高中物理-经典复习资料-气缸问题的归类与综述.doc

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黑龙江省哈尔滨市木兰高级中学高中物理 经典复习资料 气缸问题的归类与综述
　　气缸类问题是热学内容的典型综合题，本文先简述解决气缸类问题的分析方法然后将气缸问题归类并加以解析.
　　一、气缸类问题的分析方法
　　应用理想气体状态方程解决问题时，要明确方程的适用条件，即理想气体的质量不变，气缸类问题的分析方法是：1.认真审题，明确研究对象，气缸类问题涉及气体、气缸、活塞、水银等多个研究对象，必须选准研究对象，2.分折清楚题目所表述的物理过程，若以气体为研究对象，要明确气体的初、末状态及分析清楚状态的变化过程，选好状态参量根据气体方程列式，若以气缸、活塞等物体为研究对象，必须对它们进行受力分析，根据它们的运动状态，选择合适的力学规律列方程，3.注意挖掘题目的隐含条件，列出辅助方程，综合起来分析的关键在于：找出状态参量，其中压强往往是解题的关键。因为它是联系气体状态和力学规律的桥梁，气缸类问题归纳起来主要有下文的五种类型。
　　二、气缸与弹簧结合类问题
　　例1 如图1(a)所示， 长为2L的圆形气缸可沿水平面滑动，气缸与水平面间的动摩擦因数为u，在气缸中央有一面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T，压强为大气压强p0，在墙壁与活塞间装有劲度系钦为k的弹簧，当活塞处于图(a)中位置时，弹簧恰处于原长位置，今要使气缸内气体的体积增加一倍，问气体的温度应达到多少度？(气缸内壁光滑，气缸和气体的总质量为m，弹簧质量忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

　　析与解 选缸内的气体为研究对象，气体的状态参量变化情况是：温度升高，压强增大，体积膨胀，活基会压缩弹簧，若以气缸、活塞、弹簧为一整体，受到墙对此整体向在的弹力，因此气缸有向左滑动的趋势，地面对气缸有向右的摩擦力，若气缸不相对地面滑动、弹簧的压缩长度不L，如图(b)所示，此时气缸受到的摩擦力为f=F=kL，若气缸在温度升高的过程中发生了滑动，弹簧的压缩量x小于L，如图(c)，两种情况下气体的温度不相同。
　　1.假设kL≤umg，气缸不发生滑动，分析活塞的受力知气体的压强p1为：p1S＝p0S+kL

　　2.假设kL＞umg，气缸会相对地面发生滑动，当气缸受到的摩擦力f小于umg时，气体压强会随温度升高而增大，当f=umg=kx后，气缸发生滑动，活塞位置保持不变，气体作等压变化，分析活塞受力，气体的

　　小结1.本题是属于具有临界条件类问题，临界条件是当气体的体积增大1倍时，气缸不发生滑动，且静摩擦力等于最大静摩擦力，即kL=μmg，2.解决此类问题要对题意具体分析，先找出诸多可能状态的临界条件，后据临界条件列辅助方程求解。
　　例2如图2(a)所示的气缸内，有上、下两个气缸活塞A和B，质量相等，连接两活塞的轻质弹簧的劲度系数k=50 N/m，活塞A上方的气体压强p=100pA不变，平衡时两活塞之间的气体压强也为p=100pA不变，气体的长度l1=活塞B下方的气体的长度l2=，气缸口的截面积S=，起初，气缸内气体的温度是T=300K，现让气体的温度缓慢上升，直到温度都达到T′=500K，试问在这一过程中活塞A上移了多少距离？

　　解析由于两部分气体的温度都增大，故两部分气体的体积增大，活塞A上升的距离如图(b)示，关键在于找出后来A、B两部分气体的长度l1′和l2′，研究B下面的气体，将上面的两个活赛和弹簧视为一整体，此部分气体的压强保持不变，即作等压变化，
　　研究AB之间的气体，分析活塞A的受力，由于上下气体对活塞的压力大小相等，弹簧原长记为l0，有：

　　升温后A活塞第二次平衡，设AB间距离为l1′，活塞A受到四个力的作用，重力mg，上方气体压力pS，封闭气体向上的压力p′S，弹簧对活塞A的弹力假设为向下的拉力，有：
p′S=k(l1′-l0)+mg+pS ②

　　将③式及数据代入④式得：l1′＝
　　A活塞移动的距离d=(l1′-l2′)-(l1+l2)=
　　小结 1.此题的难点在于AB间气体后来的压强，此处不知弹簧弹力的方向，在条件不充足的情况下假设力的方向然后再加以验证，如解题中的②式若弹簧仍是向上的弹力，则k(l1′-l0)＜0，②式仍然成立，2.画图是帮助确定A活塞移动距离的好方法，分析题目时，画出物理过程图是形象化的好手段。
　　三、气缸与水银柱结合类问题
　　例3 如图3所示，一长为L的细气缸，开口端向上竖直放置，有一不计质量和厚度的活塞封闭一定质量的理想气体，话塞上端有高h cm Hg，当时大气压强为H水银柱，气体温度保持不变，(1)若从开口端吸一些水银而不使剩余的水银溢出，要满足什么条件？(2)若从开口端再注入一些
　　解析 1.设吸取一小段在筒内长为△x的水银，设活塞的面积为S，分析水银封闭的气体的状态，初始状态p1=H0+h，V1=(l-h)S，取出水银剩余的水银不溢出，气体的压强p2=H0+h-△x，气体的最大体积是(l-h＋△x)S，即气体体积满足V2≤(l-h+△x)S，根据玻意耳定律得这：p1V1=p2V2.
　　(H0+h)(l-h)S≤(H+h-△x)(l-h+△x)S
　　化简为 △x2-(H0-l+2h)△x≤0
　　按题意，△x＞0，吸取的水银长度△x满足：
　　△x≤H0＋2h-l,且l＜H0＋2h
　　2.设注入的水银在筒中的长度为△x气体的初始状态同1，气体的压强变为H0+h+△x，气体的最大体积为(l-h-△x)S，同样根据玻意耳定律，水银不溢出满足：
　　(H0＋h)(l-h)S≤(H0＋h＋△x)(l-h-△x)S
　　△x2+(H0-l+2h)△x≤0
　　注入的水银长度△x满足：△x≤l-H0-2h
　　按题意△x＞0，且l＞H0-2h
　　小结 1.此题的解法用了假设法，此法是为了解图方便假设了某些物理条件或物理状态，然后在此基础上解题，本题假设了气体的状态，即加上水银后气体的压强和体积；2.此题涉及到如何将物理问题数学化，水银不溢出的条件用数学公式如何表达，即气体在某压强下体积允许的最大值多大.
　　例4 如图4所示，坚直圆筒固定不动，粗筒横截面帜是细筒的2倍，细筒足够长，粗筒中轻质活塞A下方封有空气，当温度为时，气柱长L＝活塞A上方的水银高H＝水银面与粗筒上端相平，活塞A的厚度及筒壁的摩擦不计，现将气体温能升高至，被封闭气体的压强是多少cm水银柱高？(大气压强p0=75cmHg)

　　解析 以气缸内的气体为研究对象，当温度升高时，气体的压强会增大，体积膨胀，活塞将水银往上推，由于筒的面积变小，水银的高度增大，随着温度的继续升高，在活塞刚好到达细筒口时气体的压强是大气压强加上水银产生的压强，压强值为p＝p0＋2H=85cmHg，若气体温度再升高，筒内气体的体积不会发生变化，气体的压强增大，会使活塞压紧细筒口，气体的压强会大于85cmHg，设活基恰好到达细筒口时温度为T，根据状态方程有：

　　代入数据得：T=398.4K＜500K，说明活塞已压紧细筒口，从温度T到500K过程气体作等容变化，根据状态方程有：

　　小结 1.此题容易出现的错误是认为活塞已经升至筒口，气体的压强是85cmHg；出现这样的错误在于没有考虑到细筒口对活塞有向下的压力；2.若题目给出的最后温度比398.4K低，则要假设活塞上移x再找状态参量列方程求解，从题目的分析过程应体会到状态过程分析解题至关重要，
　　四、气缸中活塞将气体分隔二部分类问题
　　例5 如图5所示.密封圆柱形容器中有活塞将容器分成AB两部分，活塞可无摩擦地上下移动，AB两部分封有同质量的同种理想气体，当温度都为300K时，A、B两部分气体体积之比为4，问当气体的温度为多少时，AB两部分气体的体积之比为3？

　　解析 两部分气体的质量温度种类相同，由于VA=4V，VB=B，所以：pA=p，pB=4p，AB两部分气体压强不同，说明活塞亦产生压强，记为△p，分析活塞受力：4pS=pS+△pS，△p=3p，当温度升到T时，按题意：

　　气体的总体积不变：Va1+VB1=VA+VB=5V ③

　　两部分气体的压强关系满足：

　　从②④两式得：pa1=1.5p，pB1=4.5p.

　　代入数据：Tx=422K.
　　小结 1.对解决状态参量多的题目，可以将状态参量全部列出来，找出对解题方便的参量.2.解两部分气体有关联的题目，要想方设法找出两部分气体在体积、压强、温度方面有什么关系，用式子表达出来.3.升温活塞向上移动是因为

例6 如图6所示，水平放置的两直径不同的绝热气缸中两个活塞封闭了两部分理想气体，两活塞用细长直杆连接，它们之间是真空的，现在两活塞都处于静止状态，活塞与汽缸内壁间密封很好，摩擦不计，如果让AB两部分气体升高同样的温度△T，活塞是否移动？若移动，朝何方向移动？根据何在？

　　解析 活塞朝什么方向移动，是决定于活塞所受到的合外力，现两活塞处于静止状态，有：
pASA=pBSB ①
　　假设两活塞没有移动，A、B两部分气体体积不变，两部分气体的压强都增大，设为△pA，△pB，应用查理定律的

　　两部分气体对活塞的压力都增大，记为FA、FB有：FA=(pA+△pA)SA，FB=(pB+△pB)，将△pA，△pB代入得：

　　到的合外力为：

　　由于气缸绝热，不知原温度TA、TB的关系，故讨论：
　　1.若TA=TB，FA=FB，活塞不移动；
　　2.若TA＞TB，FA＜FB，活塞向左移动；
　　3.若TA＜TB，FA＞TB，活塞向右移动；
　　小结 二部分气体中间隔着静止的活塞或水银且要讨论活塞或水银在气体温度变化时怎样移动的问题，方法是：先假设活塞或水银不动，利用查理定律的等分形式求出压强的变化量进而求出两部分气体对活塞或水银压力的变化量，比较它们是否相等，即可确定活塞或水银如何移动.
　　五、气缸与力学规律结合类问题
　　例7 放在光滑水平面上的气缸，缸体的质量为M，活塞的质量为m，静止时活塞距缸底l0，活塞面积为S，外界大气压强为pn，现水平推力向左推活塞，使活塞和气缸以共同加速度向左加速运动时，活塞到气缸底的距离变为l，若仍然用同样大的力推活塞使气缸与活塞以共同的加速度竖直向上运动，活塞到缸底的距离多大？(假设气体的温度不变)

　　解析 设推力为F，由于M，m的运动情况相同，应用整体法，水平运动时的加速度为a，根据牛顿第二定律：
F=(M+m)a ①
　　用隔离法分析活塞受力，受到封闭气体的压力pS，大气压力p0S，水平推力F，应用牛顿第二定律：
F+p0S-pS=ma ②
　　对气体应用玻意耳定律：p0×l0S=p×lS ③

　　竖直向上加速运动时，共同加速度为a1，应用牛顿第二定律：F-(M＋m)g=(M＋m)a1

　　分析汽缸受力，有竖直向下的重力mg，大气压力p0S，封闭气体向上的压力p1S，应用牛顿第二定律：

　　比较③⑥两式，说明两种状态下压强相等，故气体的体积不变，活塞到缸底的距离为L.
　　小结 当封闭气体的容器处于非平衡状态时，求压强或加速度往往是选择与气体接触的液柱，活塞或汽缸作为研究对象进行受力分析，应用牛顿运动定律列方程，列方程往往繁体法和隔离法交叉使用，应用牛顿定建时气体的压力F=pS中的p单位必须是pA，因为力的单位是N.
　　例8 如图8所示，在水平面上固定一个气缸，缸内由质量为m的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与缸体间无摩擦无漏气，活塞到缸底距离为L，今有一质量为M的重物自活塞上方h处自由下落到活塞上，碰撞时间极短即一起向下运动，向下运动过程中活塞可达到最大速度v，求：活塞向下移动达到最大速度的过程中，被封闭气体做的功.(假设被封闭气体的温度保持不变，外界大气压为p0)

　　解析 求封闭气体做的功，即是气体对活塞向上的压力所做的负功，活塞向下压缩的过程气体的压强发生变化，对活塞向上的压力大小发生变化，变力做功的求法一般用动能定理，分析整个运动过程： 1. M作自由落体运动；2.M与m相互碰撞，由于时间极短，内力远大于外力，可认为M、m的碰撞过程动量守恒；3.M、m以共同的初速度向下加速运动，加速度不断变小，速度不断增大；4.当M、m受到的重力、大气压力、封闭气体向上的压力，三力合力为零时速度最大.

　　M、m的共同速度为V2，根据动量守恒定律：

　　被封闭气体的初始压强为p1，分析活塞受力：

　　设活塞下降△L速度量大，根据玻意耳定律：

　　以活塞为研究对象应用动能定理，活塞下降过程有三个力做功，即重力、大气压力和封闭气体的压力做功，有：
　　(M+m)g△L＋p0S△L＋W

　　将①②⑦式代入⑥式有：

　　小结 解力学题目物体运动过程的分析和物体受力分析是解题的基础，同样对气缸与力学规律结合的题目，对活塞或气缸进行受力分析是选用合适物理规律解题的关键，变力做功的求法一般用动能定理或功能关系.
　　六、气缸多值解类问题
　　例9 两端开口的U形气缸内充有空气，在其筒口将质量均为m的两个活塞维持在同一高度h处，如图9所示，左筒横截面积为2S.右筒及底部横截面积为S，底部长度为3h，管内空气压强等于大气压强p0，现放开活塞，求两个活塞的稳定高度，(不计活塞与管壁间的摩擦，且活塞的厚度大于水平管的直径，筒内气体的温度不变，初始位置时活塞的下表面与管口相平齐)。

　　解析 气体的初始状态是气体压强为p0，体积为6hS，释放二活塞后，加在左右两筒气体的压强不相同，左筒的压强是：

　　在竖直筒间，右筒活塞会下沉到筒最下端封住气体，左筒的活塞会停留在什么位置？则应讨论，但出现的情况只会有三种：1.仍在原位置；2.下沉到左筒最下端；3.停留在最下端与原位置之间.假设左筒活塞在原位置，气体质量不变，气体的压强为：

　　假设左筒活塞刚好下沉到最下端，此时气体的压强亦为：

　　综合起来有：右筒活塞沉到最下端。
　　原来的位置；

　　课程·教材·教法(京)，1999.9.32～35
　　应用玻意耳定律：

　　4.当m≥2p0gS/g时，左筒活塞亦下沉到最下端。
　　小结 此题目隐含的条件是活塞的质量面积未确定，活塞产生的压强未确定，因此气体最终的体积未确定，才会使活塞的位置有多值解

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