【备战2013中考】2011及2012年各地中考数学试题分考点解析汇编尺规作图.doc

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2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编
尺规作图
一、选择题
1.（2011浙江绍兴4分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为
A、7　　 B、14　　 C、17　　D、20
【答案】C。
【考点】线段垂直平分线的性质。
【分析】由题意可得MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，得AC+BC=10，则可求得△ABC的周长为17。故选C。
二、填空题
1.（2011天津3分） 如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
(I) 该正方形的边长为 ▲ 。(结果保留根号)
(II) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，
并简要说明剪拼的过程： ▲ 。
【答案】(I)
(II)如图．①作出BN= (BM=4，MN=1， ∠MNB=90°)：
②画出两条裁剪线AK，BE (AK=BE=．BE⊥AK)：
③平移△ABE和△ADK。
此时，得到的四边形BEF'G即为所求．
【考点】尺规作图，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图形的移动和拼接。
【分析】（Ⅰ）∵矩形面积等于15，∴与之面积相等的正方形边长为。
（Ⅱ）先要作出的长。考虑到（）2=42－12，故只要作以4为斜边1为一直角边的三角形，另一直角边长即。
考虑到3╳5=·，即，所以有以上作法。
2.（2011湖北荆门3分）请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形.
【答案】

【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】整个图形含有36个小菱形，分为面积相等的六部分，则每一个部分含6个小菱形，由此设计分割方案。本题答案不唯一。
3.（2011湖北咸宁3分）请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．（画一个即可）．
【答案】

【考点】作图（位似变换）。
【分析】分别找出的三角形的对应点，扩大对应边2倍即可得出答案。如图所示，只要作一个。
三、解答题
1.（2011北京5分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．
【答案】解：△BDE的面积等于1。
（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP。
（2）连接EF，PE，则△CFP可公割成△PEF，△PCE和△EFC。
∵四边形BEPF是平行四边形，∴△PEF≌△BFE。
又∵E，F是AC，AB的中点，∴△BFE的底和高都是△ABC的一半。
∴△BFE的面积是△ABC的，即△PEF的面积是△ABC的。
同理，△PCE和△EFC的面积都是△ABC的。
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于。
【考点】平移的性质，三角形的面积，尺规作图。
【分析】根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等，即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积。
（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形。
（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等。结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的。
2.（2011重庆６分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作图如下，点M即为所求。

【考点】尺规作图，线段垂直平分线的判定和性质。
【分析】易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半。故作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可。
3.（2011重庆綦江6分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
【答案】解：图中点P即为所求。

【考点】尺规作图（应用与设计作图）,线段垂直平分线的性质。
【分析】根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案。
4..（2011重庆江津10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
【答案】解：（1）存在满足条件的点C。作出图形，如图所示：
．
（2）作点A关于轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与轴的交点即为所求的点P。设A′B所在直线的解析式为：。
把（2，2）和（7，3）代入得：
，解得。
∴A′B所在直线的解析式为：。
当=0时，=4，
∴点P的坐标为（4，0）。
【考点】作图（应用与设计作图），轴对称（最短路线问题），线段垂直平分线的性质，三角形两边之和大于第三边的性质，一次函数综合题。
【分析】（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与轴的交点即为所求的点；
（2）找到点A关于轴的对称点，由三角形两边之和大于第三边的性质，对称点与点B连线与轴的交点即为所求作的点。
5．（2011重庆潼南6分）画△ABC，使其两边为已知线段、，夹角为β．（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）．

已知：
求作：
【答案】解：已知：线段、、角β（1分）
求作：△ABC使边BC=，AC=，∠C=β
画图（保留作图痕迹）：

【考点】尺规作图。
【分析】根据一个三角形的两边分别为，，这两边的夹角为β，做一条射线CA，在原角上以任意长度为半径画弧，再以C为圆心，相同长度为半径画弧做出∠BCA=∠β，即可得出△ABC。
6.（2011广西贵港6分）按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
（1）在图（1）中作出∠ABC的平分线；（2）在图（2）中作出△DEF的外接圆O．

【答案】解：（1）∠ABC的平分线如图①；（2）△DEF的外接圆O如图②。

【考点】尺规作图，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质，三角形外接圆的性质。
【分析】（1）作法：以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E；分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP。BP即为所求。
（2）作法：分别作DE、DF的中垂线，两线交于点O，以点O为圆心，OD长为半径画圆。⊙O即为所求。
7.（2011广西河池8分）如图，在ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O．
(1)过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于点H；
(2)在(1)的图中，找出一个与△BFH全等的三角形，并证明你的结论．
【答案】解：(1)以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧；两弧交于点G，连接BG，则BG为AC的平行线。，延长EF交BG于点H。
[来源:中.考.资.源.网]
(2) △CFO≌△BFH。证明如下：
∵F是BC的中点，∴BF＝CF。又∵BG∥AC，∴∠FBH＝∠FCO。
又∵∠BFH＝∠CFO，∴△CFO≌△BFH（ASA）。
【考点】尺规作图，平行四边形的判定，平行的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定。
【分析】(1) 利用对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，得到BG∥AC。
（2）根据平行线内错角相等的性质和对顶角相等的性质和已知BF＝CF，由全等三角形SAS的判定即可证明△CFO≌△BFH。另还可证明△AEO≌△BFH。
8.（2011广西钦州9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线
互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，
直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）；
（3）若CD＝4，AC＝4，求垂线段OE的长．
【答案】解：(1)连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。
（2）过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：
（3）在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4，
∴AD＝＝＝8 。
∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2 。
∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。
∴＝。∴OE＝×CD＝×4＝。
即垂线段OE的长为 。
【考点】圆切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，尺规作图，弦径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证AC平分∠DAB，即∠OAC＝∠DAC。一方面由切线的性质可证OC⊥CD，从而OC∥AD，得∠OCA＝∠DAC；另一方面由等腰三角形等边对等角的性质，得∠OCA＝∠OAC。从而得证。
（2）分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧的交点与事业O的边线即为所作。
（3）要求垂线段OE的长，先由勾股定理求出AD的长，由弦径定理求AE的长。然后由相似三角形的判定和性质即可求出。
A
Ｃ
D
B
9.（2011江苏扬州10分）已知：如图，在中，的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和）
【答案】解：（1）作图如下：
直线BC与O相切。理由如下：
连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA。
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC。∴∠ODA＝∠DAC。
∴OD∥AC。
∵，∴，即OD⊥BC。
又∵直线BC过半径OD的外端，∴BC为O的切线。
（2）设，在中，
∴，解得。
∵。
∴。∴所求图形面积为。
【考点】线段垂直线平分线的性质，尺规作图，圆与直线的位置关系，勾股定理，特殊角三角函数值，扇形面积。
【分析】（1）作图步骤：作AD中垂线交AB于O，以点O为圆心OA为半径画圆。
判断直线BC与O的位置关系，只要比较圆心O到直线BC的距离与圆半径的大小，从而只要证明它们相等即可。
（2）所求图形面积可以看着三角形BOD的面积与扇形ODE的面积之差即可求出。
10.（2011山东威海8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心。
⑴如图①，△ABC≌△DEF。△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画
出旋转中心，若不能，试简要说明理由；
⑵如图②，△ABC≌△MNK。△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规
画出旋转中心，若不能，试简要说明理由。
（保留必要A
B
C
D
E
F
A
B
C
N
M
K
图①
图②
的作图痕迹）

【答案】解: ⑴能。图①中，O1即为旋转中心。 ⑵能。图②中，O2即为旋转中心。

【考点】尺规作图，旋转的性质，线段垂直平分线的性质。
【分析】根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等的性质，只要作出任两组对应点的垂直平分线即可。
11.（2011山东滨州9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°．
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】解：（1）①作图：如图①，作线段AB的垂直平分线，在AB边上的垂足D，则直线CD即为所求。
②猜想：∠A＋∠B＝90°。
③验证：如在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°时，有∠A＋∠B＝90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
（2）答：①作图：作线段AB的垂直平分线，交AC边于D，则直线BD即为所求。
②猜想：∠B＝3∠A。
③验证：如在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝96°，有∠B＝3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
【考点】垂直平分线的作法和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。
【分析】（1）①作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD＝∠A（或∠BCD＝∠B）两类方法均可作出。
②利用各角之间的关系得出∠A＋∠B＝90°。
③可根据△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°时，有∠A＋∠B＝90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
（2）①作线段AB的垂直平分线，或作∠ABD＝∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可作出。
②利用各角之间的关系得出∠B＝3∠A。
③角∠A＝32°，∠B＝96°，有∠B＝3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
12.（2011山东青岛12分）如图，已知线段a和h．a
h

求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】解：如图，△ABC即为所求。

【考点】尺规作图，等级腰三角形的性质。
【分析】作法：①作BC＝a；
②分别以B，C为圆心，大于BC的二分之一长为半径画弧，两弧交于E，F；
③连接EF，交BC于D；
④在EF上取DA= h；
⑤连接AB，AC。
△ABC即为所求。
13.（2011山东淄博9分）如图1，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的一点，BD>CD，将△ABC沿AD
剪开，拼成如图2的四边形ABDC′．
（1）四边形ABDC′具有什么特点？
（2）请同学们在图3中，用尺规作一个以MN，NP为邻边的四边形MNPQ，使四边形MNPQ具有
上述特点（要求：写出作法，但不要求证明）．

【答案】解：(1)四边形ABDC′中，AB=DC′，∠B=∠C′
(2)作法：①延长NP；
②以点M为圆心，MN为半径画弧，交NP的延长线于点G；
③以点P为圆心，MN为半径画弧，以点M为圆心，PG为半径画弧，两弧交于点Q；
④连接MQ，PQ；
四边形MNPQ是满足条件的四边形。
【考点】拼接图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图。
【分析】（1）由拼接和等腰三角形的的性质知，△ADC≌△DA C′，从而AB=DC′，∠B=∠C′。
（2）由（1）可作。
14.（2011广东佛山8分）如图，一张纸上有线段；

（1）请用尺规作图，作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）；
【答案】解：（1）如图：

（2）对折，使得点A与点B重合，折痕所在的直线为线段AB的垂直平分线。
【考点】尺规作图，轴对称的性质。
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于二分之一AB长为半径画弧，在AB两侧分别将于两点连接这两点即为所求。
（2）根据轴对称的原理，对折，使得点A与点B重合得折痕即可。
C
B
A

15.（2011广东珠海6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．[来源:W]
（1） 求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．（保
留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝_ ▲ ，CD＝_ ▲ ．
【答案】解：（1）作出BC的垂直平分线DE，线段DE即为所求。

（2）3，5 。
【考点】尺规作图，线段的垂直平分线性质，三角形中位线性质。
【分析】（1）作法：分别以B，C为圆心，大于二分之一BC长为半径画弧，在BC两侧分别交于F，G；连接FG，分别交AB，BC于D，E。则线段DE即为所求中位线。
（2）根据三角形中位线等于第三边一半的性质，得根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质。
16.（2011湖北武汉7分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（-7，1），B（1，1），C（1，7）.线段DE的端点坐标是D（7，-1），E（-1，-7）.
（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；
（3）画出（2）中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形.
【答案】解：（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位。
（2）F（－1,－1）
（3）画出如图所示的图形：
【考点】旋转变换和平移变换的性质和作图。
【分析】（1）将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位即可得出符合要求的答案。
（2）根据A，C对应点的坐标特点，即可得出F点的坐标。
（3）分别将D，E，F，A，B，C绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图象即可。
17.（2011湖北宜昌10分）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

【答案】解：(1) 作图如下：

（2）能。
①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点， 如图1。
在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1  (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BO·sin∠ABM, P1Z＝BP1·sin∠ABM，
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX，
即P与B的距离越大，⊙P的面积越大。
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点。
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则E在边AB上。
∴以P为圆心、PC为半径作圆，
则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E。
即这时的⊙P是符合题意的圆。这时⊙P的面积就是S的最大值。
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°，∴ Rt△ABC∽Rt△APE。∴。
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝。
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，∴。
∴x＝ =2－4。
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，
设PC＝y，则 ，∴y= =。WWW.ZK5U.COM]
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则， ∴z=。
∵y－x=>0，∴y>x。
∵z－y=>0 ∴ z＞y。
∴ z＞y＞x。 ∴⊙P的面积S的最大值为。
【考点】尺规作图，切线的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程，二次根式化简，实数的大小比较。
【分析】（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心。
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论。
18.（2011山西省9分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作△ABC的外接圆，圆心为O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；
③连接BD，交⊙O于点F，连接AE，
(2)综合与运用 在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则：
①AD与⊙O的位置关系是______．(2分)
②线段AE的长为__________．(2分)
【答案】解：（1）作图如下：

（2）①相切。②。
【考点】尺规作图，直线与圆的位置关系，勾股定理。
【分析】（1）①以AB为直径作圆O即可。
②分别以A、B为半径作弧交于点D连接AD，CD即可。
③根据题意连接，找到交点即可。
（2）①可证∠BAD=90°，由切线的判定得出AD与⊙O的位置关系：
∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形。
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°。∴AD与⊙O的位置关系是相切。
②根据三角形的面积公式即可求出线段AE的长：
∵AB=4，BC=2，∴AD=AC=，BD=。
∵，即，∴。
19.（2011四川自贡8分） 如图，点B，C在∠SAT的两边上．且AB=AC．
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写画法，保留作图痕迹)．
①AN⊥BC，垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连接CM．
(2)该图中有______对全等三角形．
【答案】解：(1)画图如下：

（2）3．
【考点】尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定。
【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质，作出AN⊥BC；根据角平分线的性质作出∠SBC的平分线；连接CM即可。
A
B
C
D
（2）△ABN≌△ACN，△MBN≌△MCN，△ABM≌△ACM。
20.（2011四川广元7分）如图，在△ABC和△ACD中，CB＝CD，设点E是CB的中点，点F是CD的中点．
(1)请你在图中作出点E和点F(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)；
(2)连接AE、AF，若∠ACB＝∠ACD，请问△ACE≌△ACF吗？请说明理由．
【答案】解：（1）如图所示：

（2）∵CB=CD，点E是CB的中点，点F是CD的中点，
∴CE=CF。
∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SAS）。
【考点】尺规作图，全等三角形的判定。
【分析】（1）根据尺规作图的要求，分别作出线段BC，CD的垂直平分线交点即为所求。
（2）由已知条件可以用SAS判定△ACE≌△ACF。
21.（2011甘肃兰州9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C　 　、D　 　；
②⊙D的半径=　 （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为　 　（结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
【答案】解：（1）①建立平面直角坐标系，
②找出圆心。

（2）①C（6，2），D（2，0）。
②2。
③。
④直线EC与⊙D相切。理由如下：
∵CD2+CE2=DE2=25，∴∠DCE=90°。
∴直线EC与⊙D相切。
【考点】尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理，扇形的弧长公式，圆锥和它的侧面展开图的关系，直线与圆的位置关系，圆的切线的判定。
【分析】（1）①根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴。
②作AB和BC的垂直平分线，二者交点即为该圆弧所在圆的圆心D的位置。
（2）①利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标。
②在直角△OAD中，利用勾股定理即可求得半径长。
③可以证得∠ADC=90°，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的弧长：，由扇形的弧长=底面圆周长，得底面圆半径为，从而得到该圆锥的底面面积为。
④利用勾股定理逆定理，证得∠DCE=90°即可。
22.（2011新疆自治区、兵团8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
【答案】解：（1）作法：
① 作∠BAC的角平分线，AD，在AD上截取AB1=AB，
② 分别以A、B1为圆心，以AC，BC为半径画弧，在AC的左边交于点C1，
③连结AC1，B1C1,则△AB1C1就是所求的三角形。

（2）tan∠AB1C1=tan∠B=
【考点】尺规作图（旋转变换），旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。
【分析】（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB 1=AB，再作出AB 1的垂线，即可得出答案．
（2）利用旋转的性质得出∠AB1C1=∠B，再利用勾股定理和锐角三角函数定义即可求出。

11. （2012浙江省绍兴，7，3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
【解析】将圆三等分，依次连结各等分点，即可作出圆内接正三角形 ．
【答案】A
【点评】本题主要考查圆内接正三角形的作法和判定以及圆的有关知识．

19．(2012山东德州中考,19,8,)有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

A
B

19．【解析】分析此题的条件可知，要想到A、B两点的距离相等，可知点C必在AB的垂直平分线上；要想到两公路的距离相等，必须在两公路夹角的角平分线上．作出二者的交点即为所求．注意两公路夹角的角平分线不止一条．
解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.
⑴ 作两条公路夹角的平分线或；
A
B

F
G
D
O

E
⑵ 作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点，就是所求的位置.

…………………（8分）
注：本题学生能正确得出一个点的位置得6分，得出两个点的位置得8分．
【点评】此题综合考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解答此类题不要漏电所有符合条件的点，要注意在角的外部也有符合条件的点．
（2）（2012贵州铜仁，19（2），5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
19(2)题图

【分析】根据垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，连接AB并作AB的垂直平分线，然后以C点为圆心，以AB的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点，即为所求的点M位置
【解析】作图1、连结AB
2、作出线段AB的垂直平分线
3、以C点为圆心，以AB的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点M
4、 在矩形中标出点M的位置
【点评】此题看出来图形设计作图与实际应用，本题主要利用垂直平分线的作法，属于基本作图，应牢固掌握。但应该注意的是， 作图时必须保留尺规作图的痕迹，痕迹不全要扣分，无圆规痕迹不给分．

24.（2012贵州贵阳，24，12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.
（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（4分）
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（4分）
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD,且S△ABC<S△ACD,过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由. （4分）
图①
图②
A
B
C
D
第24题图

图①
图②
A
B
C
D
第24题图
O1
O2
E
F
解析： （1）三角形的三条中线都平分三角形的面积，过对角线的交点的任意一条直线都平分平行四边形的面积；（2）过矩形和正方形的对角线的交点画直线即平分其面积；运用面积法画一个与△ABC的面积相等的底边在直线CD上的三角形，把四边形的面积等分线问题转化为三角形的面积等分线问题.
解：（1）3，无数；
（2）如图①所示,直线O1O2即是其中的一条；
（3）如图②所示，直线AF就是，其中BE∥AC,点F是DE的中点；理由：
∵BE∥AC,∴S△AEC=S△ABC, ∴S四边形ABCD=S△AED,
∵F是DE的中点, ∴S△AEF=S△AFD=S△AED=S四边形ABCD,
∴直线AF即是四边形ABCD的面积等分线.
点评：本题属于阅读理解问题，其关键有三个：（1）理解什么是面积等分线；（2）三角形和平行四边形的面积等分线；（3）其他图形怎样转化为三角形的组合或平行四边形的组合.

专项一 尺规作图（201135）
（2012河北省7,3分）7、如图3点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是 （ ）
Ａ．以点C为圆心，OD为直径的弧
Ｂ．以点C为圆心，DM为直径的弧
Ｃ．以点E为圆心，OD为直径的弧
Ｄ．以点E为圆心，DM为直径的弧

【解析】根据尺规作图中做一个角等于已知角的作图方法，可知正确地表述为D。
【答案】D
【点评】河北省两次考查尺规作图：今年和去年，在教学中多关注此部分，培养学生动手动脑的能力，属于简单题型。
10.（2012河南，10，3分）如图，在△ABC，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB， AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则的度数为

10. 解析：根据作图可知AG平分∠CAB，由直角三角形两锐角互余，所以∠ADC=90°－25°=65°.
答案：65°
点评：本题把尺规作图和角平分线性质结合起来考查，形式灵活，新颖.
21.（2012年广西玉林市，21，6）已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图），（1）作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）；
（2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形．

分析：（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D．
（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论．
解：（1）如图所示：

BD即为所求；
（2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．
点评：此题主要考查了作角平分线，以及等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：等角对等边．
13. （2012珠海，13，6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；
（