通信原理 李晓峰 课后习题答案.doc

习题一
4-1

1. （略）
2. 两个二元消息符号与的取值及概率分别为：

0.3 0.7

0.3 0.2 0.3 0.2
求它们的熵。
解：利用式易见，

3. （略）
4. 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s。试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？
解：
（1）利用式，

连续按键产生的熵率

（2）拨号产生的二进制数率,

5. （略）
6. 假定容量为4.7GB的DVD盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？
解：数据率为

注意，1GB=，有时也可用。
7. （略）
8. （略）
9. （略）
10. 假定电传打字机的信道带宽为300Hz，信噪比为30dB（即，），试求该信道的容量。
解：利用式
有
11. 假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz，信噪比为25dB（即，），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps的调制解调器中哪个较合适？
解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz，利用式，有

故应采用的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。

习题三

1. （略）
2. 一个AM信号具有如下形式：

其中Hz；
（1） 试确定每个频率分量的功率；
（2） 确定调制指数；
（3） 确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比。
解：（1）试确定每个频率分量的功率

的5个频率分量及其功率为：
：功率为200w；：功率为0.5w；：功率为0.5w；:功率为12.5w；:功率为12.5w。
（2）确定调制指数

因此，。
（3）确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比
5个频率分量的全部功率为：

边带功率为：
边带功率与全部功率之比：
3. 用调制信号对载波进行调制后得到的已调信号为。为了能够无失真地通过包络检波器解出，问的取值应满足什么条件。
解：
如果，即发生了过调制，包络检波器此时将无法恢复出。因此要想无失真通过包络检波器解出，则需要。

4. 已知调制信号，载波为，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达式，并画出频谱图。
解：根据单边带信号的时域表达式，可确定上边带信号：

同理，下边带信号为：

两种单边带信号的频谱图分别如下图所示（载波为，即）：

5. （略）
6. （略）
7. （略）
8. （略）
9. （略）
10. （略）
11. 图题3.11是一种SSB的解调器，其中载频kHz。
（1） 若图中A点的输入信号是上边带信号，请写出图中各点表达式；
（2） 若图中A点的输入信号是下边带信号，请写出图中各点表达式，并问图中解调器应做何修改方能正确解调出调制信号。

图 题3.11

解：
记为基带调制信号，为其希尔伯特变换。
⑴ （2）
A：设为

B：

C：
D：

E：
F：
G：当A点输入上边带信号时

当A点输入下边带信号时

如欲G点输出，需将最末端的相加改为相减即可，如下图所示：
此时

12. 若对某一信号用DSB进行传输，设加至发射机的调制信号之功率谱密度为：

试求：
（1） 接收机的输入信号功率；
（2） 接收机的输出信号功率
（3） 若叠加于DSB信号的白噪声具有双边功率谱密度为，设解调器的输出端接有截止频率为的理想低通滤波器，那么输出信噪比是多少。

解：

⑴ 设DSB已调信号，则接收机的输入信号功率

⑵ 相干解调之后，接收机的输出信号，因此输出信号功率

⑶ 解调器的输出信噪功率比

13. 某线性调制系统的输出信噪比为20dB， 输出噪声功率为W，由发射机输出端到解调器输入之间总的传输损耗为100dB，试求：
（1） DSB时的发射机输出功率；
（2） SSB时的发射机输出功率。
解：⑴

在DSB方式中，解调增益，因此解调器输入信噪比

同时，在相干解调时，

因此解调器输入端的信号功率
W
考虑发射机输出端到解调器输入端之间的100dB传输损耗，可得发射机输出功率

另解：在DSB方式中，系统增益

DSB输出噪声功率：

⑵

在SSB方式中，解调增益，

W
因此，解调器输入端的信号功率
W
发射机输出功率
W

14. （略）
15. 已知某模拟基带系统中调制信号的带宽是kHz。发送端发送的已调信号功率是，接收功率比发送功率低60dB。信道中加性白高斯噪声的单边功率谱密度为W/Hz。
（1） 如果采用DSB，请推导出输出信噪比和输入信噪比的关系；若要求输出信噪比不低于30dB，发送功率至少应该是多少；
（2） 如果采用SSB，重做（1）题。

解：⑴

① 解调输入信号可写为

输入信噪比为

解调乘法器输出为

解调输出为，输出信噪比为

因此

② 输入信噪比

输出信噪比

故W。
⑵

① 解调输入信号可写为

输入信噪比为

解调输出为，输出信噪比为

因此

② 输入信噪比

输出信噪比

故W。
16. （略）
17. 已知信号由下式描述：

试确定以下各值：
（1） 已调信号的归一化功率；
（2） 最大相位偏移；
（3） 最大频率偏移。
解：（1）
（2）
（3）

18. （略）
19. 已知调频信号，设调制器的比例常数，求其载频、调制信号、调频指数和最大频偏分别是多少。
解：载频为，因为

故调制信号为 ，
又
调频指数 ，
最大频偏为Hz。

20. （略）
21. 单音调制时，幅度不变，改变调制频率，试确定：
（1） 在PM中，其最大相移与的关系，其最大频偏与的关系；
（2） 在FM中，与的关系，与的关系。
解：
（1） 对于PM：

与无关；

故与成正比
（2） 对于FM：

与成反比；与无关。

22. （略）
23. （略）
24. （略）
25. （略）
26. 某模拟广播系统中基带信号的带宽为kHz，峰均功率比（定义为，其中是的平均功率）是5。此广播系统的平均发射功率为40kW，发射信号经过80dB信道衰减后到达接收端，并在接收端叠加了双边功率谱密度为W/Hz的白高斯噪声。
（1） 若此系统采用SSB调制，求接收机可达到的输出信噪比；
（2） 若此系统采用调幅系数为0.85的常规幅度调制（AM），求接收机可达到的输出信噪比。
解：记到达接收机的已调信号为，记其功率为，则
W
⑴ 采用SSB时，

不妨以下边带为例，接收机输入端的有用信号为

由题

接收机前端可采用频段为的理想BPF限制噪声，于是输入到解调器输入端的噪声为

其中，，的功率都是
W
因此输出信噪比是

即23dB。
⑵ 采用AM调制时，

解调器输入的有用信号为
由题 ，调制指数 ，
所以

接收机前端可采用频段为的理想BPF限制噪声，于是输入到解调器输入端的噪声为

其中，，的功率都是
因而
故
即14.02dB。

4-12

习题四

1. 给定二进制比特序列{1101001}，试给出相应的单极性NRZ信号、双极性RZ信号与传号差分码信号的波形。
解：单极性NRZ信号、双极性RZ信号与传号差分码信号的波形如下图所示：

2. 某数字基带系统速率为2400Baud，试问以四进制或八进制码元传输时系统的比特速率为多少？采用双极性NRZ矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？
解：以四进制传输时系统的比特率为：

以八进制传输时系统的比特率为;

信号的带宽与波特率有关，无论是多少进制传输，采用双极性矩形脉冲传数据时，信号带宽都为：

3. 某数字基带系统速率为9600bps，试问以四进制或十六进制码元传输时系统的符号率为多少？采用单极性RZ矩形脉冲时，信号的带宽估计是多少？
解：以四进制传输时系统的符号速率为：

以八进制传输时系统的符号速率为：

信号的带宽与波特及脉冲宽度有关，以四进制单极性RZ脉冲传输时，信号带宽为：

以八进制单极性RZ脉冲传输时，信号带宽为：

4. 某二元数字基带信号的基本脉冲如图题4.4所示，图中为码元间隔。数字信息“1”和“0”出现概率相等，它们分别用脉冲的有、无表示。试求该数字基带信号的功率谱密度与带宽，并画出功率谱密度图。

图 题4.4
解： 本题中，0、1等概率，且码元脉冲形状为g(t)

且

所以该数字基带信号的功率谱为：

5. 已知随机二进制序列1和0出现概率为和，基带信号中分别用和表示1和0。试问：
（1） 基带信号的功率谱密度及功率；
（2） 若为图题4.5（a）所示波形，为码元宽度，该序列是否含有离散分量；
若改为图题4.5（b），重新回答问题（2）。

图 题4.5
解：2PAM信号的幅度序列为：序列
且

（1）基带信号的功率谱密度

功率：

（2）若基带脉冲波形为

则的傅里叶变换为

该基带信号的离散谱为：

故该二进制序列不存在离散分量
（3） 若基带脉冲波形为

则的傅立叶变换为

该基带信号的离散谱为：

所以，该二进制序列存在离散分量

6. 采用低通滤波技术接收二元双极性NRZ信号。假设二进制符号0和1是等概率的，问接收机的平均差错概率计算公式是什么？需要的是多少？（提示：借鉴例题4.6数值）
解：采用LPF接受二元双极性NRZ信号，0、1等概。
由表4.3.1，接收机的平均差错概率的计算公式为：

其中，，为二元NRZ信号带宽。
由图4.3.6可知时，需要的

例题4.6：单极性与双极性的MF系统

7. （略）
8. （略）
9. （略）
10. 双极性矩形不归零2PAM信号通过噪声功率谱密度为的AWGN信道传输，假定码元0与1的概率分别是1/3与2/3，接收机采用低通滤波器。试问：
（1） 平均误比特率计算公式；
（2） 接收系统的最佳判决门限；
（3） 最小误比特率。
解：发送信号
（1）平均误比特率计算公式由教材式（4.3.17）给出如下：
设LPF的带宽为B

（2）最佳判决门限由教材式（4.3.18）给出

（3）最小误比特率为

其中：
11. 在功率谱密度为的AWGN信道中进行二元基带传输，假定码元等概且发射信号分别为：

（1） 确定最佳接收机的结构（确定滤波器特性）；
（2） 给出最佳错误概率。

解：

(1) 最佳接收机结构为（滤波器为匹配滤波器）
（2）的能量为：

由教材式（4.3.21）可知，最小的为

12. （略）
13. 设4种基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成的如图题4.13所示，若要求以波特的速率进行数字传输，问它们是否会造成码间干扰。

图 题4.13
解： 根据奈奎斯特第一准则，当最高传输码率时，能够实现无码间串扰传输的基带系统的总特性应满足

容易验证：（a）、（b）、（c）、（d）都满足无码间串扰传输的条件。

14. 设基带传输系统的发送滤波器、信道和接收滤波器的总传输特性如图题4.14所示：

图 题4.14
其中1MHz，3MHz。试确定该系统无码间干扰传输时的码元速率和频带利用率。
解：

该系统无码间干扰传输时的码元速率和频带利用率为：

15. 设无码间干扰基带传输系统的传输特性为的升余弦滚降滤波器，基带码元为16进制，速率是1200 Baud。试求：
（1） 该系统的比特速率。
（2） 传输系统的截止频率值；
（3） 该系统的频带利用率；

解：（1）对于M进制传输，其信息速率与码元速率的关系为，这里M=16，故系统的比特速率为：

（2）传输系统的截止频率值为

（3）系统频带利用率为：

16. 计算机以56 kbps的速率传输二进制数据，试求升余弦滚降因子分别为0.25、0.3、0.5、0.75和1时，下面两种方式所要求的传输带宽。（1）采用2PAM基带信号；（2）采用8电平PAM基带信号。

解：（1）采用2PAM基带信号时
则

升余弦滚降因子分别为0.25、0.3、0.5、0.75和1时，传输带宽分别为35KHz、36.4 KHz、42 KHz、49KHz、56 KHz。
（2）采用8PAM基带信号时

则
升余弦滚降因子分别为0.25、0.3、0.5、0.75和1时，传输带宽分别为11.67KHz、12.13 KHz、14 KHz、16.33KHz、18.67 KHz。

17. 在某理想带限信道Hz上传送PAM信号。
（1） 要求按9600bps的速率传输，试选择PAM的电平数；
（2） 如果发送与接收系统采用平方根升余弦频谱，试求滚降因子；
（3） 保证所需要的是多少？
解：（1）最大频带利用率

即 取M=4
（3） 发送与接收系统采用平方根升余弦频谱时，

得
（3）
得

18. （略）
19. 某信道的码间干扰长度为3，信道脉冲响应采样值为，，
，求3抽头迫零均衡器的抽头系数以及均衡前后的峰值畸变值。
解：由并按式（4.6.6）可得，

代人具体数据得到，

可解得，。
利用，考虑，计算出均衡后的非零冲激响应值为, 。根据峰值畸变的定义得：
均衡器前，
均衡器后，
易见均衡后码间干扰与峰值畸变都有显著降低。

20. （略）
21. （略）
22. 由图4.8.2估计2PAM基带系统在定时抖动为5％时，达到误码率所需的，并与理想定时的结果相比较。

解：由图可见，当时，误码率要求接收信号的；当时，误码率要求接收信号的。因此，5％的定时抖动导致的要求增加。
23. （略）
24. （略）
25. （略）
26. （略）

习题五
1. 已知某2ASK系统的码元速率为1000波特，所用载波信号为。
（1） 假定比特序列为{0110010}，试画出相应的2ASK信号波形示意图；
（2） 求2ASK信号第一零点带宽。
解：由，，

（1）一个码元周期内有2000个正弦周期：

（2）

2. 某2ASK系统的速率为Mbps，接收机输入信号的振幅，AWGN信道的单边功率谱密度为W/Hz，试求传输信号的带宽与系统的接收误码率。
解：传输信号的带宽，平均码元能量：。

系统的接收误码率：
（1）若是非相干解调，

由非相干解调误码率公式，

（2）若是相干解调：由相干解调误码率公式得，

3. 某2FSK发送“1”码时，信号为，；发送“0”码时，信号为，。式中及为均匀分布随机变量，，“1”与“0”码等概率出现。
（1） 画出包络检波形式的接收机框图；
（2） 设码元序列为11010，画出接收机中的主要波形（不考虑噪声）；
（3） 若接收机输入高斯噪声功率谱密度为（W/Hz），试给出系统的误码率公式。
解： （1）

（2）,,，。由，此2FSK系统的频差足够大，可保证信号正确解调。

（4） 由非相干解调误码率公式，
，。
4. 某2FSK系统的速率为Mbps，两个传输信号频率为MHz与MHz，接收机输入信号的振幅，AWGN信道的单边功率谱密度为W/Hz，试求传输信号的带宽、工作频带与系统的接收误码率。
解： 由题，有与，故，

（Hz）
工作频带为：
由于，，于是，
（1）相干解调时系统的误码率：
（2）非相干解调时系统的误码率：
5. （略）
6. （略）
7. 假定在采用LPF的BPSK相干解调系统中，恢复载波和发送载波相位差为固定的，LPF带宽为B。试证明该系统的平均误比特率计算公式为

解：BPSK相干解调系统LPF输出信号中的有用信号部分为 。中的噪声部分功率为 。由式（4.3.20）系统的最小平均误比特率为：，式中，，故

故得证。
8. 假定2DPSK数字通信系统的输入比特序列为110100010110…
（1） 写出相对码（考虑相对码的第一个比特为1）；
（2） 画出2DPSK发送与接收框图。
解：（1）
绝对码

1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
相对码
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
（2）发送框图：

接收框图：

9. 设载频为1800Hz，码元速率为1200波特，发送信息为011010。试按下面两种方式画出2DPSK信号的波形。
（1） 若相位偏移代表“0”， 代表“1”；
（2） 若相位偏移代表“0”， 代表“1”。

解：，此2DPSK信号一个码元周期包含有个1.5个载波周期。
（1）

（2）

10. 假设在某2DPSK系统中，载波频率为2400Hz，码元速率为1200Baud，已知绝对码（相对码）序列为1100010111。
（1） 试画出2DPSK信号波形；
（2） 若采用差分相干解调法接收该信号，试画出解调系统的各点波形；
（3） 若发送符号0和1的概率相同，试给出2DPSK信号的功率谱示意图。
解：，此2DPSK信号一个码元周期包含有个2个波型周期。

（1）

（2）DPSK差分相干解调框图：

各点的波形图：

（3）2DPSK功率谱示意图

11. 假定QPSK系统的输入二进制序列为00100111010010，试问：
（1）载波相位序列（B方式）；
（2）相应的载波相位序列（A方式）；
（3）同相与正交支路的比特序列；
（4）传输率为4Mbps时需要的带宽。
解：（1）首先将输入序列表示为格雷编码序列：00 11 01 10 01 00 11，

由表5.4.1可以得出B方式下的载波相位：
，，，，，，；
（2）相应的A方式下的载波相位序列为：
，，，，，，；
（4） 同相支路的比特序列
： 0 1 1 0 1 0 1；
正交支路的比特序列
： 0 1 0 1 0 0 1；
（4） 传输率为4Mbps时，（baud），采用矩形NRZ基带信号时，可得，（Hz）。

12-18.（略）

19. 电话线频带为300~3300Hz，试给出下面调制方式下的载波频率、符号率与比特率：
（1） OOK、BPSK、2DPSK（采用的升余弦滚降特性）；
（2） BFSK；
（3） QPSK、DQPSK（采用的升余弦滚降特性）。
解：（1）对于OOK、BPSK、2DPSK：

载频选在频带中央：；
符号率：（Baud）
比特率：（bit/s）
（3） 对于BFSK：

要使两路2ASK部分在频谱上基本可分离，则两个频谱间的间距应该至少满足，所以
，
不等式取等号，得
(bit/s)，，，（Baud）
（4） 对于QPSK、DQPSK：

载频选在频带中央：；
符号率：（Baud）
比特率：（bit/s）

20. （略）
21. QPSK系统，采用的升余弦基带信号，信道带宽为20MHz，求无码间串扰传输的最大速率。
解：（Baud）

22. 设通信系统的频率特性为的升余弦滚降特性，传输的信息速率为120kbps，要求无码间串扰。
（1） 采用2PSK调制，求占用信道带宽和频带利用率；
（2） 设，求2PSK最佳接收机的误比特率。
解：（1）信道带宽：

频带利用率：
（2）2PSK最佳接收机的误比特率

习题六
1. 对模拟信号进行抽样。试问：（1）无失真恢复所要求的最小抽样频率为多少？（2）在用最小抽样频率抽样时，1分钟有多少抽样值。
解：(1) 由表2.1.2，有

无失真最小抽样频率

(2) 一分钟抽样值的数目为个

2. 已知信号的频谱为：

(1) 假设以的速率对它进行抽样，试画出已抽样信号频谱图。
(2) 若用的速率抽样，重做(1)小题
解：(1)

（2）

3. （略）
4. （略）
5. （略）
6. 求下面中频信号最小抽样频率
(1)中心频率为60MHz，带宽为5MHz
(2)中心频率为30MHz，带宽为6.5MHz
(3)中心频率为70MHz，带宽为2MHz
解：带通抽样定理：是的整数倍时，取无混叠。不是的整数倍时，设带通信号的上截止频率为，下截止频率为，则其带宽，此时无混叠的采样所需要的最低频率应满足：

是是整数部分，是的小数部分。
(1) ，，
，
(2) ，，
，
(3) ，，
，
7. （略）
8.在要求量化误差不超过量化器输入范围的时，试说明均匀量化器的位数应满足
证明：对于均匀量化器，量化误差有：，
其中，由题

9. （略）
10. （略）
11. 对于具有256个量化电平的均匀量化器，试求下面几种输出信噪比
(1)峰值信噪比
(2)高斯分布随机信号的最大信噪比
(3)均匀分布随机信号的最大信噪比
解：
(1) 峰值信噪比：
或

大 小
但是为了不过载，应使，
（根据契比雪夫不等式）
，

（3）

12. 已知一个正弦信号的动态范围为45dB，量化信噪比不能低于26dB，求线性PCM的编码位数
解：

13. 在A律PCM系统中，当(归一化)输入信号抽样值为0.12，0.3， 与0.7时，输出二进制码组是多少。
解：Ａ律折线近似各段特性
段号
输入分段段区间
量化间隔
0
[0， 0.0078125]

1
[0.0078125，0.015625]

2
[0.015625， 0.03125]
2
3
[0.03125， 0.0625]
4
4
[0.0625， 0.125]
8
5
[0.125， 0.25]
16
6
[0.25，0.5]
32
7
[0.5，1]
64

当，属于第4段，

所以二进制码是 1 100 1110

当，属于第6段，

所以二进制码是 1 110 0011

当，属于第7段，

所以二进制码是 0 111 0110

14. 单路语音信号最高频率为4kHz，抽样速率为8kHz， 以PCM方式传输，假设用单极性NRZ矩形脉冲传输，试问
(1)采用7比特量化时，PCM基带信号(第一零点)带宽为多少?
(2)采用8比特量化时，结果又是多少
解：
(1)，
对于NRZ，
(2)，
对于NRZ，

15. 假定标准PCM语音信号通过误码率为的信道传输，试估计恢复出的模拟信号可能达到的峰值信噪比。
解：标准PCM信号采样率为8000Hz，量化比特数为8bit，
由公式

16. 已知某线性PCM通信系统的线路误码率为，模拟信号的最高频率为3kHz，如果要求接收端恢复的模拟信号达到30dB的峰值信噪比，试问：
(1)PCM量化器的比特数至少是多少
(2)传输系统的带宽至少是多少
解：(1)

由

得到 取
每个样值所用的比特数
所以至少需要5位
(2) ，所以最小带宽

17. （略）
18. （略）
19. （略）
20. 遥感探测系统中包括4个输入信号：。其中和的带宽均为250Hz，另外两个信号和的带宽均为1kHz。分别对和以每秒2400个样值的速率进行抽样。将此抽样速率除以4后作为和的抽样速率.
(1)试设计一个TDM系统，将这四路信号复合成一个数字序列
(2)如果采用8比特量化，给出TDM的传输数据率
解：(1) 与采样率为600Hz，与的采样率为2400Hz。

(2)

21. （略）
22. （略）
4-43