高中数学-函数应用题模型2010教案-新人教A版必修1.doc

函数应用题模型分析

[考点概述]
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。
一、求解应用题的一般步骤：
1、审清题意：
认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)
2、建立文字数量关系式：
把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：
将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：
利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：
把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
二、应用题的常见题型及对策
1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型
常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。
解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。
2、与数列有关的问题
常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。
解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。
3、与空间图形有关的问题
常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。
解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。
4、与直线、圆锥曲线有关的题型
常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。
常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。
5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型
常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。
6、与排列、组合有关的问题
运用排列、组合等知识解决
7、与概率、统计有关的应用问题
这里主要谈谈高一函数应用题（必修1第三章）
分段函数模型：
【例】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
(Ⅰ)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(Ⅱ)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；
(Ⅲ)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)

解：(Ⅰ)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为x0个，则

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。
(Ⅱ)当0<x≤100时，P=60
当100<x<550时，
当x≥550时，P=51
所以
(Ⅲ)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

∴当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元
【变式】电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）
（1） 若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？
（2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3） 通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为
（1）当x=120时   =116元 =168元
若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元
（2）
当-=0.3   
方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3 元
(3) 当

由得
综合：通话时间在内方案B较优惠。
对勾函数模型：
【例】(1997年全国高考题)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；
②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。
解：（1）(读题)由主要关系：运输总成本=每小时运输成本×时间
(建模)有
(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数关系式是：
，其中函数的定义域是；
（2）由
由函数
当
，
综上所述，为使全程成本y最小，当时，行驶速度应为v=c。
【变式】某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；
（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
解：（1），…………………………………………5分
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）………………………………………………9分
＝
＝
＝……………………………………………………11分
………………………………………………13分
当且仅当，即x＝27时，y有最小值36450．……………14分
2．⑴因为当时，，所以， ……4分
∴ ………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为，则．即 ……12分
∵
∴，当且仅当，即时，取最大值．
答：当时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分
【变式】某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元
(1) 设半圆的半径OA= (米),试建立塑胶跑道
面积S与的函数关系S()
(2) 由于条件限制,问当取何值时,运动场
造价最低?（精确到元）

解: (1)塑胶 跑道面积

（2） 设运动场造价为

二次函数模型：
【例】某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低成（1成=10%），售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
（1）设该商店一天的营业额为，试求与之间的函数关系式，并写出定义域；
（2）若该商品一天营业额至少10260元，求商品定价应在哪个范围．
解：（1）依题意，若售价降低成，则售价为，销量为，
与之间的函数关系为：；
又售价不能低于成本价，所以．
所以，定义域为．
（2），化简得：
解得．又定义域为，所以的取值范围是．
此时商品定价，即销价在内时，该商品一天营业额至少10260元
【变式】建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。
解：容积=底面积×高= 48 Þ 底面积×3 = 48 Þ 底面另一边长：m =
池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +)a = 6(x +)a
池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a
∴ y = 6(x +)a + 32a ( x > 0 )
【例】（面积问题）有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.
x
2x
解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x
∴ 窗框的高为3x，宽为
即窗框的面积 y = 3x ·= -7x2 + 6x ( 0 < x <)
配方：y = ( 0 < x < 2 )
∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.
利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润×销售量
【例3】．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元. 如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？
解：设每月生产x件产品，则
总收入为80x, 直接生产成本为60x, 其他开支50000元，即知总成本为60x + 50000
∴ 每月利润是：总收入-总成本= 80x - ( 60x + 50000 ) = 20x - 50000
依题意有：20x - 5000≥200000 Þ x≥12500
答：该工厂每月至少要生产12500件产品.
【例】将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？
分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2
（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 -10x个
∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360
即当x = 4时，y有最大值360
∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.
指对数模型问题
与增长率相关的问题：
〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x年
增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x年
【例】一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.
解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)x
【例】 某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.
解：设原来总产值为a, 平均增长率为x，则经过10年的总产值为 a( 1 + x )10
即有：a( 1+ x )10 = 2a Þ 1+ x =
取常用对数：lg( 1 + x ) == 0. 0301 Þ 1 + x = 1. 072 Þ x = 0.072 = 7.2%
∴ 每年比上一年平均增长7.2%.
【例】电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P. 97. 例2）
解：设经过x年可以增长到原来的2倍，则
( 1 + 10.4%)x = 2 Þ xlg1.104 = lg2 Þ
答：大约经过7年.
【例】中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：
存期
1年
2年
3年
5年
年利率（%）
2.25
2.43
2.70
2.88
个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000元，存期3年，试问3年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？
解：∵ 三年后连本带利一共有：5000( 1 + 2.7%)3≈5416.03（元）
∴ 银行利息一共有：5000( 1 + 2.7%)3 - 5000 = 416.03（元）
应纳税：416. 03×20% = 83.21（元），实际取出的金额：5416.03 - 83.21 = 5332.82（元）
【例】光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.
表一： 表二：
品种
每天加工吨数

品种
每吨获利润（元）
酸奶
3
鲜奶
500
奶片
1
酸奶
1200

奶片
2000
光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
解：方案一：四天制成奶片4吨用去牛奶4吨，其余5吨牛奶卖掉
利润为：4×2000 +5×500 = 10500（元）
方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用= x天，制做酸奶共用天，依题意得：
Þ x = 1.5, y = 7.5，即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨
∴ 利润为：1.5×2000 + 7.5×1200 = 12000（元）由上可知：第二种方案获得的利润大.

练习：

1、国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的n如下表所示：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60%
50%<n≤60%
40%<n≤50%
30%<n≤40%
n≤30%
根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元。
（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由。
（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36%，其中食品消费支出总额增加12%，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由。
2、北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（2求出这个最大值．
3、某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）．
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

4、某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．

甲 乙
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?
5、某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
6、如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，
（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积；
(3)若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积。

7、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.高考资源网
（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？高考资源网
（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网

参考答案

1、解：（1）因为2002年底刚达到小康，所以n=50%
且2002年每户家庭消费支出总额为9600元，
故食品消费支出总额为9600×50%=4800元
则，即2007年底能达到富裕
（2）设2002年的消费支出总额为a元，则
从而求得元，
又设其中食品消费支出总额为
从而求得元。
当恩格尔系数为，
解得
则6年后即2008年底起达到富裕。
2、解：（I）依题意…………………3分
∴ ………………………5分
此函数的定义域为 ………………………7分
（Ⅱ） …………………………9分
当，则当时，（元）；…………………………11分
当，因为x∈N*，所以当x＝23或24时，（元）；……13分
综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分
3、解（1）由题意可知当时，（万件）即……………2分
每件产品的销售价格为 ……………………5分
∴2008年的利润
…………………………………8分
（2）
（万元）……12分
答：该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元……14分
4、(1) 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元
由题设
由图知f(1)=,故k1= 又
从而———————————————7分
(2) 设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元

令则
当
答: 当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为万元 —15分
5、（1）由题意可知，当时，，∴即，
∴，每件产品的销售价格为元.
∴2009年的利润
……8分
（2）∵时，.
∴，当且仅当，即时，.………………15分
答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
6、（1）设米，，则
∵
∴
∴ ……2分
∴
∴ ……4分
∴
∴或 ……5分
（2） ……7分

此时 ……10分

（3）∵
令， ……11分
∵
当时，
∴在上递增 ……13分
∴
此时 ……14分
答：（1）或
（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；
（3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，
最小面积为27平方米。 ……15分

7、（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+=88(元) ……………4分
（Ⅱ）（1）当x≤7时
y=360x+10x+236=370x+236 ………5分
（2）当 x>7时
y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1]
= ………7分
∴ ………8分
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元
…………11分
当x≤7时
当且仅当x=7时
f(x)有最小值（元）
当x＞7时
=≥393
当且仅当x=12时取等号
∵393<404
∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分
用心 爱心 专心