中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第22讲参数范围型综合问题.doc

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数学高考综合能力题选讲22

参数范围型综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。

范例选讲

例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。
讲解：将视为主元，设，则
当时，>0恒成立。
等价于：。即。
解得。
点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。

例2．已知函数。
（Ⅰ）将的图像向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
（Ⅱ）函数与函数的图像关于直线对称，求函数的解析式；
（Ⅲ）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围。
讲解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）设点是函数上任一点，
点关于的对称点是
由于函数与函数的图像关于直线对称，所以，点在函数的图像上，也即：。
所以，；
（Ⅲ）
要求m的取值范围，可以通过构造关于m的不等式来获得解答，方法之一是直接法，即先求出的最小值，再令其大于即可。
解法一。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以，可以考虑从的正负入手。
（1）当，即时，由的值域均为，可得。这与矛盾；
（2）当，即时，是R上的增函数，此时无最小值，与题设矛盾；
（3）当，即时，是R上的减函数，此时也无最小值，与题设矛盾；
所以，由（1）（2）（3）可得：当，即时，
。
等号当且仅当，即时成立。
由及，可得：
。
解之得：。

从另一个角度考虑，“的最小值是且”，也就是说恒成立。于是，我们可以得到下面的解法：
解法二。由可得：。
令，则命题可转化为：当时，恒成立。
考虑关于的二次函数。
要使时，恒成立。首先必须要求，此时由于函数的对称轴，所以，需且只需

解之得：。
此时，，故在取得最小值满足条件。
点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取值范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中，常常要用到一元二次方程的判别式。
例3．设直线过点P（0，3）且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围.
讲解：首先，不难得到：=。要求的取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发，可得到下面的两种解法。
解法1: 在=中，有两个变量，但这两个变量的范围很难确定，故需要利用第3个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率k”。于是，问题就转化为“如何将转化为关于k的表达式”。
只需将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，利用求根公式即可。
当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

解之得
由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 。
解法2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式. 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：。简解如下：
设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则
令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，
所以 ，
解得 。
结合得。
综上，。
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

高考真题

1．（1990年全国高考题）设，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
（Ⅰ）如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈(0，1]，证明当x≠0时成立.
2．（2002年上海春季高考22题）对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点。已知函数。
（Ⅰ）当时，求函数的不动点；
（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点。求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若图像上两点的横坐标是函数的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值。
3．（2002北京春季高考22题）已知某椭圆的焦点是F1(–4,0)、F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

[答案与提示：1。（Ⅰ）；（Ⅱ）略。 2。（Ⅰ）当时，函数的两个不动点为；（Ⅱ）；（Ⅲ）。 3。（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。]
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