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第二节 双因素试验的方差分析
进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.
A
B

A1 A2
B1
B2
30 50
100 80
表9-7(a) 表9-7(b)
A
B

A1 A2
B1
B2
30 50
70 90

表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用.
表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.
1.双因素等重复试验的方差分析
设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：
表9-8
因
素
B
因
素
A

B1
B2
…
Bs
A1
x111, x112…, x11t
x121,x122…, x12t
…
x1s1, x1s2…, x1st
A2
x211, x212…, x21t
x221,x222…,x22t
…
x2s1, x2s2,…, x2st
…
…
…
…
…
Ar
xr11, xr12…, xr1t
xr21, xr22…, xr2t
…
xrs1, xrs2…, xrst
设xijk~N(μij,σ2), i=1,2,…,r； j=1,2,…,s； k=1,2,…,t,各xijk独立.这里μij,σ2均为未知参数.或写为
(9.16)
记
μ=, , i=1,2,…,r,
, j=1,2,…,s,
, i=1,2,…,r, , j=1,2,…,s,
.
于是 μij=μ+αi+βj+γij. (9.17)
称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的.
易知
=0, =0，
=0, j=1,2,…,s,
=0, i=1,2,…,r，
这样（9.16）式可写成
(9.18)
其中μ,αi,βj,γij及σ2都为未知参数.
（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用A×B是否显著.要检验以下3个假设：

类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记
,
, i=1,2,…,r； j=1,2,…,s，
, i=1,2,…,r，
, j=1,2,…,s，
ST=.
不难验证分别是μ,μi·,μ·j,μij的无偏估计.
由 ，
1≤i≤r,1≤j≤s,1≤k≤t
得平方和的分解式：
ST=SE＋SA＋SB＋SA×B， (9.19)
其中
SE=，
SA=，
SB=，
SA×B=.
SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SA×B称为A，B交互效应平方和.
当H01:α1=α2=…=αr=0为真时，
FA= ~F(r-1,rs(t-1))；
当假设H02为真时，
FB= ~F(s-1,rs(t-1))；
当假设H03为真时，
FA×B= ~F((r-1)(s-1),rs(t-1)).
当给定显著性水平α后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为：
(9.20)
经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.
表9-9
方差来源
平方和
自由度
均方和
F比
因素A
SA
r-1

FA=
因素B
SB
s-1

FB=
交互作用
SA×B
(r-1)(s-1)

FA×B=
误差
SE
rs(t-1)

总和
ST
rst-1

在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SA×B,SE.
记 T···=，
Tij·=, i=1,2,…,r; j=1,2,…,s，
Ti··=, i=1,2,…,r,
T·j·=, j=1,2,…,s,
即有
(9.21)
例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg·cm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（A×B）对抗牵拉强度有无显著影响.
表9-10
140℃下硫化
]时间（秒）
加速剂
甲
乙
丙
40
60
80
39，36
43，37
37，41
41，35
42，39
39，40
40，30
43，36
36，38
解 按题意，需检验假设H01,H02,H03.
r=s=3, t=2，
T···,Tij·,Ti··,T·j·的计算如表9-11.
表9-11
加速剂
Tij·
硫化时间
甲 乙 丙
Ti··
40
60
80
T·j·
75 80 78
76 81 79
70 79 74
221 240 231
233
236
223
692
ST==178.44，
SA==15.44，
SB==30.11，
SA×B= =2.89，
SE=ST-SA-SB-SA×B=130，
得方差分析表9-12.
表9-12
方差来源
平方和
自由度
均方和
F比
因素A（硫化时间）
因素B（加速剂）
交互作用A×B
误差
15.44
30.11
2.89
130
2
2
4
9
7.72
15.56
0.7225
14.44
FA=0.53
FB=1.04
FA×B=0.05
总和
178.44

由于F0.10(2,9)=3.01>FA,F0.10(2,9)>FB,F0.10(4,9)=2.69>FA×B,因而接受假设H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.
2.双因素无重复试验的方差分析
在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（Ai,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.
表9-13
因素B
因素A
B1 B2 …
Bs
A1
A2
…
Ar
x11 x12 …
x21 x22 …
… … …
xr1 xr2 …
x1s
x2s
…
xrs
这时=xijk,SE=0,SE的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A，B两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将SA×B取作SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素A，B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：
由（9.18）式,
(9.22)
要检验的假设有以下两个：

记
平方和分解公式为：
ST=SA+SB+SE， (9.23)
其中

分别为总平方和、因素A，B的效应平方和和误差平方和.
取显著性水平为α,当H01成立时，
FA= ~F((r-1),(r-1)(s-1))，
H01拒绝域为
FA≥Fα((r-1),(r-1)(s-1)). (9.24)
当H02成立时，
FB= ~F((s-1),(r-1)(s-1))，
H02拒绝域为
FB≥Fα((s-1),(r-1)(s-1)). (9.25)
得方差分析表9-14.
表9-14
方差来源
平方和
自由度
均方和
F比
因素A
因素B
误差
SA
SB
SE
r-1
s-1
(r-1)(s-1)
SA= SB=
SE=
FA=
FB=
总和
ST
rs-1

例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg·m·cm-1），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）
表9-15
铜含量
冲击值
试验温度
0.2%
0.4%
0.8%
20℃
0℃
-20℃
-40℃
10.6
7.0
4.2
4.2
11.6
11.1
6.8
6.3
14.5
13.3
11.5
8.7
解 由已知，r=4,s=3,需检验假设H01,H02，经计算得方差分析表9-16.

表9-16
方差来源
平方和
自由度
均方和
F比
温度作用
铜含量作用
试验误差
64.58
60.74
5.43
3
2
6
21.53
30.37
0.905
23.79
33.56
总和
130.75
11

由于F0.01(3,6)=9.78<FA,拒绝H01.
F0.01（2,6）=10.92<FB,拒绝H02.
检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.

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