小于，则有，这与已知条件：相矛盾，所以假设不成立，那么这5个数中至少有一个大于或等于。
说明：反证法是一种逆向思维的方法，被誉为“数学家最精良的武器之一”，是解数学题常用的方法。当题目出现有“至少”或“至多”字样，或以否定形式给出时，一般采用反证法。
2、以“退”求“进”
例：比较与的大小.
分析：有关二次根式的计算、化简常要分母有理化，而本题却要将分子有理化。当然，解决这个问题的办法不止一个。
解：，.∴.
3、反“客”为“主”
例：已知：方程（其中是非负整数），至少有一个整数根，那么.
分析：原方程的结构比较复杂，此时应逆向思维，反客为主，即从反面入手，为主元，然后分类讨论，可简易获解。
解：原方程变形为：
即：
∴，∵为非负整数，为整数根.
∴当时，；当或时，；当时，.
∴的值为1，3，5。
五 逆向思维的训练必须量力而行：
实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处。
在数学教学中培养学生逆向思维值得说明的是：
首先，必须有扎实而丰富的基础知识和基本思想方法为前提，只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向、不同联系上去考虑问题；
其次，在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法的培养，使之形成习惯；
再者，提倡变式教学，“模式化+变式”是逆向思维训练的高效率的形式之一；
最后，培养学生的逆向思维的能力，必须量力而行，应注意学生的可接受性，因为许多逆向问题对中、下学生来说，考虑起来还是比较困难的，该回避的还是不涉及为好，让这些学生集中精力掌握好基本内容；对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，对培养他们的学习兴趣，拓广思路，提高能力都起着十分重要的作用。

参考文献：
1. 徐法林. 逆向思维在解题中的应用. 《数学大世界》. 2005年第1-2期.
2. 孟祥云. 注重逆向思维能力的培养. 《中小学数学》. 2005年第7-8期.