管理统计学：第6章 统计量及其抽样分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4-,*,统计学第四版,第,6,章 统计量及其抽样分布,广东工业大学,管理学院,第,6,章 统计量及其抽样分布,6.1,统计量,6.2,关于分布的几个概念,6.3,由正态分布导出的几个重要分布,6.4,样本均值的分布与中心极限定理,6.5,样本比例的抽样分布,6.6,两个样本平均值之差的分布,6.7,关于样本方差的分布,学习目标,了解统计量及其分布的几个概念,了解由正态分布导出的几个重要分布,理解样本均值的分布与中心极限定理,掌握单样本比例和样本方差的抽样分布,6.1,统计量,6.1.1,统计量的概念,6.1.2,常用统计量,6.1.3,次序统计量,6.1.4,充分统计量,*,从重复抽样的角度看“每次从某个总体,X,中随机抽取个体”可理解为一个,随机实验,。,随机样本,：表征,n,次从总体中抽取个体的随机抽样结果的一组随机变量,X,1,X,2,X,n,.,样本观察值（样本数据）,：,n,次,随机抽样的结果,：,x,1,x,2,x,n,（称为随机变量,X,1,X,2,X,n,的样本观察值）。,n,称为,样本容量,简称为,容量,。,在实际工作中，人们通常把,30,的样本称为大样本，而把,n30,的样本称为小样本。,注,：,x,1,x,2,x,n,也可以看成随机变量,X,的,n,次重复抽样的结果。,随机样本与样本观察值,大写的英文字母：随机变量,小写的英文字母：随机变量的观察值,例,抛掷一个均匀的骰子，假设骰子的六个面分别标有数字,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,。用,X,标识骰子落地后朝上一面的数字。则,X,是离散随机变量。,对该随机变量进行一次抽样，其实就是掷该骰子一次。,第,i,次抽样，就是第,i,次掷骰子，其结果的表示：,事前,事后,X,i,x,i,易见，,X,i,其实就是,X.,当然这里要求各,X,i,是,独立的,.,在理论上表述时常说成各,X,i,是,iid,的,(,即,Independent Identically Distribution,),是一堆,“,杂乱无章,”,的数据,设 是来自总体,的样本,对样本的一些认识,是对总体进行推断的依据,包含了有关总体的,“,信息,”,在观察前 是一组独立同分布,r.v,在观察后 是一组具体的数据,总体,X,随机变量,N,(,2,),观察值,随机变量,N,(,2,),的值,对象：某大学新生的身高,样,本的联合分布,设 为来自总体 的样本,，,则样本的联合分布函数为,设 为来自总体 的样本，则样本的联合,概率函数,为,例,设,为来自总体,的样本,则样本的联合密度为,n,维正态分布,样本的联合分布,样本的联合概率函数,统计量,(,statistic,),设,X,1,X,2,X,n,是从总体,X,中抽取的容量为,n,的一个样本，如果由此样本构造一个函数,T,(,X,1,X,2,X,n,),，,不依赖于任何未知参数,，则称函数,T,(,X,1,X,2,X,n,),是一个统计量,.,样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量,统计量是样本的一个函数,统计量是统计推断的基础,推断统计研究的重点,寻找统计量及其分,布,利用概率论对总体进行推断,统计量通常是随机变量,，但,统计量的观测值是确定的，没有随机性,。比如，如果（,x1,x2,xn,）是样本（,X1,，,X2,，,Xn,）的观测值，那么,T,(,x1,x2,xn,）为,统计量,T,(X,1,X,2,X,n,),的观测值。则,T,(X,1,X,2,X,n,),是随机变量。,统计量是随机变量，那么它应该有概率分布。统计量的分布也称抽样分布。,统计量的分布不一定和总体分布一致。,在统计推断中，一个重要的工作就是寻找统计量，导出统计量的抽样分布或渐近分布。,例：,设,(X,1,X,2,),是总体,N(,2,),的一个样本,其中,已知,，,未知参数,则下列哪个不是统计量：,常用统计量,样本均值,(,是样本的均值，反映总体期望的信息,),样本方差,(,是样本方差，反映总体方差的信息,),样本变异系数,(,反映总体变异系数,C,),或,一些常用软件如,Excel,、,SPSS,是按此式来计算样本方差的值,它反映了随机变量在以它的均值为单位时，取值的离散程度。此统计量取消了均值不同对不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同时，不同总体的离散程度。在投资项目的风,.,险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中有广泛的应用。,k,阶原点矩,k,阶中心矩,偏度,峰度,次序统计量,一,组样本观测值,x,1,x,2,x,n,由小到大的排序,x,（,1,）,x,（,2,）,x,（,i,）,x,（,n,）,后，其值对应的统计量,X,（,1,）,，,X,（,2,）,，,，,X,（,n,）,就称为,次序统计量,中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量,6.2,关于分布的几个概念,6.2.1,抽样分布,6.2.2,渐进分布,6.2.3,随机模拟获得的近似分布,样本统计量的概率分布，,是一种理论分布,在重复选取容量为,n,的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布,与抽样分布对应的随机变量是,样本统计量,样本均值,样本比例，样本方差等,结果来自,容量相同,的,所有,可能样本,提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布,(,sampling distribution,),例 有限总体样本均值的抽样分布,样本均值的,K,个观测值,学生,成绩,30 40 50 60 70 80 90,按随机原则抽选出名学生，并计算平均分数。,样本均值的抽样分布,样本,均值,样本,均值,样本,均值,ABCD,ABCE,ABCF,ABCG,ABDE,ABDF,ABDG,ABEF,ABEG,ABFG,ACDE,ACDF,45,47.5,50,52.5,50,52.5,55,55,57.5,60,52.5,55,ACDG,ACEF,ACEG,ACFG,ADEF,ADEG,ADFG,AEFG,BCDE,BCDF,BCDG,BCEF,57.5,57.5,60,62.5,60,62.5,65,67.5,55,57.5,60,60,BCEG,BCFG,BDEF,BDEG,BDFG,BEFG,CDEF,CDEG,CDFG,CEFG,DEFG,62.5,65,62.5,65,67.5,70,65,67.5,70,72.5,75,样本均值,45 47.5 50 52.5 55 57.5 60,出现次数,1 1 2 3 4 4 5,样本均值,62.5 65 67.5 70 72.5 75,出现次数,4 4 3 2 1 1,二者均值相等,正态分布,(normal distribution),1.,描述连续型随机变量的最重要的分布,2.,可用于近似离散型随机变量的分布,例如,:,二项分布,3.,经典统计推断的基础,x,f,(,x,),概率密度函数,f,(,x,)=,随机变量,X,的频数,=,总体方差,=3.14159,;e=,2.71828,x,=,随机变量的取值,(-,x,0,正态,曲线的最高点在均值,，它也是分布的中位数和众数,正,态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值,和标准差来区分。,决定了图形的中心位置,决定曲线的平缓程度,曲,线,f,(,x,),相对于均值,对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交,正态,曲线下的总面积等于,1,随机,变量的概率由曲线下的面积给出,和,对,正态曲线的影响,x,f,(,x,),C,A,B,正态分布的概率,概率是曲线下的,面积,!,a,b,x,f,(,x,),标准正态分布,(standard normal distribution),一般的正态分布取决于均值,和标准差,计算概率时,，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的,若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,标准正态分布是均值为,0,方差为,1,的正态分布,标准正态分布函数,标准正态分布,的概率密度函数,任何一个,一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布,的分布函数,标准正态分布表的使用,将一个一般的转换为标准正态分布,计算概率时,，查标准正态概率分布表,对于负,的,x,，可由,(-,x,),x,得到,对,于标准正态分布，即,X,N,(0,1),，有,P,(,a,X,b,),b,a,P,(|X|,a,)2,a,1,对,于一般正态分布，即,X,N,(,),，有,正态分布,(,例题分析,),【,例,】,设,X,N,(0,，,1),，求以下概率：,(1),P,(,X,2),；,(3),P,(-1,X,3),；,(4),P,(|,X,|,2),解,：,(1),P,(,X,2)=1-,P,(,X,2)=1-0.9973=0.0227,(3),P,(-1,X,3)=,P,(,X,3)-,P,(,X,-1),=,(3)-,(-1)=,(3)1-,(1),=0.9987-(1-0.8413)=0.84,(4),P,(|,X,|,2)=,P,(-2,X,2)=,(2)-,(-2),=,(2)-1-,(2)=2,(2)-1=0.9545,正态分布,(,例题分析,),【,例,】,设,X,N,(5,，,3,2,),，求以下概率,(1),P,(,X,10),；,(2),P,(2,X,10,),解,：,(1),(2),利用,Excel,计算正态分布的概率,利用,Excel,的函数,NORMDIST,可以计算正态分布变量的累积分布函数与概率密度函数值,.,函数的格式如下,NORMDIST(x,c),若计算累积分布函数值，其中参数,c,的值为,1,，若计算概率密度函数值，,c,的值为,0,。,例如,设,X,N,(5,，,3,2,),，,计算,概率,(1),P,(,X,10),。,在,EXCEL,的任意单元格输入“,=NORMDIST(10,5,3,1)”,，按回车即可得到结果,0.95521,。,6.3,由正态分布导出的几个重要分布,6.3.1,2,分布,6.3.2,t,分布,6.3.3,F,分布,2,分布,一、分布,1,定义,设,X,1,，,X,2,，,，,X,n,是来自正态总体,N,(0,，,1),的样本，则称统计量,为服从自由度为,n,的 分布，记作,(,n,),0,f,(,x,),n,=1,n,=5,n,=15,x,2,(,n,),分布的概率密度：,其中 为 函数 在 处的函数值,性质,2,：,设,X,(,n,1,),，,Y,(,n,2,),，且,X,与,Y,相互独立,则,X,+,Y,(,n,1,+,n,2,),性质,3,：,设 为,X,的样本，则 ,证：,性质,4,：,设,(,n,),，则对任意实数,x,，有,3,分布的性质：,性质,1,：,设,(,n,),，则,E,()=,n,，,D,()=2,n,证：,因,X,i,N,(0,1),，,E,(,X,i,2,)=1,，,D,(,X,i,)=1,例如,取 ，则查表有 ,4,(,n,),分布的上 分位点：,设,(,n,),，对于给定的正数 ，称满足条件,的点 为,(,n,),分布的上 分位点,0,f,(,x,),x,5,、,2,分布的自由度,可以自由选择数值的变量个数。,当总体 ，从中抽取容量为,n,的样本，则,自由度,一组数据中可以自由取值的数据的个数,当样本数据的个数为,n,时，若样本均值,x,确定后，只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值,例如，样本有,3,个数值，即,x,1,=2,，,x,2,=4,，,x,3,=9,，则,x,=5,。当,x,=5,确定后，,x,1,，,x,2,和,x,3,有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如,x,1,=6,，,x,2,=7,，那么,x,3,则必然取,2,，而不能取其他值,例,由卡方分布的可加性有,则有该卡方分布自由度为,2,，且,C=1/3,c,2,分布,(,图示,),不同容量样本的抽样分布,c,2,n,=1,n,=4,n,=10,n,=20,t,分布,二、,t,分布（学生分布）,1,定义 设,X,N,(0,1),，,Y,(,n,),，且,X,与,Y,独立，则称随机变量,服从自由度为,n,的,t,分布，记作,t,t,(,n,),2,t,(,n,),分布的概率密度：,3,性质：,t,(,n,),分布的概率密度关于,y,轴对称，且,E(t)=0,D(t)=n/(n-2),f,(,x,),x,0,n,=10,n,=4,n,=3,f,(,x,),0,x,4,t,(,n,),分布的上 分位点：,设,t,t,(,n,),，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为,t,(,n,),分布的上 分位点，且有,5.t,分布自由度越小，分布的方差越大，分布比较平坦。当自由度较大时，方差较小，越接近标准正态分布。,6.t,分布的自由度由生成,t,分布的分母卡方分布随机变量的自由度决定。,t,分布图示,x,t,分布与标准正态分布的比较,t,分布,标准正态分布,t,不同自由度的,t,分布,标准正态分布,t,(,df,=13),t,(,df,=5),z,一个常用服从,t,分布的抽样分布,设,X,1,X,2,X,n,是来自均值为,、标准差为,的正态总体的随机样本。则可以得到利用样本均值计算的统计量函数的如下结果：,它常被用来推断总体的均值。,F,分布,三、,F,分布,1,定义：设,X,(,m,),，,Y,(,n,),，且,X,与,Y,独立，则称随机变量,为服从自由度是,m,、,n,的,F,分布，记作,F,F,(,m,n,),，,其中,m,称为第一自由度，,n,称为第二自由度,2,F,(,m,n,),分布的概率密度为,3,F,(,m,n,),分布的性质,:,若,F,F,(,m,n,),，则 ,m,=10,n,=5,m,=10,n,=25,x,f,(,x,),x,f,(,x,),4,F,(,m,n,),分布的上 分位点：,设,F,F,(,m,n,),，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为,F,(,m,n,),分布的上 分位点，且有,如,F 0.01(10,15)=3.8.,F,分布,(,图示,),不同自由度的,F,分布,F,（,1,10),(5,10),(10,10),6.4,样本均值的分布与中心极限定理,在重复选取容量为,n,的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布,一种理论概率分布,推断总体均值,的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布与中心极限定理,=50,=10,X,总体分布,n,=4,抽样分布,x,n,=16,当总体服从正态分布,N,(,2,),时，来自该总体的所有容量为,n,的样本的均值,x,也服从正态分布，,x,的数学期望为,，方差为,2,/,n,。即,x,N,(,2,/,n,),中心极限定理,(,central limit theorem,),当样本容量足够大时,(,n,30),，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,从均值为,，方差为,2,的一个任意总体中抽取容量为,n,的样本，当,n,充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为,、方差为,2,/,n,的正态分布,一个任意分布的总体,x,中心极限定理,(,central limit theorem,),x,的分布趋于正态分布的过程,2.,实际应用中，由于总体的分布未知，我们常要求,n,30,。,中心极限定理,：设从均值为,，方差为,的一个任意总体中抽取样本量为,n,的样本，当,n,充分大时，样本均值 的抽样分布近似服从均值为 、方差为,正态分布,注：,1.,中心极限定理要求,n,充分大，那么多大叫充分大呢？这与总体的分布形状有关。总体偏离正态越远，则要求,n,越大。,3.,大样本与小样本问题。在样本量固定的条件下进行的统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样本量,n,的条件下进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。一般统计学中的,n,30,为大样本，,n,30,为小样本只是一种经验说法。,例,6.4,设从一个均值,=10,、标准差,=0.6,的总体中随机选取容量为,n=36,的样本。假定该总体不是很偏的，要求：,解：由中心极限定理，样本均值近似服从正态分布,即近似地,而,并且,故,1,）,2,）,3,）,例,6.5,一汽车蓄电池商声称其生产的电池具有均值为,54,个月、标准差为,6,个月的寿命分布。现假设某消费者团体决定检验该厂的说法是否准确，为此购买了,50,个该厂的电池进行检验。,1,）假定厂商的声称是正确的，试描述这,50,个电池平均寿命的抽样分布。,2,）假定厂商声称正确，则,50,个样品组成的样本的平均寿命不超过,52,个月的寿命的概率是多少？,解,1,）由中心极限定理，样本均值近似服从正态分布,即近似地,而,并且,故,2,）按照上面得到的结果来计算这,50,个电池平均寿命不超过,52,个月的概率,这表明这,50,个电池平均寿命不超过,52,个月的概率非常小。因此这种情况应该不太可能出现。,如果出现该情况意味着什么？,6.5,样本比例的抽样分布,总体,(,或样本,),中具有某种属性的单位与全部单位总数之比,不同性别的人与全部人数之比,合格品,(,或不合格品,),与全部产品总数之比,总体比例可表示为,样本比例可表示为,比例,(proportion),在重复选取容量为,n,的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布,一种理论概率分布,当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似,推断总体比例,的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望,样本比例的方差,重复抽样,不重复抽样,样本比例的抽样分布,(,数学期望与方差,),解：,，根据概率理论，,10X,也服从正态分布，由于,所以,因为,例,6.7,假定某统计人员在其填写的报表中有,2%,至少会有一处错误，如果我们检查了一个由,600,份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所占的比例在,0.025-0.070,的概率有多大？。,均在,0-1,之间，故根据中心极限定理，有,即：,从而，所求概率为：,=,(8.77)-,(0.877),=0.1902,即该统计人员所填写的报表中至少有一处错误的报表所占比例在,0.025-0.070(15,份,-42,份,),之间的概率为,19.02%,。,6.6,两个,样本均值之差的抽样分布,两个总体都为正态分布，即 ，,两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差,方差为各自的方差之和,两个样本均值之差的抽样分布,例,6.8,设有甲、乙两所著名高校在某年录取新生时，甲校的平均分为,655,分，且服从正态分布，标准差为,20,分；乙校的平均分为,625,分，也是正态分布，标准差为,25,分。现从甲乙两校各随机抽取,8,名新生计算其平均分数，出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大？,6.7,关于,样本方差的分布,6.7.1,样本方差的分布,6.7.2,两个样本方差比的分布,样本方差的分布,在重复选取容量为,n,的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布,对于来自正态总体的简单随机样本，则比值,的抽样分布服从自由度为,(,n,-1),的,2,分布，即,由于,所以,的证明,两个样本方差比的分布,两,个总体都为正态分布，,即,X,1,N,(,1,1,2,),，,X,2,N,(,2,2,2,),从两,个总体中分别抽取容量为,n,1,和,n,2,的独立样本,两,个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为,(,n,1,-1),，分母自由度为,(,n,2,-1),的,F,分布，即,本章小结,统计量及其分布,由正态分布导出的几个重要分布,样本均值的分布与中心极限定理,样本比例的抽样分布,两个样本平均值之差的分布,关于样本方差的分布,结 束,THANKS,