数轴,相反数,绝对值(拔高题).doc
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第二讲 数轴,相反数,绝对值(拔高题) 一.选择题(共7小题) 1.若两个非零的有理数a、b,满足:|a|=a,|b|=﹣b,a+b<0,则在数轴上表示数a、b的点正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知:a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( ) A.1﹣b>﹣b>1+a>a B.1+a>a>1﹣b>﹣b C.1+a>1﹣b>a>﹣b D.1﹣b>1+a>﹣b>a 3.下列说法中正确的是( ) A.互为相反数的两个数的绝对值相等 B.最小的整数是0 C.有理数分为正数和负数 D.如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等 4.如图,数轴上有A,B,C,D四个整数点(即各点均表示整数),且2AB=BC=3CD.若A,D两点所表示的数分别是﹣5和6,则线段BD的中点所表示的数是( ) A.6 B.5 C.3 D.2 5.若ab>0,则++的值为( ) A.3 B.﹣1 C.±1或±3 D.3或﹣1 6.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是( ) A.2002或2003 B.2003或2004 C.2004或2005 D.2005或2006 7.将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x,则( ) A.9<x<10 B.10<x<11 C.11<x<12 D.12<x<13 二.填空题(共18小题) 8.已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 . 9.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 . 10.已知|a+2|=0,则a= . 11.大家知道|5|=|5﹣0|,它在数轴上的意义是表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子|6﹣3|,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.类似地,式子|a+5|在数轴上的意义是 . 12.在数轴上,与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 . 13.若|x|+3=|x﹣3|,则x的取值范围是 . 14.定义:A={b,c,a},B={c},A∪B={a,b,c},若M={﹣1},N={0,1,﹣1},则M∪N={ }. 15.若,则a的取值范围是 . 16.﹣(﹣6)的相反数是 . 17.有理数a、b、c在数轴的位置如图所示,且a与b互为相反数,则|a﹣c|﹣|b+c|= . 18.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式:①b﹣a>0,②﹣b>0,③a>﹣b,④﹣ab<0,正确的个数是 . 19.点A,B,C在同一条数轴上,其中A,B表示的数为﹣5,2,若BC=3,则AC= . 20.如果|m﹣1|=5,则m= . 21.如图所示,在直线l上有若干个点A1、A2、…、An,每相邻两点之间的距离都为1,点P是线段A1An上的一个动点. (1)当n=3时,则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 ; (2)当n=13时,则当点P在点 的位置时,点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值,且最小值是 . 22.已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|= . 23.(1)若a=2.5,则﹣a= ; (2)若﹣a=,则a= ; (3)若﹣(﹣a)=16,则﹣a= ; (4)若a=﹣(+5),则﹣a= . 24.|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是 . 25.设a,b,c为有理数,则由构成的各种数值是 . 三.解答题(共6小题) 26.请把下列各数填入相应的集合中 ,5.2,0,,,﹣22,,2005,﹣0.030030003… 正数集合:{ …}; 分数集合:{ …}; 非负整数集合:{ …}; 有理数集合:{ …}. 27.已知|a|=3,|b|=5,且a<b,求a﹣b的值. 28.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|. 29.同学们都知道:|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索: (1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 , (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 . (3)如果|x﹣2|=5,则x= . (4)同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是 . (5)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,直接写出最小值;如果没有,说明理由. 30.已知A,B在数轴上分别表示数a,b. (1)对照数轴填写下表: (2)若A,B两点间的距离记为 d,试问d与a,b有何数量关系? (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P,使它到5和﹣5的距离之和为10,并求出所有这些整数的和. (4)若数轴上点C表示的数为x,当点C在什么位置时,①|x+1|的值最小?②|x+1|+|x﹣2|的值最小? 31.阅读下列材料并解决有关问题: 我们知道,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=O,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值x=﹣1和,x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况: (1)x<﹣1;(2)﹣1≤x<2;(3)x≥2.从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况: (1)当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1; (2)当﹣1≤x<2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3; (3)当x≥2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1. 综上讨论,原式=. 通过以上阅读,请你解决以下问题: (1)分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值; (2)化简代数式|x+2|+|x﹣4|. 参考答案与试题解析 一.选择题(共7小题) 1.若两个非零的有理数a、b,满足:|a|=a,|b|=﹣b,a+b<0,则在数轴上表示数a、b的点正确的是( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵a、b是两个非零的有理数满足:|a|=a,|b|=﹣b,a+b<0, ∴a>0,b<0, ∵a+b<o, ∴|b|>|a|, ∴在数轴上表示为: 故选B. 2.已知:a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( ) A.1﹣b>﹣b>1+a>a B.1+a>a>1﹣b>﹣b C.1+a>1﹣b>a>﹣b D.1﹣b>1+a>﹣b>a 【解答】解:∵a>0,∴|a|=a; ∵b<0,∴|b|=﹣b; 又∵|a|<|b|<1,∴a<﹣b<1; ∴1﹣b>1+a; 而1+a>1, ∴1﹣b>1+a>﹣b>a. 故选D. 3.下列说法中正确的是( ) A.互为相反数的两个数的绝对值相等 B.最小的整数是0 C.有理数分为正数和负数 D.如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等 【解答】解:根据绝对值和相反数的定义,互为相反数的两个数到原点距离相等,因此互为相反数的两个数的绝对值相等,故A正确; 整数分为正整数、零负整数,不存在最小的整数,故B错误; 有理数分为正有理数、零、负有理数,故C错误; 如果两个数绝对值相等,这两个数可能相等,可能互为相反数,故D错误. 故选A. 4.如图,数轴上有A,B,C,D四个整数点(即各点均表示整数),且2AB=BC=3CD.若A,D两点所表示的数分别是﹣5和6,则线段BD的中点所表示的数是( ) A.6 B.5 C.3 D.2 【解答】解:设BC=6x, ∵2AB=BC=3CD, ∴AB=3x,CD=2x, ∴AD=AB+BC+CD=11x, ∵A,D两点所表示的数分别是﹣5和6, ∴11x=11, 解得:x=1, ∴AB=3,CD=2, ∴B,D两点所表示的数分别是﹣2和6, ∴线段BD的中点表示的数是2. 故选D. 5.若ab>0,则++的值为( ) A.3 B.﹣1 C.±1或±3 D.3或﹣1 【解答】解:因为ab>0,所以a,b同号. ①若a,b同正,则++=1+1+1=3; ②若a,b同负,则++=﹣1﹣1+1=﹣1. 故选D. 6.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是( ) A.2002或2003 B.2003或2004 C.2004或2005 D.2005或2006 【解答】解:依题意得:①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数; ②当线段AB起点不在整点,即在两个整点之间时覆盖2004个数. 故选C. 7.将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x,则( ) A.9<x<10 B.10<x<11 C.11<x<12 D.12<x<13 【解答】解:依题意得:x﹣(﹣3.6)=15,x=11.4. 故选C. 二.填空题(共18小题) 8.已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 7 . 【解答】解:∵点A,B表示的数分别是1,3, ∴AB=3﹣1=2, ∵BC=2AB=4, ∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7, ∴点C表示的数是7. 故答案为7. 9.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 2 . 【解答】解:数轴上点A所表示的数是﹣2,﹣2的相反数是2, 故答案为:2. 10.已知|a+2|=0,则a= ﹣2 . 【解答】解:由绝对值的意义得:a+2=0, 解得:a=﹣2; 故答案为:﹣2. 11.大家知道|5|=|5﹣0|,它在数轴上的意义是表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子|6﹣3|,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.类似地,式子|a+5|在数轴上的意义是 表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离 . 【解答】解:根据题意,得|a+5|=|a﹣(﹣5)|,即表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离. 故答案为:表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离. 12.在数轴上,与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 2或﹣4 . 【解答】解:若点在﹣1的左面,则点为﹣4; 若点在﹣1的右面,则点为2. 故答案为:2或﹣4. 13.若|x|+3=|x﹣3|,则x的取值范围是 x≤0 . 【解答】解:①当x≥3时,原式可化为:x+3=x﹣3,无解; ②当0<x<3时,原式可化为:x+3=3﹣x,此时x=0; ③当x≤0时,原式可化为:﹣x+3=3﹣x,等式恒成立. 综上所述,则x≤0. 14.定义:A={b,c,a},B={c},A∪B={a,b,c},若M={﹣1},N={0,1,﹣1},则M∪N={ 1,0,﹣1 }. 【解答】解:∵M={﹣1},N={0,1,﹣1}, ∴M∪N={1,0,﹣1}, 故答案为:1,0,﹣1. 15.若,则a的取值范围是 a<0 . 【解答】解:∵=﹣1, ∴|a|=﹣a且a≠0, ∴a<0. 16.﹣(﹣6)的相反数是 ﹣6 . 【解答】解:﹣(﹣6)=6, ∴6的相反数是﹣6. 故答案为:﹣6. 17.有理数a、b、c在数轴的位置如图所示,且a与b互为相反数,则|a﹣c|﹣|b+c|= 0 . 【解答】解:由图知,a>0,b<0,c>a,且a+b=0, ∴|a﹣c|﹣|b+c|=c﹣a﹣c﹣b=﹣(a+b)=0. 18.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式:①b﹣a>0,②﹣b>0,③a>﹣b,④﹣ab<0,正确的个数是 1 . 【解答】解:a<0,b>0,b﹣a>0,故①b﹣a>0正确, b>0,﹣b<0,故②﹣b>0错误, a<0,b>0,|a|>|b|,a<﹣b,故③a>﹣b错误, a<0,b>0,﹣ab>0,故④﹣ab<0错误, 故只有①正确. 故答案为:1. 19.点A,B,C在同一条数轴上,其中A,B表示的数为﹣5,2,若BC=3,则AC= 4或10 . 【解答】解:∵如下图,点A,B,C在同一条数轴上,其中A,B表示的数为﹣5,2,且BC=3, ∴C表示的数为﹣1或5, 当C表示的数为﹣1时, AC=4. C表示的数为5时, AC=10. 故答案为:4或10. 20.如果|m﹣1|=5,则m= 6或﹣4 . 【解答】解:∵|m﹣1|=5, ∴m﹣1=5或m﹣1=﹣5. 解得:m=6或m=﹣4. 故答案为:6或﹣4. 21.如图所示,在直线l上有若干个点A1、A2、…、An,每相邻两点之间的距离都为1,点P是线段A1An上的一个动点. (1)当n=3时,则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是 2 ; (2)当n=13时,则当点P在点 A7 的位置时,点P分别到点A1、A2、…、A13的距离之和有最小值,且最小值是 42 . 【解答】解:(1)P在A2处,PA1+PA3=1+1=2,; (2)当点P在点 A7的位置时,(PA1+PA2+PA3+PA4+PA5+PA6)×2 =(1+2+3+4+5+6)×2=42, 故答案为:2,A7,42. 22.已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|= 0 . 【解答】解:根据图示知:b>1>a>0>c>﹣1, ∴|c﹣b|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c| =﹣c+b﹣b+a﹣a+c =0 故答案是0. 23.(1)若a=2.5,则﹣a= ﹣2.5 ; (2)若﹣a=,则a= ﹣ ; (3)若﹣(﹣a)=16,则﹣a= ﹣16 ; (4)若a=﹣(+5),则﹣a= 5 . 【解答】解:(1)若a=2.5,则﹣a=﹣2.5; (2)若﹣a=,则a=﹣; (3)若﹣(﹣a)=16,则﹣a=﹣16; (4)若a=﹣(+5),则﹣a=5, 故答案为:﹣2.5;﹣;﹣16;5 24.|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是 10 . 【解答】解:①当x<﹣1,|x+1|+|x﹣5|+4=﹣(x+1)+5﹣x+4=8﹣2x>10, ②当﹣1≤x≤5,|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+5﹣x+4=10, ③当x>5,|x+1|+|x﹣5|+4=x+1+x﹣5+4=2x>10; 所以|x+1|+|x﹣5|+4的最小值是10. 故答案为:10. 25.设a,b,c为有理数,则由构成的各种数值是 4、﹣4、0 . 【解答】解:∵a,b,c为有理数, ①若a>0,b>0,c>0, ∴=1+1+1+1=4; ②若a,b,c中有两个负数,则abc>0, ∴=(1﹣2)+1=0, ③若a,b,c中有一个负数,则abc<0, ∴=(2﹣1)+(﹣1)=0, ④若a,b,c中有三个负数,则abc<0, ∴=(﹣3)+(﹣1)=﹣4, 故答案为:±4,0. 三.解答题(共6小题) 26.请把下列各数填入相应的集合中 ,5.2,0,,,﹣22,,2005,﹣0.030030003… 正数集合:{ ,5.2,,,2005, …}; 分数集合:{ ,5.2,,﹣, …}; 非负整数集合:{ 0,2005, …}; 有理数集合:{ ,5.2,0,,﹣22,,2005, …}. 【解答】解:正数集合:{,5.2,,,2005,…} 分数集合:{,5.2,,﹣,…} 非负整数集合:{0,2005,…} 有理数集合{,5.2,0,,﹣22,,2005,…}, 故答案为:,5.2,,,2005,,5.2,,﹣,0,2005,,5.2,0,,﹣22,,2005. 27.已知|a|=3,|b|=5,且a<b,求a﹣b的值. 【解答】解:∵|a|=3,|b|=5, ∴a=±3,b=±5. ∵a<b, ∴当a=3时,b=5,则a﹣b=﹣2. 当a=﹣3时,b=5,则a﹣b=﹣8. 28.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|+|2a|. 【解答】解:由图可知:c<a<0<b; ∴a﹣c>0,a﹣b<0,2a<0; ∴原式=a﹣c+a﹣b﹣2a=﹣b﹣c. 29.同学们都知道:|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索: (1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是 7 , (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为 |x﹣2| . (3)如果|x﹣2|=5,则x= 7或﹣3 . (4)同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是 ﹣3、﹣2、﹣1、0、1 . (5)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,直接写出最小值;如果没有,说明理由. 【解答】解:(1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣(﹣2)|=|5+2|=7,故答案为:7; (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|,故答案为:|x﹣2|; (3)∵|x﹣2|=5, ∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5, 解得:x=7或x=﹣3, 故答案为:7或﹣3; (4)∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,|x+3|+|x﹣1|=4, ∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1, 故答案为:﹣3、﹣2、﹣1、0、1; (5)有最小值是3. 30.已知A,B在数轴上分别表示数a,b. (1)对照数轴填写下表: (2)若A,B两点间的距离记为 d,试问d与a,b有何数量关系? (3)在数轴上找到所有符合条件的整数点P,使它到5和﹣5的距离之和为10,并求出所有这些整数的和. (4)若数轴上点C表示的数为x,当点C在什么位置时,①|x+1|的值最小?②|x+1|+|x﹣2|的值最小? 【解答】解:(1) (2)d=|a﹣b|; (3)是﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5共11个点,和为0; (4)①点C在﹣1;②点C在﹣1与2之间(包括﹣1和2). 31.阅读下列材料并解决有关问题: 我们知道,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时,可令x+1=0和x﹣2=O,分别求得x=﹣1,x=2(称﹣1,2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值).在实数范围内,零点值x=﹣1和,x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况: (1)x<﹣1;(2)﹣1≤x<2;(3)x≥2.从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况: (1)当x<﹣1时,原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1; (2)当﹣1≤x<2时,原式=x+1﹣(x﹣2)=3; (3)当x≥2时,原式=x+1+x﹣2=2x﹣1. 综上讨论,原式=. 通过以上阅读,请你解决以下问题: (1)分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值; (2)化简代数式|x+2|+|x﹣4|. 【解答】解:(1)|x+2|和|x﹣4|的零点值分别为x=﹣2和x=4. (2)当x<﹣2时,|x+2|+|x﹣4|=﹣2x+2; 当﹣2≤x<4时,|x+2|+|x﹣4|=6; 当x≥4时,|x+2|+|x﹣4|=2x﹣2. 综上讨论,原式=. 第19页(共19页)- 配套讲稿:
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