2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析.doc

2019届云南师大附中高三高考适应性月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A＝{0，1，2，4}，B＝，则＝（ ）
A.｛1，2， 3，4｝　　B. ｛2，3，4｝ C. ｛2，4｝　　　　　D. ｛｝
【答案】C
【解析】
试题分析：，故选C.
考点:集合的交集运算.
2.若复数的共轭复数是，其中i为虚数单位，则点（a，b）为（ ）
A.（一1. 2）　　B.（－2，1) C.（1，－2）　　D.（2，一1）
【答案】B
【解析】
试题分析：，故选B.
考点：复数的计算.
3.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（ ）
A、2　　　B、±1　　C. 1 　　　D、一1
【答案】C
【解析】
试题分析：，故选C．
考点：函数值.
4.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（ ）
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需 ，故选A.
考点：充分必要条件.
5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率〕（ ）
A、 B、 C、 D、

【答案】C
【解析】
试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C.

考点：三视图.
6.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则（ ）
　A、　　　 B、 　　C、 　　　D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．
考点：向量的运算.
7.已知，则（ ）
　A、　　　 B、 　　C、 　　　D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由，故选B．
考点：诱导公式.
8.设实数x,y满足则的取值范围是（ ）
　A、　　　　B、　　C、　　D、
【答案】D
【解析】
试题分析：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，结合双勾函数的图象，得，故选D．

考点：线性规划.
9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x2+x+2y的概率为（ ）
A、　　　 B、 　C、　　D、
【答案】A
考点：几何概型.
10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】
试题分析：显然，则，又，则，于是，，结合条件得，所以、均为直角三角形，由已知得，而，当且仅当时，取“=”，所以，当时，的面积最大，此时，故选B.
考点：基本不等式、三角形面积.
11.设定义在（0，）上的函数f(x), 其导数函数为，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为定义域为，，所以，因为
，所以在上单调递增，所以
，即，故选D.
考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.
12.设直线与抛物线x2=4y相交于A, B两点，与圆C： (r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点，若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A.（1，3) 　　B. (1, 4)　　C. (2, 3) D. (2, 4)
【答案】D
【解析】
试题分析：圆C在抛物线内部，当轴时，必有两条直线满足条件，当l不垂直于y轴时，设，则，由 ，因为圆心，所以，由直线l与圆C相切，得，又因为，所以，且，又 ，故，此时，又有两条直线满足条件，故选D．
考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输人的k，a，n分别为2，110011，6，则抢出的b＝　 ．

【答案】51
【解析】
试题分析：依程序框图得.
考点：程序框图.
14.若函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析：．当时，的最大值为
，令，解得，所以a的取值范围是.
考点：利用导数判断函数的单调性.
15.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是　　　　　
【答案】
【解析】
试题分析：如图3，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且
，即．

考点：椭圆的离心率.
16.设则不大于S的最大整数［S］等于　　　　　　
【答案】2014
【解析】
试题分析：，所以
，故．
考点：裂项相消法求和.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列｛an｝的首项al＝1，．
（I）证明：数列是等比数列；
（II）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出，再计算，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n项和计算即可.
试题解析：（Ⅰ）证明：，
，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
…………………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
即，
设，①
则，②
由①－②得，，
，
又，
∴数列的前n项和． ………………………………（12分）
考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记为该毕业生得到面试的公司个数，若P(＝0)＝.
（I）求p的值：
（II）求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.
【解析】
试题分析：本题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当时说明三个公司都没有得到面试的机会；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.
试题解析：（Ⅰ）． …………………………（6分）
（Ⅱ）的取值为0，1，2，3，
；
；
；
，
的分布列为

0
1
2
3

数学期望． …………………………（12分）
考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图4，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝，M为AB的中点．
（I）证明：AC⊥SB;
（II）求二面角S一CM－A的余弦值.

【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得，再利用线面垂直的性质，得；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直，通过作出辅助线得出为二面角的平面角，在直角三角形SDE中，利用三角函数值，求二面角S一CM－A的余弦值；还可以利用向量法解决问题.
试题解析：方法一：几何法
（Ⅰ）证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．
因为，，
所以，
所以，又，
所以． ……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：因为，所以.
如图4，过D作于E，连接SE，则，
所以为二面角的平面角. ……………………………………（8分）
由已知有，又，，所以，
在中，，
所以． …………………………………………………（12分）
方法二：向量法
（Ⅰ）证明：如图5，取AC的中点O，连接OS，OB．
因为，，
所以，且，
又，，
所以，所以．
如图5，建立空间直角坐标系，

则，，，，
因为，，
………………………………………………（3分）
所以，
． ……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：因为M是AB的中点，所以，，
，设为平面SCM的一个法向量，
则得，所以，
又为平面ABC的一个法向量，
． ………………………………………（11分）
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． ………………………………………（12分）
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围.
试题解析：（Ⅰ），
，即．
又，．
∴椭圆C的标准方程为． …………………………………………（4分）
（Ⅱ）由题意知，当直线MN斜率存在时，
设直线方程为，，
联立方程消去y得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以恒成立，
，
又，

因为点P在椭圆上，所以，
即， ………………………………（8分）
又，
即，整理得：，
化简得：，解得或（舍），
，即．
当直线MN的斜率不存在时，，此时，
． ……………………………………………………（12分）
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.
21.（本小题满分12分）
已知f(x)＝，曲线在点（1，f(1)）处的切线斜率为2.
（I）求f(x)的单调区间；
（11）若2 f(x)一（k＋1）x＋k>0（kZ）对任意x＞1都成立，求k的最大值
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）最大值为4.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，再利用和判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一（k＋1）x＋k>0（kZ）对任意x＞1都成立，转化为恒成立，再构造函数，通过求导，判断函数的单调性，求出函数的最小值，从而得到k的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导可得，
由得，，
令得；
令得，
所以的减区间为，增区间为． …………………………（4分）
（Ⅱ）由题意：，即，
恒成立，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
又，
且，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以，
，，
，
，所以k的最大值为4． ………………………………………（12分）
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：=6.
（I）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；
（Ⅱ）过点M(一1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A, B两点，求点M到A，B两点的距离之积．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用、将直线的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C的方程转化为普通方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，消参，得到，即得到结论.
试题解析：（Ⅰ）直线l：化成普通方程为．
设点P的坐标为，则点P到直线l的距离为：
，
∴当时，点，
此时． …………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）曲线C化成普通方程为，即，
的参数方程为（t为参数）代入化简得，
得，所以． ………………………………………………（10分）
考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设f(x)＝｜x＋2｜＋｜2x－1｜－m.
（I）当m＝5时．解不等式f（x）≥0;
〔II）若f（x）≥，对任意恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
不等式为，
①当时，不等式为：，即，满足；
②当时，不等式为：，即，不满足；
③当时，不等式为：，即，满足．
综上所述，不等式的解集为． ……………………（5分）
（Ⅱ）设，若对于恒成立，
即对于恒成立，

由图6可看出的最小值是，
所以，，即m的取值范围是．
…………………………………………………………………………………（10分）

考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.