高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案.doc

空间向量与立体几何经典题型与答案
1 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面⊥面
（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为
所求二面角的平面角

2 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系

（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 ∴平面
（Ⅱ）解：设为中点，则，

由
因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，， 为的中点
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为

4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所
截面而得到的，其中
（Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求点到平面的距离
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

5 如图，在长方体，中，，点在棱上移动 （1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去），
∴时，二面角的大小为

6 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系
由于，
在三棱柱中有
,
设

又侧面，故 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角

7 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点， 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为
（Ⅱ）作，可设 由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角
故 即二面角的大小为