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北师大版八年级下册数学第一次月考试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或6cm
2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC=6，△BCD的周长为10，则BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
5．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
7．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（　　）
A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax
8．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（　　）

A．48 B．50 C．54 D．60
10．如下图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）
A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．3∠1﹣∠2=180°
二．填空题（共10小题）
11．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　 　．

13．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=　 　度．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=　 　度．
15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为　 　．
16．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于　 　度．

17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　 　cm．
18．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则△ABD的面积是　 　．
19．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是　 　．
20．关于x的两个不等式＜1与1﹣3x＞0的解集相同，则a=　 　．
三．解答题（共10小题）
21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．

22．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．

23．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．

24．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，求AC的长．

25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

26．已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=5，求OM的长度．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△BDE的周长．

29．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB、PF⊥BC、PD⊥AC，垂足分别为E、F、D，求PD的长．

30．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

北师大版八年级下册数学第一次月考试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或6cm
【分析】分3cm是等腰三角形的腰或底边两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当3cm是等腰三角形的腰时，底边长=12﹣3×2=6cm，
∵3+3=6，不能构成三角形，
∴此种情况不存在；
当3cm是等腰三角形的底边时，腰长==4.5cm．
∴底为3cm，
故选A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意三角形三边要满足三边关系定理，属于中考常考题型．

2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．

3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC=6，△BCD的周长为10，则BC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴CD+BD+BC=10，
∴CD+AD+BC=10，即AC+BC=10，
∴BC=4，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

4．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）

A．1 B．2 C． D．4
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

5．式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．
【解答】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式；
②是用“≤”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；
∴不等式有①②⑤共3个，故选C．
【点评】用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．

6．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都除以3，
得x＞﹣y，
两边都加y，得
x+y＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质并根据不等式的性质求解是解题关键．

7．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（　　）
A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax
【分析】根据不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变求出即可．
【解答】解：∵x＜a＜0，
∴两边都乘以x得：x2＞ax，
故选A．
【点评】本题考查了对不等式性质的应用，注意：不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变．

8．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a＞﹣2，由此求得a的取值．
【解答】解：，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式组：不等式组有解，
∴a＞﹣2，
故选D．
【点评】本题考查了不等式组有解的条件，属于中档题．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（　　）

A．48 B．50 C．54 D．60
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54，
故选：C．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

10．如下图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．3∠1﹣∠2=180°
【分析】由已知AB=AC=BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵AB=AC=BD，
∴∠1=∠BAD，∠C=∠B，
∠1是△ADC的外角，
∴∠1=∠2+∠C，
∵∠B=180°﹣2∠1，
∴∠1=∠2+180°﹣2∠1
即3∠1﹣∠2=180°．
故选：D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角、内角和等知识；
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

二．填空题（共10小题）
11．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　100°或40°　．
【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个角有可能是底角，也有可能是顶角，所以应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2=100°，
故其顶角的度数为100°或40°．
故填100°或40°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　2a+3b　．

【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
【解答】解：∵AB=AC，
BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．

13．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=　55　度．

【分析】首先求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠A，从而利用四边形内角和定理求出∠EDF．
【解答】解：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠C=180°﹣（∠CFD+∠FDC）=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°可得：
∠EDF=360°﹣（∠AED+∠AFD+∠A）=55°
∴∠EDF为55°．
故填55．
【点评】本题考查的是四边形内角和定理以及等腰三角形的性质；解题关键是先求出∠A的度数，再利用四边形的内角和定理求出所求角．

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=　30　度．

【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°﹣∠A）=×（180°﹣40°）=70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D是BC上一点，BD=5，DE⊥AB，垂足为E，则线段DE的长为　3　．

【分析】由垂直的定义得到∠DEB=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠C=∠DEB，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
即=，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

16．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于　20　度．

【分析】图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答．
【解答】解：∵DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线
∴（1）DA=DB，则∠B=∠DAF，设∠B=∠DAF=x度

（2）EA=EC，∠C=∠EAG，设∠C=∠EAG=y度
因为∠BAC=100°
所以x+y+∠DAE=100°
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠DAE=180°
解得∠DAE=20°．
【点评】主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．

17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　19　cm．

【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

18．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则△ABD的面积是　cm2　．

【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可知DE=CD=3，再根据S△ABD=AB•DE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
S△ABD=AB×DE=×7×3=cm2．
故答案为：cm2．

【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

19．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是　a＞1　．
【分析】依据不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．

20．关于x的两个不等式＜1与1﹣3x＞0的解集相同，则a=　1　．
【分析】求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可．
【解答】解：由＜1得：x＜，
由1﹣3x＞0得：x＜，
由两个不等式的解集相同，得到=，
解得：a=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．

三．解答题（共10小题）
21．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．

【分析】证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOF≌Rt△COE，
∴∠FBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．

22．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．

【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的读数．
【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．
【点评】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理解答．

23．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长．

【分析】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质求出DE=1，求出∠C=45°，解直角三角形求出DC即可．
【解答】解：
过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1，
∴DE=BD=1，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠C=∠BAC=45°，
在Rt△DEC中，sin45°=，
∴DC==．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

24．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，求AC的长．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，然后根据△ADB的周长求出AC+AB=10cm，再求解即可．
【解答】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm．
∵AB=4cm，
∴AC=6cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出AC+AB是解题的关键．

25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE=5cm，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．

26．已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

【分析】如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=x，BC=y，
（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，则+x=15，
+y=12，解得x=10，y=7．
（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，
则+x=12，+y=15，解得x=8，y=11，
故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

27．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=5，求OM的长度．

【分析】作PH⊥MN于H，根据直角三角形的性质得到OH=OP=6，根据等腰三角形的性质求出MH，计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=6，
∵PM=PN，PH⊥MN，
∴MH=NH=2.5，
∴OM=OH﹣MH=3.5．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△BDE的周长．

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD；
（2）利用勾股定理列式求出AB的长度，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，然后求出BE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3，
∴DE=3；

（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=8+4
=12．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）三角形周长的转换．

29．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB、PF⊥BC、PD⊥AC，垂足分别为E、F、D，求PD的长．

【分析】连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．
【解答】解：连接AP，BP，CP．
设PE=PF=PD=x．
∵△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，
∴AC=25．
∵S△ABC=×AB×CB=84，
S△ABC=AB×x+AC×x+BC×x=（AB+BC+AC）•x=×56x=28x，
则28x=84，
x=3．
故PD的长为3．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即（AB+AC+BC）x，然后即可计算x的值．

30．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；

（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．

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