高考名师预测数学试题：知识点01三角函数与平面向量.doc

高考猜题
专题01 三角函数与平面向量
甘肃天水市第一中学（741000）

1、近几年高考对三角变换的考查要求减弱，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.
本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题
2、平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表 示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．
在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题

一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知向量，和，若，则向量与 的夹角=（ ）
A． B． C． D．

2．已知函数（），则下列叙述错误的是 （ ）
A．的最大值与最小值之和等于 B．是偶函数
C．在上是增函数 D．的图像关于点成中心对称

3．关于函数的图象，有以下四个说法：
①关于点对称； ②关于点对称；
③关于直线对称； ④关于直线对称
则正确的是 （　　）
A．①③　 B．②③　 C．①④　　 D．②④

4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 001)＝3，则f(2 012)的值是 (　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．1
5．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于 (　　)
A. B．－ C．－7 D．7

6．已知是夹角为的单位向量，则向量与垂直的充要条件是实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量
mn，若向量m⊥n，则角A的大小为 （ ）
A． B． C． D．

8．已知函数的最小正周期为，为了得到函数
的图象，只要将的图象 （ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．如右图所示的曲线是以锐角的顶点B、C为焦点，
且经过点A的双曲线，若的内角的对边分别为,
且，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．

10. 设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A． B.4 C． D．

11. 将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

12. 如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，
设为 （ ）
A． B．
C． D．

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知非零向量与满足（+）·=0,且·=-,则△ABC为______________． （ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
14．在中，为边中线上的一点，若，则的（ ）
A．最大值为8 B．最大值为4 C．最小值－4 D．最小值为－8
15．设a=（a1，a2）,b=（b1,b2）．定义一种向量积．已知，点P（x,y）在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（ ）
A．2, B．2,4 C． D．

16．设函数f （x）的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y＝s1nnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（1）y＝s1n3x在[0,]上的面积为　　　；（2）y＝s1n（3x－π）＋1在[，]上的面积为　　 　．

三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17．已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。
（1）求和常数的值；
（2）求函数的单调递增区间。

18．在△ABC中，已知AB＝，BC＝2。
（Ⅰ）若cosB＝－，求sinC的值；
（Ⅱ）求角C的取值范围．

19．在△中，角的对边分别为 向量m=,n=，且m∥n.
（1）求锐角的大小；（2）如果，求△的面积的最大值。

20．设函数f(x)=cos2wx＋sinwxcoswx＋a(其中＞0,aR),
且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
（1）求ω的值；（2）如果f(x)在区间[―，]上的最小值为，求a的值;
（3）证明：直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

21．设函数。y=f（x）图像的一条对称轴是直线．
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3）证明直线于函数的图像不相切．
22. 已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间是单调函数，求和的值．

答案

1．D 解析：由，∴，由向量夹角的概念结合图形可得．

2．解析：C，由题意得，因此结合各选项知在上是增函数是错误的，选C。

3．B．解：当时，＝1，当x＝时，＝0，所以，②③正确。

4.【答案】C
【解析】f(2 001)＝asin(2 001π＋α)＋bcos(2 001π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－3.
5．【答案】A
【解析】sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.
又α∈，∴cos α＝.∴＝.

6．【解析】A 根据已知，向量与垂直的充要条件是，解得。

7．解析：B；
m⊥nmn
。
8．【解析】C 由题知，所以
，只要把这个的变成即可，即只要把函数的图象向左平移个单位长度。正确选项C。

9．解析：D，,因为C为锐角，
所以C=，
由余弦定理知

10 答案B
解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能
实现．

11. B
解析：将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数
y=g(x)=2。 ∵y=g(x)在[]上为增函数
∴ ∴。
。

12. A
解析：，
同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以，故选A。

13答案．解析:A．
、分别是、方向的单位向量,向量+在∠BAC的平分线上,由（+）·=0知,AB=AC,由·=-,可得∠CAB=1200,∴△ABC为等腰非等边三角形,故选A．
14答案．解析: A
，当且仅当，即点为的中点时，等号成立．故的最大值为8．选A项．
15答案．解析:C．设Q（x,y），P（x0，y0），则由
得,
代入得，
则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为,
故选C．

16答案．　　提示：由题意得：y=s1n3x在上的面积为，在上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为。

17解析：（1），
，
由，得。
又当时，得.
（2）由（1）当，
即，故的单调增区间为，。

18．解析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知，
AC2＝AB2＋BC2－2 AB×BC×cosB＝4＋3＋2×2×（－）＝9．
所以AC＝3．
又因为sinB＝＝＝，
由正弦定理得＝．
所以sinC＝sinB＝。
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2 AC×BCcosC，
所以，3＝AC2＋4－4AC×cosC，
即 AC2－4cosC×AC＋1＝0．
由题，关于AC的一元二次方程应该有解，
令△＝（4cosC）2－4≥0, 得cosC≥，或cosC≤－（舍去，因为AB＜AC）,
所以，0＜C≤，即角C的取值范围是（0，）。

19．解析：（1） ∵m∥n
，即
又为锐角 ， 。
（2） ：又 代入上式得：（当且仅当 时等号成立）
（当且仅当 时等号成立）
。

20、解：（1） f(x)=×＋sin2wx＋a=sin2wx＋cos2wx＋＋a
=sin(2wx＋)＋＋a
由题意知，2w×＋=，∴ w=1
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x＋)＋＋a ∵ ―≤x≤ ∴ 0≤2x＋≤
∴ ―≤sin(2x＋)≤1 ∴ f(x)的最小值=―＋＋a= ∴ a=
（3）∵ f¢ (x)=2cos(2x＋) ∴ |f¢ (x)|≤2
∴ 曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围是[―2,2],
而直线的切线斜率=>2, ∴直线5x―2y＋c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
21答案．（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴，∴，
∵，∴。
（2）由（1）知，因此。
由题意得，
所以函数的单调增区间为。
（3）证明：∵｜｜=|（|=||≤2
所以曲线y=f（x）的切线的斜率取值范围是[-2,2]，
而直线5x-2y+c＝0的斜率为＞2，
所以直线5x-2y+c＝0与函数的图象不相切。
22.分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解．
解法一　 由偶函数关于轴对称，知当时函数取最大值或最小值，所以又所以;另一方面函数的图像关于点对称，此点是函数图像与轴的一个交点，所以当，，即，，．
当时，在上是减函数;
当时，在上是减函数;
当时，在上不是减函数．
综上所述或．
解法二　由是偶函数，得
即，所以对任意都成立，只能是，又，所以．
由的图像关于点对称，得，令得，以下同解法一．

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