高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版).doc

高中数学讲义之解析几何

圆锥曲线第3讲 抛物线

【知识要点】
一、 抛物线的定义
平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点不在定直线上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点且垂直于直线的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点的距离与它到定直线（）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、 抛物线的标准方程
1. 抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有以下四种：
（1） （），其焦点为，准线为；
（2） （），其焦点为，准线为；
（3） （），其焦点为，准线为；
（4） （），其焦点为，准线为.

2. 抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程（）或（）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为轴时，抛物线方程中的一次项就是的一次项，且一次项的符号指明了抛物线的开口方向.

三、 抛物线的性质
以标准方程（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1） 范围：，；
（2） 顶点：坐标原点；
（3） 对称性：关于轴轴对称，对称轴方程为；
（4） 开口方向：向右；
（5） 焦参数：；
（6） 焦点：；
（7） 准线：；
（8） 焦准距：；
（9） 离心率：；
（10） 焦半径：若为抛物线（）上一点，则由抛物线的定义，有；
（11） 通径长：.
注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线（）的焦点和准线：为例，可求得其焦准距为；
注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。设抛物线的方程为（），过其焦点且不垂直于轴的直线交该抛物线于、两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径，，于是该抛物线的焦点弦长为.
注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。设抛物线的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该抛物线于、两点（不妨令点在轴的上方），则、，于是该抛物线的通径长为.

四、与抛物线相关的几个重要结论
设抛物线的方程为（），点是其焦点，直线：是其准线，若过该抛物线焦点的直线交该抛物线于、两点（即线段是该抛物线的焦点弦），并且点、点在其准线上的垂足分别为点、点，线段的中点为点，则可以证明：
（1） ，；
（2） （这里，为直线的倾斜角）；
（3） （这里，为直线的倾斜角）；
（4） 以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切；
（5） ，；
（6） 以线段为直径的圆切直线于点.
证明：由于当直线的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线过点，我们可巧设其方程为，这里，为直线的倾斜角.
（1） 联立，得
由韦达定理，有 ，
故

（2） 由抛物线的定义，有

（3）

（4） 设的中点为
则
又

这表明，的中点到准线：的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到准线：的距离等于圆的半径.
故以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切
（5） ，，
，

故，即
又，，
，
于是
故，即
（6）

这表明，的中点到点的距离等于的一半，即以线段为直径的圆的圆心到点的距离等于圆的半径.
故以线段为直径的圆切直线于点

【例题选讲】
题型1：抛物线定义的应用
1. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
由此可知，直线不垂直于轴，否则，与已知矛盾
设，
则线段的中点到轴的距离，并且由抛物线的定义，有
，
于是由，有
故线段的中点到轴的距离

2. 设抛物线的焦点为，准线为，点为该抛物线上一点，，点为垂足，如果直线的斜率为，那么=___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
由，可知，直线的方程为，即
联立，得
于是由于点知，
将其代入方程中，得
故由抛物线的定义，有

3. 已知以为焦点的抛物线上的两点、满足，则弦的中点到准线的距离为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
设，
则弦的中点到准线的距离，并且，
于是由，有，
又由可知，直线的斜率存在，不妨设为
则直线的方程为，即
联立，得
由韦达定理，有
而
，
于是，
故弦的中点到准线的距离

题型2：求抛物线的方程
4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则该抛物线的方程是___________.
解：由所求抛物线的准线方程为，可设其方程为（）
则有
故所求抛物线的方程为

5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是___________.
解：由题设条件可设所求抛物线的方程为（）或（）
则由焦准距为2，有
故所求抛物线的方程为或

6. 已知抛物线过点，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.
解：由所求抛物线过点，可设其方程为（）或（）
则有或
于是或
故所求抛物线的方程为或

7. 已知抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.
解：在方程中，令，得；令，得
于是所求抛物线的焦点为或
（ⅰ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为（）
则有
于是此时所求抛物线的方程为，其准线方程为
（ⅱ）当所求抛物线的焦点为时，据此可设所求抛物线的方程为（）
则有
于是此时所求抛物线的方程为，其准线方程为
故所求抛物线的方程为或，它们对应的准线方程分别为，.

8. 已知动圆与圆：外切，且与轴相切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
解：设
则由动圆与圆外切，且与轴相切，有（）
（），即（）（）
当时，由（）式，有；当时，由（）式，有
故动圆圆心的轨迹方程为

9. 若抛物线（）的焦点恰好是双曲线的右焦点，则=___________.
解：抛物线的焦点为，准线方程为
在双曲线，即中，，
，
于是双曲线的左、右焦点分别为、
又抛物线的焦点恰好是点

故

10. 若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，则=___________.
解：抛物线的焦点为，准线方程为
在双曲线中，，
，
于是双曲线的左、右焦点分别为、
又抛物线的准线经过点

故

11. 已知抛物线的焦点是双曲线的左顶点，则该抛物线的标准方程为___________.
解： 在双曲线，即中，

于是该双曲线的左顶点为
因而所求抛物线的焦点为，据此可设所求抛物线的方程为（）
则有
故所求抛物线的方程为

12. 已知抛物线的焦点在轴上，直线与该抛物线交于点，并且，则该抛物线的标准方程为___________.
解： 由所求抛物线的焦点在轴上，可设其方程为（）或（）
（ⅰ）对于抛物线（），设，
则由，有，即①
又点在抛物线上
②
联立①、②， 得或
于是此时所求抛物线的方程为或
（ⅱ）对于抛物线（），设，
则由，有③
又点在抛物线上
④
联立③、④， 得或
于是此时所求抛物线的方程为或
故所求抛物线的方程为或

题型3：抛物线的性质
13. 已知抛物线：（）过点，与抛物线有公共点的直线平行于（为坐标原点），并且直线与之间的距离等于，则直线的方程为___________.
解：由抛物线：过点，有
抛物线的方程为，其焦点为，准线方程为
由直线且的方程为，即，可设直线的方程为
又平行直线：与：之间的距离等于

联立，得
则由直线与抛物线有公共点，有
于是（舍去）
故直线的方程为

14. 过抛物线（）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于、两点，、在轴上的正射影分别为、. 若梯形的面积为，则=___________.
解：抛物线的焦点为，准线方程为
由直线的斜率为1，且过点可知，直线的方程为，即
设，
联立， 得 解得： ，
又

又
故

15. 过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为_________.
解：显然，点在抛物线外
（1）当所求直线的斜率不存在时，
显然，过点且与抛物线有一个公共点的直线方程为
（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为
则由其过点可知，所求直线的方程为，即
联立，得（）
（ⅰ）若，则由（）式，有
而此时所求直线的方程为
即此时所求直线与抛物线的唯一公共点为，满足题意
于是当时，所求直线的方程为
（ⅱ）若，则对（）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有

，满足题意
于是当时，所求直线的方程为
故所求直线的方程为或或

16. 以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点。已知，，则的焦点到准线的距离为___________.
解：设抛物线的方程为（）
则其焦点为，准线方程为
于是抛物线的焦点到准线的距离为
由抛物线的对称性可知，、两点关于轴对称，、两点也关于轴对称
设与轴交于点，与轴交于点
则，
设以抛物线的顶点为圆心的圆的半径为
则
在中，，即①
设
则由知，，代入方程中，得，
即
在中，，即②
①-②,得 ，解得：或（舍去）
又
故，即的焦点到准线的距离为4

17. 已知正方形的两个顶点、在抛物线上，、两点在直线：上，则正方形的面积为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
由及所在直线的方程为，即，可设直线的方程为，即
设，
联立， 得
由韦达定理，有
于是

又平行直线：与：之间的距离
，即 解得：或
于是或
故或，即正方形的面积为18或50.

题型4：与抛物线有关的最值问题
18. 若抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则=___________.
解： 抛物线的焦点为，准线方程为
设
则
又点在抛物线上

于是
又，
，当且仅当时，取得最小值，且
于是有
故

注：由本题可见，抛物线的顶点到其焦点的距离最小。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。

19. 已知直线：和直线：，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为___________，此时点的坐标为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
记点到直线和直线的距离分别为、
（1）求
由抛物线的定义知，点到直线的距离
于是
显然，的最小值即为点到直线：的距离
于是
即动点到直线和直线的距离之和的最小值为2.
（2）求点的坐标
设过点且垂直于直线：的直线为
则的方程为，即
联立，得 解得：或（舍去）

故，即当动点到直线和直线的距离之和取得最小值2时，点的坐标为.

20. 已知定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，是该抛物线的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，则线段的中点到轴的距离的最小值是___________，此时点的坐标为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线的方程为
作于点
则有
又由抛物线的定义，有，

而
于是有，当且仅当弦过抛物线的焦点时，“=”成立，即此时点到轴的距离最小，并且
为求点的坐标，下面我们求
由、可知，直线的斜率存在，不妨设为
则由直线过点可知，其方程为，即
设，
则
联立， 得
由韦达定理，有
于是有
，即
故
即当点到轴的距离取得最小值时，点的坐标为.

注：当设出直线与曲线的交点坐标后，交点既在直线上，又在曲线上，即交点的坐标不仅满足直线方程，也满足曲线方程，这一点在解题时，要格外注意。

21. 已知直线的方程为，是抛物线上一动点，则当点到直线的距离最短时，点的坐标为___________，这个最短距离为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
联立， 得

直线与抛物线相离
于是点到直线的最短距离为平行于直线且与该抛物线相切的直线到直线的距离，此时点即为切点
设与直线：平行且与抛物线相切的直线方程为
联立， 得
令，得
于是由，即，有
将其代入中，得
故，其到直线：的最短距离
即当点到直线的距离最短时，点的坐标为，这个最短距离为2.

注：抛物线上的点到已知直线的最短距离，就是与已知直线平行且与抛物线相切的直线到已知直线的距离，即切点到已知直线的距离。

题型5：与抛物线的焦点弦有关的问题
22. 已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点，并与该抛物线交于、两点，则线段的长为___________.
解：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
由直线的斜率为1，且过点可知，直线的方程为，即
设，
联立， 得
由韦达定理，有
（法一）故

（法二）

23. 过抛物线（）的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，点在轴上方，求.
证：抛物线的焦点为，准线方程为
直线的倾斜角为

于是由直线过点可知，其方程为，即
联立，得 解得：
又点在轴上方
，
过点作轴于点，过点作轴于点
则，
故由～，有

注：有时，当把直线方程与曲线方程联立后的方程化为关于的一个一元二次方程比化为关于的一个一元二次方程要好：一是计算简便，二是更容易得出结果.

24. 点在直线：上，若存在过点的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“好点”，那么下列结论中正确的是_________.
A. 直线上不存在好点
B. 直线上仅有两个点是“好点”
C. 直线上有且仅有一个点是“好点”
D. 直线上有无穷多个点是“好点”
解：联立，得

直线：与抛物线相离
又
，这表明点是线段的中点
设，
则
于是由、两点在抛物线上，有
（）
对于方程（），

方程（）恒有实数解
故直线上有无穷多个点是“好点”

25. 过抛物线（）的焦点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线的准线于、两点，又过、两点分别作抛物线的对称轴的平行线，交抛物线于、两点，证明：、、三点共线.
证：抛物线的焦点为，准线方程为
设，
则，
于是，
又

于是有
又

故、、三点共线

注：为证三点共线，只需证明三点中任意两点连线的斜率相等。此外，为证两直线平行，也可转化为证明两直线斜率相等。

26. 已知已知抛物线（）的焦点为，经过点的直线交该抛物线于、两点，点在该抛物线的准线上，并且，证明：直线必经过坐标原点.
证：抛物线的焦点为，准线方程为
（ⅰ）当不垂直于轴时，设其斜率为
则由直线过点可知，其方程为，即
设， 则
联立， 得
由韦达定理，有
又，
，这表明，、、三点共线
故此时直线经过坐标原点
（ⅱ）当垂直于轴时，，，
，
，这表明，、、三点共线
故此时直线也经过坐标原点
综上可知，直线总经过坐标原点

题型6：与抛物线有关的综合问题
27. 已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于、两点，则=___________.
解：（法一）在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
联立，得 解得：或
或
不妨令，
则，，

故由余弦定理，有
（法二）由法一知，，，
于是，

28. 已知抛物线：，直线：. 证明：上不存在关于直线对称的两个不重合的点.
证：设是抛物线：上任意一点
则点关于直线：的对称点为
若点是抛物线：上不与点重合的点
则，并且

由，有
，即
又

于是有，而这显然与矛盾
故点不在抛物线上，即上不存在关于直线对称的两个不重合的点.

29. 已知抛物线的焦点为，、是该抛物线上的两动点，且（）. 过、两点分别作抛物线的切线，设这两条切线的交点为.
（1） 证明：为定值；
（2） 设的面积为，写出的表达式，并求出的最小值.
证（1）：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
设，
则，
于是由，有，‚
又，即

于是过抛物线上，两点的切线方程分别为
，
即，

联立，得
于是，而

（）
由有，
，得 ，即
代入‚中，得 ，即 ，
于是
故由（）式，有，即为定值，其值为0.
解（2）：由（1）知，

又

又由，有，当且仅当，即（舍去）时，“=”成立
故，当且仅当时，取得最小值4.

30. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且为定值（）时，证明：直线恒过某一定点，并求出该定点的坐标.
解（1）：设动圆圆心为，记定点为，过点作直线于点
则由题意知，
这表明，点到定点的距离与它到定直线的距离相等
于是点的轨迹为抛物线，其中是其焦点，是其准线
故动圆圆心的轨迹的方程为（）
证（2）：设，
则由题意知，，并且
于是直线的斜率存在且不为零，不妨设其方程为（）
联立，得
由韦达定理，有
（ⅰ）当时，不存在，但有
于是

于是此时直线的方程为，即
这表明，当时，直线恒过定点
（ⅱ）当时，存在

于是此时直线的方程为，
即
这表明，当时，直线恒过定点
故当时，直线恒过定点；当时，直线恒过定点.

31. 设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点作直线，与交于、两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

3

4

0

（1） 求、的标准方程；
（2） 设是准线上一点，直线的斜率为，、的斜率依次为、，请探究：与的关系；
（3） 若与交于、两点，为的左焦点，问是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.
解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（），抛物线的标准方程为（）
由上表可见，椭圆必过点

于是：
若过点，则有，这显然不成立
若过点，则有，这显然不成立
若过点，则有，成立
因此椭圆的标准方程为，并且可知，抛物线：必过、两点
于是有或
因此抛物线的标准方程为
（2） 由（1）知，：，其焦点为，准线方程为
（ⅰ）当直线的斜率存在时，不妨设其斜率为，
则由其过点可知，直线的方程为，即
设，，
则，

（）
联立，得
由韦达定理，有
于是由（）式，有
因而此时
（ⅱ）当直线的斜率不存在时，，
于是，

因而此时
故总有
（3） 由（1）知，：，其左、右焦点分别为、
设点到直线的距离为

（ⅰ）当直线的斜率存在时，不妨设其斜率为，
则由其过点可知，直线的方程为，即
设，
联立，得

由韦达定理，有
于是

设，
联立，得
由韦达定理，有
于是

因而此时
（ⅱ）当直线的斜率不存在时，，，，
于是，
因而此时
这表明，总有
故有最小值，并且最小值为.

32. 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于、两点，交的准线于、两点.
（1） 若在线段上，是的中点，证明：；
（2） 若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
证（1）：在抛物线中，，即
该抛物线的焦点为，准线方程为
（ⅰ）当不垂直于轴时，
设，
则，
于是
，
直线的方程为，即
又点在直线上

于是

于是
故
（ⅱ）当垂直于轴时，
此时四边形为矩形
由，，，有
又
四边形为平行四边形
故
综上可知，总有
解（2）：（ⅰ）当不垂直于轴时，
设直线交轴于点
则
而
于是
设直线交轴于点
则
于是

又

或（舍去）
于是
设线段的中点为
则由，有，即
于是有（）
又由是线段的中点，有，即
于是由（）式，有，即
又当不垂直于轴时，线段的中点不在轴上

故当不垂直于轴时，点的轨迹方程为（）
（ⅱ）当垂直于轴时，
点与点重合，此时点的轨迹为点，满足方程
综上可知，中点的轨迹方程为.
37