中考专题突破.DOC

第四部分　 中考专题突破
专题一　整体思想

1.(2011年江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是( A )
A．－1 B．1 C．－5 D．5
2．(2011年浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为－6.
3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y－4)2.
4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x2－4x－3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6.
5．(2011年山东潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝(a＋1)2(a－1)．
6．(2010年江苏镇江)分解因式：a2－3a＝a(a－3)；化简：(x＋1)2－x2＝2x＋1.
7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．
解析：设铅笔每支x元， 日记本y元，圆珠笔z元，有：
，
②－①得：5x＋4y＋3z＝15　　③，
③－①得：x＋y＋z＝5.
8．如图X－1－2，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以点O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是.

图X－1－2
9．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．
解析：设A果蔬的浓度为x，B果蔬的浓度为y，且倒出部分的重量为a，有：
＝，
3(40－a)x＋3ay＝2(60－a)y＋2ax，
120x－3ax＋3ay＝120y－2ay＋2ax，
120x－120y＝5ax－5ay，
120(x－y)＝5a(x－y)，
解得：a＝24.
10．(2011年江苏宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．
解：原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.
11．(2010年福建南安)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．
解：原式＝y2＋2y＋1－y2＋4x
＝2y＋4x＋1
＝2(y＋2x)＋1
＝2×1＋1＝3.
12．(2010年江苏苏州)解方程：－－2＝0.
解：方法一：去分母，得(x－1)2－x(x－1)－2x2＝0.
化简，得2x2＋x－1＝0，
解得x1＝－1，x2＝.
经检验，x1＝－1，x2＝是原方程的解．
方法二：令＝t，则原方程可化为t2－t－2＝0，
解得t1＝2，t2＝－1.
当t＝2时，＝2，解得x＝－1.
当t＝－1时，＝－1，解得x＝.
经检验，x＝－1，x＝是原方程的解．
13．(2011年四川南充)关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．
解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ＝22－4(k＋1)≥0，
解得：k≤0，
∴k的取值范围是k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，
x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)，
由已知，－2－(k＋1)＜－1，解得k＞－2，
又由(1)知k≤0，
∴－2＜k≤0，
又∵k为整数，∴k的值为－1和0.
14．阅读材料，解答问题．
为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±.∴x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.
解：(2)设x2＝y，
则原方程化为：y2－y－6＝0.
解得：y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，x2＝3，解得x＝±；
当y＝－2时，x2＝－2，无解．
∴x1＝，x2＝－.

专题二　分类讨论思想

1.已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为9 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是( C )
A．11 cm B．7 cm C．11 cm或7 cm D．5 cm或7 cm
2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为( D )
A．30° B．150° C．60°或120° D．30°或150°
3．(2011年贵州贵阳)如图X－2－1，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是( C )

图X－2－1
A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1
4．(2011年甘肃兰州)如图X－2－2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝的图象上．若点A的坐标为(－2，－2)，则k的值为( D )

图X－2－2
A．1 B．－3 C．4 D．1或－3
5．(2011年山东枣庄)如图X－2－3，函数y1＝|x|和y2＝x＋的图象相交于(－1,1)，(2,2)两点．当y1>y2时，x的取值范围是( D )

图X－2－3
A．x＜－1 B．－1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜－1或x＞2
6．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( D )
A．15 cm B．16 cm
C．17 cm D．16 cm或17 cm
7．(2011年四川南充)过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，如果△ABC的面积为3.则k的值为6或－6.
8．(2010年贵州毕节)三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是6或10或12.
9．(2011年浙江杭州)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为或.
10．一次函数y＝kx＋k过点(1,4)，且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P(a,0)在x轴正半轴上运动，点Q(0，b)在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB.
(1)求k的值，并在直角坐标系中(图X－2－4)画出一次函数的图象；
(2)求a、b满足的等量关系式；
(3)若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．

图X－2－4
解：(1)∵ 一次函数y＝kx＋k的图象经过点(1,4)，
∴ 4＝k×1＋k，即k＝2.∴ y＝2x＋2.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1.
即A(－1,0)，B(0,2)．
如图D56，直线AB是一次函数y＝2x＋2的图象.

图D56
(2)∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPO＝90°－∠BAO.
又∵∠ABO＝90°－∠BAO，∴ ∠ABO＝∠QPO.
∴Rt△ABO∽Rt△QPO.∴＝，即＝.
∴a＝2b.
(3)由(2)知a＝2b.
∴AP＝AO＋OP＝1＋a＝1＋2b，
AQ2＝OA2＋OQ2＝1＋b2，
PQ2＝OP2＋OQ2＝a2＋b2＝(2b)2＋b2＝5b2.
若AP＝AQ，即AP2＝AQ2，则(1＋2b)2＝1＋b2，
即b＝0或－，这与b>0矛盾，故舍去；
若AQ＝PQ，即AQ2＝PQ2，则1＋b2＝5b2，
即b＝或－(舍去)，
此时，AP＝2，OQ＝，
S△APQ＝×AP×OQ＝×2×＝.
若AP＝PQ，则1＋2b＝b，即b＝2＋.
此时AP＝1＋2b＝5＋2 ，OQ＝2＋.
S△APQ＝×AP×OQ＝×(5＋2 )×(2＋)
＝10＋ .
∴ △APQ的面积为或10＋ .
11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X－2－5中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
(1)判断点M(1,2)，N(4,4)是否为和谐点，并说明理由；
(2)若和谐点P(a,3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a、b的值．

图X－2－5
解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，
∴点M不是和谐点，点N是和谐点．
(2)由题意得，
当a>0时，(a＋3)×2＝3a，
∴a＝6，点P(a,3)在直线y＝－x＋b上，代入得b＝9；
当a<0时，(－a＋3)×2＝－3a，
∴a＝－6，点P(a,3)在直线y＝－x＋b上，
代入得b＝－3.
∴a＝6，b＝9或a＝－6，b＝－3.
12．(2011年湖北襄阳)为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下(含m人)的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1(元)，节假日购票款为y2(元)．y1、y2与x之间的函数图象如图X－2－6所示．
(1)观察图象可知：a＝6；b＝8；m＝10；
(2)直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游，共付门票款1 900元，A、B两个团合计50人，求A、B两个团队各有多少人？

图X－2－6
解：(2)y1＝30x；
y2＝.
(3)设A团有n人，则B团有(50－n)人．
当0≤n≤10时，50n＋30(50－n)＝1 900，
解之，得n＝20，这与n≤10矛盾．
当n＞10时，40n＋100＋30(50－n)＝1 900，
解之，得n＝30，
∴50－30＝20.
答：A团有30人，B团有20人．

专题三　数形结合思想

1.(2011年安徽)如图X－3－1，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( C )

图X－3－1

2．(2011年山东威海)如图X－3－2，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( B )

图X－3－2

3．(2011年甘肃兰州)如图X－3－3，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是( B )

图X－3－3

4．(2010年福建德化)已知：如图X－3－4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( A )

图X－3－4

5．如图X－3－5，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( B )

图X－3－5
A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1和l2的距离为2

6．如图X－3－6，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2,0)，P是OB上的一个动点，试求PD＋PA和的最小值是( A )

图X－3－6
A．2 B.
C．4 D．6
7．如图X－3－7，在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MN→→KM运动，最后回到点M的位置．设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是( B )

图X－3－7

8．(2011年江苏扬州)如图X－3－8，已知函数y＝－与y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋＝0的解为－3.
[来源:Z.xx.k.Com]
图X－3－8

9．(2011年山东菏泽)如图X－3－9，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1,0)．

图X－3－9
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
解：(1)把点A(－1,0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，
整理后解得b＝－，
所以抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
顶点D.
(2)∵AB＝5，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，
∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．
(3)作出点C关于x轴的对称点C′，
则C′ (0,2)，OC′＝2.
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E.
△C′OM∽△DEM.
∴＝.∴＝.∴m＝.
10．(2011年湖南邵阳)如图X－3－10，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A，点C(0,3)，点B是x轴上的点(位于点A右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.

图X－3－10

(1)求∠ACB的度数；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：如图D57，(1)90°

图D57
(2)∵△AOC∽△COB，
∴＝，
又∵A(－，0)，点C(0,3)，
∴ AO＝，OC＝3，
∴所以解得：OB＝4，
∴B(4,0)，把 A、B两点坐标代入解得：
y＝－x2＋x＋3.
(3)存在．
直线BC的方程为3x＋4y＝12，设点D(x，y)．
①若BD＝OD，则点D在OB的中垂线上，点D横坐标为2，纵坐标为，即D1(2，)为所求．
②若OB＝BD＝4，则＝，＝，得y＝，x＝，点D2(，)为所求．
11．(2011年广东汕头)如图X－3－11，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3,0)．

图X－3－11
(1)求直线AB的函数关系式；
(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作垂直于x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O，点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由．
解：(1)把x＝0代入y＝－x2＋x＋1，
得y＝1，
把x＝3代入y＝－x2＋x＋1，得y＝，
∴A、B两点的坐标分别(0,1)，，
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入A、B的坐标，得：
，解得，
∴y＝x＋1.
[来源:学科网]
(2)把x＝t分别代入到y＝x＋1和y＝－x2＋x＋1，
分别得到点M、N的纵坐标为t＋1和－t2＋t＋1，
∴MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)＝－t2＋t，
即s＝－t2＋t，
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN，
∴当BC＝MN时，四边形BCMN即为平行四边形，
由－t2＋t＝，得t1＝1，t2＝2，[来源:Zxxk.Com]
即当t＝1或2时，四边形BCMN为平行四边形
当t＝1时，PC＝2，PM＝，
由勾股定理求得CM＝，
此时BC＝CM＝MN＝BN，平行四边形BCMN为菱形；
当t＝2时，PC＝1，PM＝2，由勾股定理求得CM＝，
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形．
∴当t＝1时，平行四边形BCMN为菱形．
专题四　归纳与猜想

1.(2011年浙江)如图X－4－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”的个数为( C )

图X－4－1
A．28 B．56 C．60 D．124
2．(2010年山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过如图X－4－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称如图X－4－2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( D )

图X－4－2
A．15 B．25 C．55 D．1 225
3．(2011年内蒙古乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图X－4－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有n(n＋1)＋4或n2＋n＋4个小圆(用含n的代数式表示)．

图X－4－3
4．(2011年湖南常德)先找规律，再填数：
＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝，
……
则＋－＝.[来源:Zxxk.Com]
5．(2010年辽宁丹东)如图X－4－4，已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是()n.

图X－4－4
6．(2010年浙江嵊州)如图X－4－5，平面内有公共端点的六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线OE上；“2 007”在射线OC上．

图X－4－5
7．(2011年四川绵阳)观察图X－4－6的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有120个．[来源:学#科#网Z#X#X#K]

图X－4－6
8．(2011年广东湛江)已知：A＝3×2＝6，A＝5×4×3＝60，A＝5×4×3×2＝120，A＝6×5×4×3＝360…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A＝210(直接写出计算结果)，并比较A<A(填“>”或“<”或“＝”)．
9．(2011年山东济宁)观察下面的变形规律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想＝－；
(2)证明你猜想的结论；
(3)求和：＋＋＋…＋.
解：(2)证明：－＝－＝＝.
(3)原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
10．(2011年四川凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图X－4－7，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数等等．

图X－4－7
(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；
(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.
解：(1)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
(2)原式＝25＋5×24×＋10×23×2＋10×22×3＋5×2×4＋5
＝(2－1)5
＝1.
11．(2010年浙江宁波)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型如图X－4－8，解答下列问题：

图X－4－8
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4

长方体
8
6[来源:学科网]
12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______________；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．
解：(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V＋F－E＝2；
(2)由题意得：F－8＋F－30＝2，解得F＝20；
(3)∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36条棱，
那么24＋F－36＝2，解得F＝14，
∴x＋y＝14.

专题五　方案与设计

1.现有球迷150人，欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( B )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( C )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．今年4月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨．现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．李大叔安排甲、乙两种货车时方案有( B )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
4．(2011年四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，则
6 000(1－x)2＝4 860，
得：x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)．
∴平均每次下调的百分率10%.
(2)方案①可优惠：4 860×100×(1－0.98)＝9 720元；
方案②可优惠：100×80＝8 000元．
∴方案①更优惠．
5．(2011年山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
解：(1)设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为(30－x)个．由题意，得：
，
解这个不等式组，得18≤x≤20.
由于x只能取整数，∴x的取值是18,19,20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
(2)方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)；
方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)；
方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)．
故方案一费用最低，最低费用是22 320元．
6．(2011年贵州安顺)某班到毕业时共结余班费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品．已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集．
(1)求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？
(2)有几种购买T恤和影集的方案？
解：(1)设T恤和影集的价格分别为x元和y元．则
，解得.
答：T恤和影集的价格分别为35元和26元．
(2)设购买T恤t件，则购买影集(50－t)本，则
1 500≤35t＋26(50－t)≤1 530，
解得≤t≤，∵为正整数，∴t＝23,24,25，[来源:Z#xx#k.Com]
即有三种方案．第一种方案：购T恤23件，影集27本；
第二种方案：购T恤24件，影集26本；
第三种方案：购T恤25件，影集25本．
7．(2011年湖北鄂州)2011年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．
(1)设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表：
　　　　　　　调入地
水量/万吨

调出地　　　　　
甲
乙
总计
A
x

14
B

14
总计
15
13
28
(2)请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小(调运量＝调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米)．
解：(1)(从左至右，从上至下)14－x　15－x　x－1
(2)y＝50x＋30(14－x)＋60(15－x)＋45(x－1)
＝5x＋1 275，
由　解得：1≤x≤14.
对y＝5x＋1 275中，
∵5>0，∴y随x增大而增大．
∴y要最小时x应最小为1.
∴调运方案为A往甲调1吨，往乙调13吨；B往甲调14吨，不往乙调．
故调运量＝1×50＋30×13＋14×60＝1 280(万吨·千米)．
8．(2011年湖北黄石)2011年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：
月用水量(吨)
单价(元/吨)
不大于10吨部分
1.5
大于10吨且不大于m吨
部分(20≤m≤50)
2[来源:学_科_网Z_X_X_K]
大于m吨部分
3
(1)若某用户6月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
(2)记该户6月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；
(3)若该用户6月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．
解：(1)应缴纳消费：
10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)．
(2)当0≤x≤10时，y＝1.5x；
当10<x≤m时，y＝10×1.5＋2(x－10)＝2x－5；
当x>m时，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.
∴y＝.
(3)当40≤m≤50时，y＝2×40－5＝75(元)满足．
当20≤m<40时，y＝3×40－m－5＝115－m，
则70≤115－m≤90，∴25≤m≤90.
综上得，25≤m≤40.
9．(2011年重庆潼南)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的面积与总收入如下表：
种植户
种植A类蔬菜
面积(单位：亩)
种植B类蔬菜
面积(单位：亩)
总收入
(单位：元)
甲
3
1
12 500
乙
2
3
16 500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
(1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
(2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．
解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元、y元．
由题意得：，
解得：.
答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．
(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20－a)亩．
由题意得：，
解得：10＜a≤14.
∵a取整数为：11,12,13,14.
∴租地方案为：
类别
种植面积　 单位：(亩)
A
11
12
13
14
B
9
8
7
6