北京市石景山区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文科）

考生须知
1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．
2. 本试卷共6页．各题答案均答在答题卡上．

题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数，则复数的模为（　　）
A．
B．
C．
D． +
3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），
则此几何体的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．
4.在一盒子里装有号球个（，，），现从盒子
中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码
之积为的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“，”的否定是：“，”
C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题
D．已知，则“”是“”的充分不必要条件

6．已知函数的图象如图所示，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知为坐标原点，点与点关于轴对称，，则满足不等式
的点的集合用阴影表示为（ ）

8．已知，（、，且对任意、都有：
①；②．
给出以下三个结论：（1）；（2）；（3）．
其中正确的个数为（　　）
A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．已知，，则＝ ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果
输入，则输出的结果为 ，
如果输入，则输出的结果为 ．

11．已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．
12．已知△的三边长分别为，， ，则的值为________．
O
40
45
50
55
60
体重(kg)
频率
组距
m
0.06
0.02
13．从某校随机抽取了名学生，将他们的体重（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知= ，所抽取的学生中体重在的人数是 ．

14．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ， 的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）在中，若，，求的值．

16．（本小题满分13分）
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．

17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若是线段上一动点，试确定
点位置，使平面，
并证明你的结论．

18．（本小题满分13分）
已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．
求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

19．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值；
（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

20．（本小题满分13分）
如图，，，，
是曲线上的个点，点在轴的正半轴上， 是正三角形(是坐标原点) .
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式.

y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案

，
，

，
，
注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
． ……………4分
（Ⅱ）

． ……………6分
， ．
当时，即时，的最大值为． …………8分
（Ⅲ），
若是三角形的内角，则，
∴．
令，得，
∴或，
解得或． ……………10分
由已知，是△的内角，且，
∴，，
∴． ……………11分
又由正弦定理，得． ……………13分

16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）． ……………3分
（Ⅱ） ， ①
， （n≥2 ） ② ……………5分
①—②即得 ， ……………6分
因为， 所以（n∈）…………8分
（Ⅲ）
，
．
两式相减得，

所以 ． ……………13分

17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明： 分别是的中点，

，
． ……………………4分
（Ⅱ）证明：四边形为正方形，
．
，
．
， ，
．
，
． ……………………8分
（Ⅲ）解：是的中点时，证明如下： ……………………9分
取中点，连结，．

又
，
，
……………………14分

18．（本小题满分13分）
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则
解得
∴ 椭圆C的标准方程为 ． ………………… 4分
（Ⅱ）由方程组 消去，得
． ………………… 6分
由题意△，
整理得： ① ………………7分
设，则
， ． ………………… 8分
由已知，， 且椭圆的右顶点为，
∴　．　　 　　………………… 10分
即 ，
也即 ，
整理得．
解得 或 ，均满足① ……………………… 11分
当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；
当时，直线的方程为 ，过定点，
故直线过定点，且定点的坐标为． ……………………… 13分

19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ∵，
∴且． ……………………… 1分
又∵，
∴． ……………………… 3分
∴在点处的切线方程为：，
即． ……………………… 4分
（Ⅱ）的定义域为，，……………………… 5分
令得．
当时，，是增函数；
当时，，是减函数； …………………… 7分
∴在处取得极大值，即．……… 8分
（Ⅲ）（i）当，即时，
由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，
∴当时，取得最大值，即．
又当时，，当时，，
当时，，
所以，的图像与的图像在上有公共点，
等价于，解得，
又因为，所以． ……………… 11分

（ii）当，即时，在上是增函数，
∴在上的最大值为，
∴原问题等价于，解得，
又∵ ∴无解
综上，的取值范围是． ……………… 14分

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）. …………………………… 6分
y
x
O
A0
P1
P2
P3
A1
A2
A3
（Ⅱ）依题意，则
，
在正三角形中，有
.
.
， ………………………… 8分
①，
同理可得 ②.
②-①并变形得

，
.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列. ………… 10分
， ，
. …………… 13分

注：若有其它解法，请酌情给分．

高三数学（文科）试卷第13页（共13页）