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第六讲 薄壁杆件的约束扭转
第一节 基本假定
薄壁杆件的自由扭转是指杆件受扭时，截面的纵向翘曲位移不受约束，因而纵向翘曲应变和相应的正应力都不存在。当截面的纵向翘曲位移受到约束时，便产生约束正应力和相应的附加剪应力，这便是约束扭转。约束扭转的分析，可以从确定截面上纵向翘曲位移着手，进而利用弹性理论的几何方程确定纵向翘曲应变；利用物理方程确定翘曲正应力；最后利用微单元的平衡方程确定相应的翘曲剪应力。
薄壁杆件的约束扭转分析中，除沿用前两章的若干基本假定（包括平面假定、线性假定、小变形假定和周边投影不变形假定）外，补充的基本假定有：
1、约束扭转产生的正应力和剪应力沿壁厚均匀分布（参见图5-7），并且杆件纵向纤维不存在正应力。
据此假定，由图3-2所示薄壁单元体在轴方向的平衡条件，可得到截面正应力和剪应力间的微分关系，即式（3-19）
（6-1）（3-19）
2、在约束扭转分析中，杆件纵向翘曲位移采用自由扭转时的表达式。
根据弹性理论，参照图6-1，薄壁单元体的剪切应变为：
（6-2）

图6-1

由周边投影不变形假定有：。这里，为扭转角，为扭转中心到点切线的垂直距离（见图3-4），于是式（6-2）可写为：

那么，纵向翘曲位移的一般表达式便可由此积分求得，即
（6-3）
式中为=0处的翘曲位移值。

参照第三讲剪力中心推导中关于扇性坐标的定义有：
（6-4）（3-30-1）
式中为自积分起点至扇性零点（=0，到点所包围的扇性面积的2倍。
于是，纵向翘曲位移的一般表达式（6-3）可写为：
（6-5）
对于开口薄壁杆件，其在中面上的自由扭转剪应变，代入上式便得截面的纵向翘曲位移表达式
（6-6）
对于闭口薄壁杆件，其在中面上的自由扭转剪应变，根据虎克定律，分别按单室或多室闭口截面确定剪应力剪应变。
对于单室截面，剪应力由式（5-38）给出，于是，剪应变可写成：
（6-7）
式中自由扭转矩
（6-8）
将式（6-7），式（6-8）代入式（6-3），化简后便可得：
（6-9-1）
或 （6-9-2）
其中：
（6-10）
称为广义扇性坐标，它表示产生单位扭转角（时的纵向翘曲位移，因此，常称为单位翘曲。显然，其中第二项则为计及中面自由扭转变形影响的修正项，此即与开口截面（）的差别所在。
对于多室截面，在剪切变形表达式中，引入相应的剪力流，即将以下各式：

代入中得到多室截面自由扭转变形剪应变：
＝
对于截面周界壁和交界壁则分别为：
截面周界壁上： （6-11-1）
截面交界壁上： （6-11-2）
将式（6-11）代入式（6-3）后积分，得到多室截面翘曲位移表达式如下：
周界壁：
交界壁：
或统一写成：
（6-12）
式中：
周边 （6-13-2）
交界 （6-13-2）
上式展开并引入扇性坐标后，改写为：
周界壁 （6-14）
交界壁
称为闭口截面的广义扇性坐标，当以扭转中心为极点，以主扇性零点（）为积分起点（=0）时，则称为主广义扇性坐标。
上述推导中均引用了自由扭转的剪切特性。为计及约束扭转引起的翘曲剪应力的影响，苏联学者YMANCKИЙ建议以一待定函数来代替扭转角，即将式（6-12）写成：
（6-15）
这便是闭口截面约束扭转翘曲位移的表达式，它具有与开口截面翘曲位移式（6-6）相似的形式。
由于式（6-5）为纵向翘曲位移的一般表达式，其中剪应变沿用了自由扭转的有关公
式，对于开口截面，式（6-6）中显然忽略了沿壁厚均匀分布的约束扭转剪应力产生的剪应变；对于闭口截面，式（6-15）也只是近似地计及了约束扭转剪应力的影响。故本书将纵向翘曲位移表达式（6-6），式（6-15）视为约束扭转分析的一种基本假定。
第二节 开口薄壁杆件的约束扭转
本节将按上节指明的约束扭转分析步骤讨论开口薄壁杆件的约束扭转问题。
一、纵向翘曲位移
如上节所述，开口薄壁截面的纵向翘曲位移

这里，为以扭转中心为极点，任选曲线坐标起算点的扇性坐标，其中为待定的积分函数，它表示起算点处的纵向翘曲位移。
二、约束扭转的正应力
引用弹性理论的几何方程，可直接写出纵向翘曲应变为：

根据物理方程——虎克定律及杆件纵向纤维间不存在正应力的基本假定，可得出约束扭转正应力为：
＝ （6-16）
式中待定函数可由静力学方程来确定，注意到截面内力中除外，其余内力，因此，约束扭转正应力在截面上是自相平衡的，即其合力为零。
（6-17）
注意到,将式（6-16）代入式（6-17）后得到待定积分函数
（6-18）
将式（6-18）代回式（6-16）有：
（6-19）
适当地选择曲线坐标起算点（=0），使积分

式（6-19）中，。相应的起算点称为主扇性零点，当满足条件式（6-19）有几
个点时，则以距扭转中心最近的扇性零点为主扇性零点。基于主扇性零点的坐标称为主扇性坐标，利用这一特点，当主扇性零点易于判断确定时，将简化主扇性坐标地计算，详见第五节算例。
对于主扇性坐标，由式（6-18）得到：
或 =常数
其物理意义为：主扇性零点处的纵向翘曲位移为沿杆轴向为常数。即主扇性零点处无翘曲应变，翘曲正应力为零。
于是，用主扇性坐标表达翘曲位移时，时（6-19）可简化为：
（6-20）
即翘曲正应力按主扇性坐标（）的规律分布。
三、约束扭转剪应力
利用式（6-1）表示扭转正应力与剪力流的关系式
（6-21）
将式（6-20）表示的约束正应力代入上式移项后积分，可得开口薄壁截面约束扭转剪力流：

或 （6-22）
其中： （6-23）
称为扇性静矩。
显然，式（6-22）中积分常数为积分零点处的剪力流。对于开口薄壁截面，当积分零点选在开口处的自由边缘时，则约束扭转剪力流的最后表达式（6-22）可简化为：
（6-24）
而约束扭转剪应力为：
（6-25）
观察上述各式可知，开口薄壁杆件约束扭转正应力和剪应力的计算涉及到扭转变形和，因此，需先求出杆件的约束扭转变形（在下一讲讨论），再根据截面的扭转中心和主扇性零点，计算主扇性坐标和扇性近矩，最后利用式（6-20）及式（6-25）求算开口薄壁截面约束扭转的正应力和剪应力。
四、约束扭转双力矩和约束扭转力矩
在前二章关于弯曲和自由扭转分析中，弯曲正应力，弯曲剪应力，自由扭转剪应力等都采用截面内力以及截面几何特性来表示，而本章约束扭转正应力和剪应力则没有以相应的截面内力表示。为取得更为直观的物理概念，将约束扭转正应力和剪应力与截面内力和几何特性相联系，因此式（6-20）和式（6-25）表示的约束扭转正应力和剪应力合成为截面内力。

令 （6-26）
则：
（6-27）
注：式中由于为主扇性坐标，因此，。
其中： （6-28）
称为截面的主扇性惯矩。为约束扭转剪应力合成的力矩。故称为约束扭转力矩。则称为约束扭转双力矩，它是正应力以扇性坐标为“力臂”合成的广义力矩。在如图6-2a所示的工字型截面中，表现为大小相等方向相反，分别作用在两翼缘板内的一对力偶，故形象的称之为双力矩。从图6-2b）也可看到对应于这样的双力矩，截面变形呈“翘曲”状态，故这种约束扭转正应力和剪应力又称为翘曲正应力和翘曲剪应力。

a)图

b)翘曲变形

图6-2

显然，由式（6-26）、（6-27）可见，约束扭转双力矩和约束扭转力矩之间有下列微分关系：
（6-29）
将式（6-26）表示的及式（6-27）表示的代回式（6-20）及式（6-25），可得到用截面内力和几何特性表示的约束扭转正应力及剪应力计算公式如下：
（6-30）
五、约束扭转与梁平面弯曲的比较
分析式（6-26）、（6-27）、（6-29）及式（6-30）可见，约束扭转的基本方程与梁的平面弯曲基本方程具有相似的数学表达式。为便于记忆。现将二者综合比较列于表6-1。

梁的平面弯曲与开口截面约束扭转比较 表6-1
内容
平面弯曲（平面）
约束扭转
位移
挠度
转角
扭转角
单位扭转角
截面几
何特性
静矩
惯矩
扇性静矩
扇性惯矩
内力
弯矩
剪力
分布荷载

扭转双力矩
扭转力矩
分布扭矩

应力
正应力
剪应力
正应力
剪应力
微分方程

第三节 闭口薄壁杆件的约束扭转
一、纵向翘曲位移
闭口截面约束扭转的纵向翘曲位移采用式（6-15），它具有与开口截面相似的形式，以代替，以待定函数代替扭转角，即有：
（6-31）（6-15）
二、单室闭口截面的约束扭转正应力
由于闭口截面的纵向翘曲位移具有与开口截面完全相似的形式，故其约束扭转正应力可对比开口截面直接写出，不再推导。
（6-32）（6-20）
而 （6-33）（6-19）
如果用约束扭转双力矩表示，则有：
（6-34）（6-26）
（6-35）（6-30）
（6-36）（6-28）
其中可用与图图乘计算得出。

三、单室闭口截面的约束扭转剪应力
约束扭转剪应力同样可对比开口截面的扭转剪应力公式（6-22）及式（6-23）直接写出。
（6-37）
其中： （6-38）
闭口截面没有自由边缘，值不能直接定出，参照第三讲第五节闭口截面弯曲剪应力的做法，将闭口截面“切开”使其成为开口截面，在切口处加上赘余力，若曲线坐标积分起点取在切口处，则式（6-37）中即为切口处的赘余力，而即为相应的开口截面剪力流。
仍根据切口处的变形连续条件求解，即
（6-39）
将式（6-37）代入，移项得：
（6-40）
将式（6-40）代回式（6-37）得：
（6-41）
其中： ＝－ （6-42）
称为广义扇性近矩。于是，得到闭口截面的约束扭转剪力流
（6-43）
和开口截面类似，引入约束扭转力矩，则有：
（6-44）（6-27）
（6-45）（6-28）
（6-46）（6-30）
四、多室闭口截面的约束扭转剪应力
对于多室截面，仿照第三讲第五节将各室“切开”，确定各室赘余剪力流，与各室安开口截面解得的约束扭转剪力流叠加，即参照式（2-41）不难求出多室闭口截面约束扭转的总剪力流。即
（周边） （6-47-1）
（交界） （6-47-2）
其中仍由各室切口处的变形连续条件给出的线形方程组求解。即

由式（6-47），并根据虎克定律及剪力流的定式（2-3），便有：

代入前式，并注意到在截面上=常数（与的坐标无关），得到线性方程
（6-48）
式中开口截面约束扭转剪力流可仿照（6-30）写成
（6-49）
代入式（6-48）并移项后得到：
（6-50）
用式（6-50）除以，并令：
； （6-51）
于是，式（6-50）转化为：
（6-52）（3-41）
对于室闭口截面，此式提供了求解的线形方程组，而未知数则表示当时，各室的约束扭赘余剪力流。显然，当基本体系（开口截面）对于主扇性坐标的静矩为已知时，即可根据（6-52）求解。
将式（6-51）及式（6-49）代入（6-47）便有：
（6-53）
其中： （周边） （6-54-1）
（交界） （6-54-2）
称为多室截面的广义扇性静矩，它表示截面约束扭转翘曲剪力流的分布规律，故又称为约束扭转翘曲剪力流的分布函数。
至于多室截面的主扇性惯矩，则由单室截面的定义式（6-45）不难写出
（6-55）
可应用图进行图乘计算，式中表示截面的壁段。
第四节 薄壁截面的扇性特性
上两节分析表明，无论开口或闭口截面，约束扭转的分析都归结为与弯曲分析相类似的的形式，但具体求解则繁复的多。首先是相应于挠度的扭转角系约束扭转和自由扭转的综合效应，因而还不能按表6-1给出的扭转角微分方程单独求解。此外。截面扇性几何特性的计算也远较弯曲分析中几何特性的计算复杂得多，为此，将开口和单室闭口截面的扇性几何特性的一般公式归纳于表6-2。

项目
开口截面
单室闭口截面
多室闭口截面
扇性
坐标

主扇
性
坐标

(1)以扭转中心S为极点
(2)

(1)以扭转中心S为极点
(2)

条件同左.
扇性静矩

零点取在开口边缘

扇性零点取在切口处

扇性零点取在切口处
扇性
惯矩

第五节 算 例
[例6-1] 如图2-6a）、b）所示单箱双室截面和工字型截面，试分别计算其主扇性坐标，，主扇性静矩，主扇性惯矩。截面尺寸如图所示。
【解】首先将开口截面和闭口截面约束的计算公式对比如下，以便确定计算步骤。

项目
开口截面
闭口截面
双力矩

其中：

其中：
约束扭转力矩

约束扭转正应力

其中：

其中：
约束扭转剪应力

其中：

其中：

由上述各式可知，薄壁杆件约束扭转计算的步骤是：
1、计算截面形心及形心主轴；
2、以形心为极点，任选扇性零点；
3、计算截面对形心主轴的惯矩；
4、计算截面扭转中心的坐标（）及主扇性零点；
5、计算截面主扇性坐标或；
6、求主扇性惯矩及极惯矩（下一讲讨论）；
7、求扭转微分方程，求扭转变形；
8、求及（或及）；
9、计算翘曲应力及（或及）；
一、确定截面坐标
由扭转中心的计算公式（3-28）、（3-31）、（3-45）及式（3-51）不难得知，无论开口和闭口截面，截面的对称中心即为剪力中心（扭转中心）。
又由式（6-19）可以推知，对称轴与截面中线的交点均为扇性零点，而扭转中心最近的扇性零点为主扇性零点。
应用这些结论可以省去许多繁冗的计算。
本例因中腹板通过对称中心，故扇性零点均与对称中心重合。
二、工字型截面
1、主扇性坐标
由式（6-4）及式（6-19）

式中系扭转中心为极点，主扇性零点（）为积分起点（=0），曲线坐标以绕扭转中心逆时针为正，对于工字型截面（见图6-3），据上述分析，应以为起始矢径进行计算，故由图（6-3a）有：

(0)

-1.5

1.5

1.5

-1.5

-0.075

-0.075

a)构造图

a)图

a)图

两层钢筋网

两层钢筋网

1.5

1.5

1.0

1.0

图6-3

段：；
段：=1.5×1.0=1.5（m2）
段：=1.5×（-1.0）=-1.5（m2）
利用截面的对称性（呈反对称），做图如图（6-3b）所示。
2、主扇性静矩
以开口截面自由边（图6-3中的或）为积分起点（满足=0），曲线坐标以绕扭转中心逆时针转为正。

由图（6-3b）可知，为的线形函数，即
=-1.5（1.0－） （a）
务必指出，在求图时采用的积分起点（=0）和这里求可以不一致，但当将式（a）代入（6-23）具体计算时，就应将已有的与取相同的积分起点建立方程，如上式所示。
已知翼缘壁厚=0.1m，于是将（a）代入（6-23）得：

即 （b）
则各特征点的为：
点：
点： （c）
点：
利用对称性，作出图如图（6-3c）所示。
主扇性惯矩对图（见图6-3b）应用图乘法得到：

三、单箱双室截面
单箱双室截面的扭转中心、主扇性零点均位于对称中心。
1、主广义扇性坐标
由式（6-14）知广义扇性坐标为：
（d）
其中相应的开口截面扇性坐标如式（6-4）
（e）
由于上二式计算均取主扇性零点为积分起点，故式（d）、式（e）即为相应的主扇性坐标及。
现已知道=0.1m，由第三章例[3-1]已求得，故对于截面周边由式（6-13）有：
（f）
即
对于交界腹板，因其通过扭转中心，且，故
（g）
于是，根据式（e），取点为切点，并以该点为各点曲线坐标的起算点（见图6-4b），计算如下：

（注意到之为零）

按式（f）计算，如图（6-4c）所示。
左点 －1.2=0 （）
点 －1.2=－1.20（m2）
点 －1.2=－4.80（m2）

点 －1.2=－7.20（m2）
点 －1.2=－10.80（m2）
右点 －1.2=－12.00（m2）
将图（6-4b）叠加，即得到主广义扇性坐标图，容易看出，沿周边s呈线形分布，其各特征点的坐标（如图6-4d）所示为：

2、广义扇性惯矩
根据式（6-3b）及图，不难计算广义扇性惯矩
（h）
于是根据图（图6-5d）应用图乘法有：

3、相应的开口截面静矩
将截面在某一位置（图6-4e）切开，使其成为开口（静定）截面，其相应的静矩
（k）
现=0。10m，由于图为的线形函数，故知为的二次函数。取切口处为积分起点=0，计算的特征点值如下：
点
点
点
点
点
由图不难推知，应呈正对称，应用二者的微分关系，便可确定图的凹凸性，得出图如图（6-4e）所示
4、广义扇性静矩
根据式（6-54）广义扇性静矩

其中需求解线性方程组（6-52）确定，即

（）

1.0
1.0

纵向预应力筋

纵向预应力筋

1.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

1.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-7.2

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-4.8

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-1.2

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-10.8

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-12.0

纵向预应力筋

纵向预应力筋

10.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

12.0

纵向预应力筋

纵向预应力筋

两层钢筋网

两层钢筋网

7.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

4.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

1.5

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.3

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.3

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.3

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.3

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.015

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.015

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.015

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.015

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.0375

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.0375

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.005

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.005

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.005

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.005

纵向预应力筋

纵向预应力筋

-0.02

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.0175

纵向预应力筋

纵向预应力筋

0.0175

纵向预应力筋

纵向预应力筋

a)构造图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

b)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

c)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

d)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

e)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

f)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

g)图

纵向预应力筋

纵向预应力筋

图6-4

纵向预应力筋

纵向预应力筋

现=0.10m，=1，2，则上式可写为：
（1）
式中系数

常数项由（见图6-4e）对积分得到，即
将系数及常数代入式（l），

解方程组的：
据此作出图如图（6-4f）所示。
根据式（6-54）将图与图叠加，得到如图（6-4g）所示的主惯性静矩图。
第六节 小 结
1、薄壁杆件受扭时，截面的纵向翘屈位移受到约束，则称为约束扭转。约束扭转正应力合成约束扭转双力偶，而对应于约束扭转正应力的约束扭转剪应力，则合成约束扭转力矩，对于开口截面
约束扭转双力矩
约束扭转力矩
2、约束扭转分析中，采用自由扭转分析得出的翘曲位移表达式，对于闭口截面，由于自由扭转剪应力沿壁厚均匀分布，中面剪应变不为零，扇性坐标采用修正公式（6-10）、式（6-14），当计及约束扭转的剪应变的影响时，翘曲位移采用式（6-15），其中为待定函数。
3、根据翘曲位移模式，引用几何方程求得正应变，又根据虎克定律求得相应的约束扭转正应力，由薄壁微分单元的静力学平衡条件求出相应的附加剪应力。当以约束扭转双力矩和约束扭转力矩表示时，便有：
约束扭转正应力： 开口 闭口
约束扭转剪应力： 开口 闭口
4、约束扭转力矩和双力矩与约束扭转变形（或）间的基本微分方程为：
开口 闭口
开口 闭口
比较上述各式与梁平面弯曲的基本方程有表6-1的对应关系。
5、约束扭转分析中采用了截面扇性几何特性，有关计算公式见表6-2
6、无论开口或闭口截面，其剪切中心位于截面的对称轴上，扇性零点在对称轴与截面中线的交点上。
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信用社营业部经理季度个人总结

　　 一季度，在联社领导的正确领导下，我按照山西省农村信用社营业经理的相关办法，认真学习政治业务知识和金融法律法规，严格履行岗位职责和行使管理与监督职能，以贯彻落实上级的各项工作为目标，抓落实，规范财务核算，努力实现全社财务状况的根本好转，同时并积极做好了各项报表与任务完成情况的上报等工作，较好地完成了各项工作任务。现就本季度主要工作述职如下：
　　一、主要工作完成指标
　　（一）业务指标完成情况
　　截至20XX年月31日，我社各项存款余额**万元，
　　（二）2、管理指标完成情况
　　本季度我社严格按照上级联社和我社制定的全年工作要点展开工作，确保了各项业务稳健运行，员工素质进一步提高，营造了良好的内外部环境，为各项目标的顺利实现奠定了良好的基础。
　　二、重点工作报告
　　（一）假币的防范和处理。针对一季度发现假币较多的情况，强调柜员要提高警惕，假币一旦进入柜台就不可再次流通，应及时盖假币章，尤其是对M3W9开头的假币要重点防范407。
　　（二）做好开展“自助有好礼，月月送不停”自助终端业务宣传及营销的活动。
　　（三）让员工学习并贯彻执行“山西省农村信用社企业文化大纲”。即坚定服务三农的方向、牢记“诚信、合规、责任、团队”的企业核心价值观以及“开拓、进取、务实、创新”的企业精神。
　　（四）积极配合检查人员的工作，准备好相关资料。包括：1、2014年四季度开户、销户、变更人行账户资料。2、销户的所有传票。3、挂失登记薄、会出人员交接登记薄、相关大额、贷款传票等。
　　（五）学习《关于近期部分省份发生存款失踪案件风险警示》的通知，加强柜员岗位管理，完善事前制约机制；规范业务操作流程，强化事中授权控制；加大财务核对力度，提高事后监督实效。
　　（六）做好春节期间的查岗登记，规定每天的值守人员必须准时到岗，早班8：:30到，晚班与早班见面交接后早班人员方可离岗，同时要记录好电话查岗的时间。
　　（七）高度重视远程授权工作。要求柜员在办理业务时注意力要集中，养成良好的操作习惯，一笔一清，随时整理自己的业务凭证、把业务审核融入到业务办理中的每一个环节，真正把差错降到最低，风险防范做到最好。
　　（八）积极响应上级机构的号召，组织消防预演以及防抢劫的预演。要求如下：1、全体人员预演火灾到来时如何逃生，应避免惊慌，有序的进行。2、歹徒抢劫客户的演练。3、客户在ATM自助取款时，有歹徒如何处置。4、歹徒威胁柜台人员的处置办法。
　　（九）做好事后监督系统上线的准备工作。1、会计凭证的填写：手工填写凭证做到内容完整、清晰、书写规范。2、凭证要素必须填写在指定的位置。3、要注意保证套写凭证、复写凭证记账联次的清晰度。4、网点单证应指定专人负责打印，单独视同一个柜员凭证进行整理。5、加盖印章时要完整清晰，避免覆盖流水号、金额等重要的内容。6、当日营业终了后将传票逐一勾兑流水、核实无误后填写明细、入袋保管、封口并双人盖章。7、事后票据的整改。被替换的票据用铅笔在背后写网点号、柜员号、流水号；支取