人教2011版小学数学四年级数学广角—鸡兔同笼.doc

数学广角—鸡兔同笼
“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题,一方面可以提高学生的逻辑推理能力;另一方面使学生体会列表法和假设法的一般性。
由于“鸡兔同笼”问题的原题数据较大,不便于学生进行探究,所以教材以化繁为简的思想为指导,先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题,让学生探索解决方法。
“阅读材料”中介绍了原来孙子提出的大胆设想。他假设去掉每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,而每只兔也就变成了“双脚兔”。这样,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚由原来的94只,变为47只;而且,此时的鸡就变为“一个头和一只脚”,兔子则是“一个头两只脚”。由此可以知道,只要有一只“双脚兔”,脚的数量就比头的数量多1。所以,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与它们的头的数量之差,就是兔子的只数,即47-35=12(只),鸡的数量就是35-12=23(只)。
日常生活中,“鸡兔同笼”的问题有很多的变式。教材在“做一做”中安排的日本民间流传的“龟鹤算”问题以及租船、植树等实际问题均与“鸡兔同笼”本质相同,通过让学生解决这些相关的问题,一方面让学生进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质,了解其在生活中的广泛应用;另一方面也可以巩固学生解决这类问题的方法。
一、本单元教学内容:
鸡兔同笼问题。
二、重、难点设置:
单元重点:尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,在尝试中提高学生的思维能力。
单元难点:弄清“鸡兔同笼”问题的结构特征和解题策略,经历多样化解题的过程,初步形成解决此类问题的一般性策略。
学情分析
“鸡兔同笼”问题集的趣味性、解题策略的多样性、应用的广泛性于一体,具有训练智能的教育功能和价值,是实施开放式教学的好题材。教材呈现两种基本的解题思路:列表法和假设法。列表法能直观反映数据的变化,学生比较容易接受,但数据较大时比较烦琐,适用性有限;假设法是一种算术方法,计算比较简便,是解决此类问题的一般策略,但算理抽象,理解有一定难度。
调查发现:对于“鸡兔同笼”问题,一部分学生在“奥数”中接触过,但多数学生还缺少独立解决本问题的策略,没有体会到解决问题策略的多样性。所以,教学中,主要采用教师适当讲解与学生自主探究相结合的教学方式,让学生在尝试、探索、交流、比较中,弄清“鸡兔同笼”问题的结构特征和解题策略,经历多样化解题的过程,初步形成解决此类问题的一般性策略。
教学要求
　　1.了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。
2.尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题,并使学生体会假设法的一般性。
3.在解决问题的过程中,提高学生的逻辑思维能力。
教学建议
1.采取直观形象的方式,让学生探讨不同的方法。
2.适当地把握教学要求。
课时安排
鸡兔同笼 1课时
鸡兔同笼
教材第103~105页的内容及第106页练习二十四。

1.了解“鸡兔同笼”问题的结构特点,掌握用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题的方法,初步形成解决此类问题的一般性策略。
2.通过自主探索,合作交流,经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程,建构解决“鸡兔同笼”问题的数学模型。
3.体会解题策略的多样性,渗透“化繁为简、从简单情况入手”的数学思想方法。

重点:经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的策略,体会其中所蕴涵的数学思想方法。
难点:经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程,建构解决“鸡兔同笼”问题的数学模型。

多媒体课件。

一.情境导入
(课件出示教材第103页情景图,了解古代“鸡兔同笼”问题)
师:读情景图,你能读懂情景图中古代的“鸡兔同笼”问题吗?
生:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何”。这是出自大约一千五百年前,我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学题。
师:你明白上面的问题说的什么意思吗?
生:它的意思是说,笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问题是鸡和兔各有几只?
师:你是怎样理解“鸡兔同笼”的?
生:就是鸡和兔在同一个笼子里。
师:今天我们就学习“鸡兔同笼”问题。(板书:数学广角—鸡兔同笼)
【设计意图:从我国古代数学趣题直接导入,让学生感受到我国数学文化历史的悠久与魅力,增强民族自豪感,激发学生探究的欲望】
二.自主探究
师:解答“鸡兔同笼”问题,可以从例1的简单问题入手分析。在简单问题中找到方法和策略,然后运用此方法和策略去解答数量较大的问题,在数学上,这叫“化繁为简、从简单情况入手”。
(课件出示教材第104页例1)
师:读题,你能找出所求问题和已知条件吗?
生1:已知笼子里有若干只鸡和兔,从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。
生2:所求问题是鸡和兔各有几只。
师:“从上面数,有8个头”说明了什么?
生:“从上面数,有8个头”就是说鸡和兔一共有8只。
师:“从下面数,有26只脚”说明了什么?
生:“从下面数,有26只脚”就是说鸡脚和兔脚的和是26只。
师:有了上面这些信息,谁先来猜猜,笼子里可能会有几只鸡,几只兔?
(给予少许时间让学生猜测)
生:鸡和兔可能各有4只。
师:如果鸡和兔各有4只,那么一共就有2×4+4×4=24(只)脚,对吗?
生1:不对,和题意矛盾,不吻合。
生2:可能有3只兔、5只鸡。
师:如果有3只兔、5只鸡,则共有3×4+2×5=22(只)脚,符合题意吗?
生:也不符合题意。
师:看来我们解决数学问题时,不能乱猜,即便猜对,也不是解决问题的方法。当数据较大时,猜的过程就很烦琐。大家有什么好方法吗?
生:可以采取按照猜想的顺序列表进行探究。
1.列表法。
师:好,老师这里有一张表格,请大家来填一填,看看谁能又快又准确地找出答案来,开始。
鸡
8
7
6

兔
0
1

脚的只数
16
18

　　(学生独立完成,小组讨论,全班交流)
生:
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚的只数
16
18
20
22
24
26
28
30
32
　　师:通过列表法,你发现了什么?你找到答案了吗?
(小组讨论,全班交流)
生1:通过列表,发现鸡的只数越少,则兔的只数就越多,脚的只数也就越多;鸡的只数越多,兔的只数就越少,脚的只数也就越少。
生2:当3只鸡、5只兔时,脚的只数和正好是26只,所以笼子里有3只鸡、5只兔。
师:这个方法能帮我们解决鸡兔同笼的问题,我们把这种方法叫做列表法。(板书:列表法)
2.假设法。
师:如果假设笼子中全部是鸡,会出现什么结果?和题中给出的信息比较,发生了哪些变化?
生:假设笼子里都是鸡,则脚有8×2=16(只),这样脚比原来少了26-16=10(只)。
师:为什么会出现这样的结果呢?
生:因为把兔看成鸡,每只兔少看了4-2=2(只)脚,也就是说兔有10÷2=5(只),这样鸡就有8-5=3(只)。
师:想一想,你能把上面的想法写出算式吗?
生:兔的只数是(26-2×8)÷(4-2)=5(只),鸡的只数是8-5=3(只)。
师:如果假设全部是兔,你会解答吗?
(学生尝试独立完成,小组讨论,全班交流)
生:假设全是兔,则脚有8×4=32(只),这样脚比实际多了32-26=6(只),因为把一只兔看成一只鸡,就要多出4-2=2(只)脚,所以鸡一共有6÷2=3(只),这样兔就有8-3=5(只)。
师:你能把上面的想法写出算式吗?
生:鸡的只数是(8×4-26)÷(4-2)=3(只),兔的只数是8-3=5(只)。
3.用假设法解答《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。
师:你会用假设法解答《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题吗?
(学生尝试独立完成,小组讨论,全班交流)
生1:假设全是鸡,则兔的只数是(94-35×2)÷(4-2)=12(只),鸡的只数是35-12=23(只)。
生2:假设全是兔,则鸡的只数是(35×4-94)÷(4-2)=23(只),兔的只数是35-23=12(只)。
师:你能检验你的答案是否正确吗?
生:12×4+23×2=94(条),所以正确。
答:鸡有23只,兔有12只。
三.探究汇报结果
师:通过上面的学习,你有哪些收获?
生1:“鸡兔同笼”问题可以用列表法进行分析,还可以用假设的方法解决。
生2:采用“假设法”时,先假设都是同一种事物(或都是另一种事物),再根据题中给出的条件进行修正、推算。
四.师生总结收获
师:通过本课学习,你有哪些收获?
生1:我知道了“化繁为简、从简单情况入手”的数学思想方法。
生2:用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的策略。

鸡 兔 同 笼
列表法:
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚的只数
16
18
20
22
24
26
28
30
32
　　假设法:
1.假设全是鸡。　　　　　　　　　　　　2.假设全部是兔。
兔:(26-2×8)÷(4-2)=5(只)　 鸡:(8×4-26)÷(4-2)=3(只)
鸡:8-5=3(只)　 兔:8-3=5(只)

1.数学教学要通过知识的学习让学生得到思维锻炼,“鸡兔同笼”问题就属于这类问题。在生活中,“鸡兔同笼”的现象很少碰到,没见过有人把鸡和兔放在一个笼子里,即使放在一个笼子里又有谁会去数它们的脚呢,直接数头不就行了?那么是不是说“鸡兔同笼”是一个完全没有价值的数学问题呢?显然不是,“鸡兔同笼”问题,是让我们在鸡、兔脚数的变化中,寻找不变的规律,并采用有效的手段来解决数学问题。
2.学生是学习的主人,在学习过程中尽可能多地为学生提供探索和交流的空间,鼓励学生自主探索与合作交流。本节课中,主要通过创设现实情境,让学生投入到解决问题的实践活动中去,自己去研究、探索、经历数学学习的全过程,从而体会到假设的数学思想的应用与解决数学问题的关系。
3.由于学生原有的认知背景不同,他们对解答此类问题时存在较大的差异。在教学的过程中,不能提出统一要求,要允许不同的学生采用不同的解题方法。在本节,师生共同经历了列表法、假设法等,最后比较哪种算法比较好。这样教学既提高了学生探究能力和小组合作能力,又体现了算法多样化,也让不同的学生在同一节课中都有不同程度的提高。

A类
1.鸡兔同笼,头共20个,脚共62只,鸡与兔各有多少只?
2.在一个停车场里,现有机动车41辆,汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,这些车共有127个轮子,那么三轮摩托车有多少辆?
(考查知识点:“鸡兔同笼”;能力要求:会运用“假设法”解决生活中的简单问题)
B类
1.工人运青瓷花瓶250个,规定完整运到目的地一个给运费20元,损坏一个倒赔100元。运完这批花瓶后,工人共得4400元,则损坏了多少个?
2.彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?
(考查知识点:“鸡兔同笼”;能力要求:会正确计算与“鸡兔同笼”问题相类似的实际问题)

课堂作业新设计
A类:
1.兔:(62-20×2)÷(4-2)=11(只)　鸡:20-11=9(只)
2.汽车有(127-41×3)÷(4-3)=4(辆)　三轮摩托车有41-4=37(辆)
B类:
1.本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120(元),即损坏1个花瓶不但得不到20元的运费,而且要赔偿100元。本题可假设250个花瓶都完好,这样可得运费20×250=5000(元)。这样比实际多得5000-4400=600(元)。就是因为有损坏的瓶子,损坏1个花瓶相差120元.现共相差600元,从而求出共损坏多少个花瓶。根据以上分析,可得损坏了600÷120=5(个)。
2.假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16=304(元),比实际多304-280=24(元),现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19-11=8(元),所以,买普通文化用品24÷8=3(套),买彩色文化用品16-3=13(套)。
教材习题
教材第106页练习二十四
1.大钢珠:14颗　小钢珠:16颗　2.大船:3条　小船:5条
3. 3个　4.一等奖:20个　二等奖:40个　5.(1)7题　(2)4题　(3)7题
6.篮球:3个　排球:3个
　　思考题　大和尚:25人　　小和尚:75人