珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题.doc

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珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题
时量：120分钟 满分：150分

注意: 1.本次考试允许使用各型计算器.
2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.
一、 填空题(每题7分,共56分)：
1．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n(n∈N,n≥5)=______________。
2．已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列，则cosB的范围是______________。
3． 已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是______________。
4．函数f(x)= 请给出它的单调递增区间:______________ 。
5．已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为
（-1，1）。请给出一个这样的函数：______________。
6．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为______________。
7．已知四面体ABCD的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为________。
8．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。

二、解答题(每题20分,共80分)：
9．设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数，且， n∈N,n≥5.求证：。

10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.

11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。现将B液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种液体5秒左右能够均匀互溶）。请问从注入B溶液起多长时间A、B两种溶液浓度最为接近？

12．若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的不同两点，求a的范围。

三、论述题(每题7分,共14分)：
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13．请问《普通高中数学课程标准（实验）》对数学的意义赋予了什么新的内容？

14．请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会.

珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题及参考答案
时量：120分钟 满分：150分
本次考试允许使用各型计算器
试题若条件不够可自行补充,若条件有误可自行修改,不必要的修改为错解.
二、 填空题(每题7分,共56分)：
1．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n=_2（n-1）2n+2__。
2．已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列，则cosB的范围是__[1/2，1）_。
（利用三角形两边之和大于第三边，2b=a+c，确定a与c的关系，由余弦定理，得到一个函数，最后求出它的值域）
3． 已知x2+xy+y2=3，则x2+y2的范围是_[2，6]_。（用三角换元法）
4．它的递增区间是（-∞，+∞）。(可以估计,参考|x|+3x的单调性)
5．已知函数f（x）满足以下条件：在定义域R上连续，图象关于原点对称，值域为
（-1，1）。请给出一个这样的函数：。
（或满足条件的其它函数）
6．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为_4：1_。（利用平行四边形及三角形面积公式转换。也可构造正三角形得到这个比例值）
7．已知四面体ABCD的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为。
(可以想象成一个正三角形沿一条边折起,找到外接球心位置后,设出半径,列方程求解)
8．从1到10的10个整数中，任选三个使它们的和能被3整除，则不同的选法有42种。
（将10个数按除以3的余数分为三类，三个数的分布只有（1，1，1）和（3，0，0）（0，3，0）（0，0，3）四种情况，因此共有4×3×3+4+1+1=42种）
二、解答题(每题20分,共80分)：
9．设是x1,x2,x3,…,xn是非负实数，且，求证：。
证明：设xm、xn是非负实数，且它们的和小于1/2，由，
易得
由已知，，所以成立。
本题考查证不等式的一般能力，如能提出构想：将n项乘积转化为n-1项的乘积，则思路就容易产生。估计的思想也很重要，即转化出的中间量应在左边与右边之间，比1/2大。本题也可采用数学归纳法证明，原理是一样的。从简单的情况入手，如n=2时的证明能否推广到n=3以上等，也是一个重要方法。
10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.
本题考查运用概率和数列知识解决生活中的问题的能力.涉及到相互独立事件的概率计算公式,数列递推公式的推导,等比数列求和等问题.
解:P0=1(把开始的站也看作是”跳到”的站), P1=1/2.
棋子跳到第2站有两条路线:路线一,直接从第0站跳两步到第2站;路线二,从第0站跳到第1站,再从第1站跳到第2站.所以P2=1/2+(1/2)2=3/4.
棋子跳到第n站(2≤n≤20)的情况有两种:第一种,棋子先跳到第n-2站,又掷出反面,其概率为Pn-2/2;第二种, 棋子先跳到第n-1站,又掷出正面,其概率为Pn-1/2.
根据分类计数原理得: Pn =Pn-1/2+ Pn-2/2,所以Pn –Pn-1 =-(Pn-1 –Pn-2)/2,
{ Pn –Pn-1}构成首项为-1/2,公比为-1/2的等比数列.
所以P1–P0=-1/2, P2–P1=(-1/2)2, P3–P2=(-1/2)3,…P19–P18=(-1/2)19.
将以上各式相加得: P19–P0=-1/2+(-1/2)2…+(-1/2)19
所以P19=.
11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。现将B液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种液体能够迅速互溶）。请问从注入B溶液起隔多长时间时A、B两种溶液浓度最接近？
解：假设两种液体混合后，其体积为混合前的体积之和。两种液体的比重相同。
设第n个10秒末，A溶液的体积为an，B溶液的体积为bn，则an+bn=4，
且an=an-1-an-1×0.1/4= an-1×3.9/4，a1=3.9，n≥2，n∈N*。
所以：an=3.9×(39/40)n-1.
容器不变，A、B两种溶液浓度最接近时，等价于它们的体积最接近，即当|an/4-bn/4|=|an-2|/2,当an与2最接近时，两种溶液浓度最接近。
经过计算可知，当n=27时，即从注入B溶液起隔大约260秒至270秒之间两种溶液浓度最接近。
12．若抛物线y=ax2-2上总存在关于直线x+y+1=0对称的两点，求a的范围。
解:过程略,a∈（3/4，+∞）.
三、论述题(每题7分,共14分)：
13．请问《普通高中数学课程标准（实验）》对数学的意义赋予了什么新的内容？
答案略.参照标准给分.从基础性、工具性、应用性和人文价值四方面回答，要点基本答对的给满分,少一条则减一分.
14．请谈谈你在转化数学后进生方面的经验和体会。
认识很深刻,有操作性,可供参考的经验的,给满分,只有理念,没有实际体会
的酌情扣分.

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