北京市朝阳区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（文科） 2011.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集，，，则=
（A） （B） （C） （D）
2．已知圆的方程为，那么下列直线中经过圆心的直线方程为
（A） （B）
（C） （D）
3．设等差数列的前项和为，，则等于
（A）10 （B）12 （C）15 (D) 30

4．若，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）
5．要得到函数的图象，只要将函数的图象
（A）向左平移单位 （B）向右平移单位
（C）向右平移单位 （D）向左平移单位
6．关于直线，及平面，，下列命题中正确的是
（A）若，，则；
（B）若，，则；
（C）若，，则；
（D）若，，则．

7．设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A） （B） （C） （D）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F

8．如图，正方体中，，
分别为棱，的中点，在平面
内且与平面平行的直线
（A）有无数条 （B）有2条
（C）有1条 （D）不存在

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．
9．已知，，则
10．经过点且与直线垂直的直线方程为 ．

正视图
侧视图
俯视图
11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图
都是边长为2的正三角形，俯视图半径为1的圆，则这个
几何体的体积为 .
12. 设，满足约束条件 则的最
大值为 .

13．平面向量与的夹角为，，，则= .

14．按下列程序框图运算：
输入
结束
开始
输出

是
否

若，则运算进行 次才停止；若运算进行次才停止，则的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值．

16．（本小题满分13分）
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

17．（本小题满分13分）
已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.

18．（本小题满分13分）
已知点，，若动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围.

19．（本小题满分14分）
已知函数（为实数，，）．
（Ⅰ）当函数的图像过点，且方程有且只有一个根，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若 当，，，且函数为偶函数时，试判断能否大于？

20．（本小题满分14分）
已知点（）满足，，且点的坐标为.
(Ⅰ)求经过点，的直线的方程；
(Ⅱ) 已知点（）在，两点确定的直线上，求证：数列是等差数列.
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有，能使不等式
成立的最大实数的值.
北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（文科）参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
D
C
C
A
A
二．填空题：
题号
9
10
11
12
13
14
答案

2

4，
三．解答题：
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为， ………… 4分
所以，故的最小正周期为. 　　 …………………… 7分
（Ⅱ）因为 ， 所以． ……………………9分
所以当，即时，有最大值. ………………11分
当，即时，有最小值． ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为三棱柱中，底面
又因为平面， 所以. ………………………………… 1分
因为，是中点，
所以. 　　　 …………………………………………………… 2分
因为， ……………………………………………………… 3分
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
G
所以平面． ……………………………………………………… 4分
（Ⅱ）证明：取的中点，连结，，
因为，分别是棱，中点，
所以，.
又因为，，
所以，.
所以四边形是平行四边形. ………………………………………… 6分
所以. ……………………………………………………………　7分
因为平面，平面， 　…………………………… 8分
所以平面． ……………………………………………………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面. …………………………………………… 10分
所以.　 ………………………… 13分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由的图象经过，知，　 ……………………………1分
所以.
所以. 　…………………………………………………3分
由在处的切线方程是，
知，即，. ………………………5分
所以 即 解得. …………… 6分
故所求的解析式是. ………………………………7分
（Ⅱ）因为， …………………………………………………8分
令，即，
解得 ，. 　 ……………………………………………10分
当或时，， …………………………………11分
当时，， …………………………………………12分
故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 　　…………………………………………………13分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设动点，
则，，. …………………2分
由已知得，
化简得，得.
所以点的轨迹是椭圆，的方程为. ………………………6分
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率必存在，
不妨设过的直线的方程为，
设，两点的坐标分别为，.
由消去得. ………………8分
因为在椭圆内，所以.
所以 ………………………………………………………10分
因为

， …………12分
所以. 解得.
所以或. …………………………………………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，所以. ……………………………………1分
因为方程有且只有一个根，所以.
所以. 即，. …………………………………3分
所以. ……………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为
=． ………………… 6分
所以当 或时，
即或时，是单调函数． …………………………………… 9分
（Ⅲ）为偶函数，所以.　所以.
所以　 ………………………………………………10分
因为，不妨设，则.
又因为，所以.
所以. …………………………………………………………………12分
此时.
所以． …………………………………………… 14分
20．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)因为，所以. 所以. ……… 1分
所以过点，的直线的方程为. ………………………… 2分
(Ⅱ)因为在直线上，所以. 所以. …… 3分
由，得. 即.
所以. 所以是公差为2的等差数列. ………………… 5分
（Ⅲ）由(Ⅱ)得.
所以.
所以. …………………………………………………………… 7分
所以. ……………………………………………… 8分
依题意恒成立.
设，
所以只需求满足的的最小值. ………………………………… 10分
因为
==，
所以（）为增函数. ……………………………………… 12分
所以.
所以. 所以. ……………………………………… 14分

9