例说分类讨论及其应用.doc

快乐学习，尽在中小学教育
例说“分类讨论”及其应用
尹建堂

所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，最后整合得答案，即有“分”有“合”，先“分”后“合”的一种解题策略。它既是一种数学思想，也是一种逻辑方法，故称分类讨论的思想方法。
应用分类讨论解题既要弄清引发分类的原因，又要掌握科学分类的原则，即不重复，不遗漏。
本文拟就引发分类的常见原因、求解方法例说如下。

一、由数学概念引发的分类讨论
数学中的有些概念是分类定义的，如绝对值、分段函数等；有些有一定的限制，如直线斜率中，等。解题时就要从所给定义的概念来进行分类讨论。

例1. 解方程。
分析：去掉绝对值符号是关键，由此引发分类讨论，显然应从的正负来分类。
解：（1）当，即时，原方程化为
，即，
解得
而＜0，无解；
又由知，舍去。
（2）当，即时，原方程化为，
即，
解得
可见 ，无解；
而由 ，得
综上知，原方程的解为。

例2. 已知，解不等式。
分析：分段函数本身就是一种分类讨论，需对函数的每一段情况分别进行研究。依题意本题要以的正负来分类求解。
解：当时，原不等式可化为
解是
当时，原不等式可化为
，解得。
综上知，原不等式的解集为。

二、由运算要求引发的分类讨论
有的数学运算有严格的限制，解题时必须按要求进行。如除法运算中除式不能为零；在实数范围内开偶次方被开方数必为非负数；解方程、不等式时，两边分别乘同一个数是否为零、是正数还是负数等都需要按不同的运算要求分类讨论。
例3. 解不等式。
分析：因未知数出现在指数位置时常取对数（这里显然以a为底），但不等号的方向如何确定？需要分类讨论。
解：因，则原不等式等价于
。 （*）
（1）当时，（*）的两边取以a为底的对数，得
，
解出
所以或。
（2）当时，则有

解得
所以。
所以原不等式的解集为：
；
。

三、由定理、公式的限制条件引发的分类讨论
有些定理、公式在不同条件下有着不同的结论，故在应用时须进行分类讨论。如等比数列前n项和公式应分q＝1，q≠1来讨论；二次函数的条件最值需要对相应的抛物线开口方向、极值点与约束条件[]的位置关系分类讨论。
例4. 首项为1，公比为q（）的等比数列前n项和为，设n＝1，2，…，求。
解：等比数列{an}的公比为，首项，则
（1）当q＝1时，
所以
（2）当q≠1时，，
所以。
为确定其极限，再对q作二级讨论：
①若，则；
②若，则
综上知，
评注：本题也可减少分类层次，按q＝1，来分类讨论。

例5. 已知函数，设，求的最小值。
分析：先将原函数化为，然后去掉绝对值符号分成两段；再对每段的一元二次函数就a进行二级分类讨论，求出各段上的最小值；结合图象再求出整个函数的最小值。
解：
（1）时，有
。
如果，即时，由函数在区间上的图象可知，；
如果时，由函数在区间上的图象可知，。
（2）当时，
。
如果时，
；
如果时

又当时，，
当时，
综上知，当时，；
当；
当时，；
当时，无最小值。

四、由函数性质引发的分类讨论
对于涉及函数定义域、值域及性质的问题，要根据函数性质来分类讨论。
例6. 已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。
分析：本题是以导数为工具，研究函数单调性的问题，所以求导数是必不可少的步骤。求出恒小于零时a的范围，因由已知的解析式知，故需对a的取值范围分类讨论。
解：求函数的导数，得

当时，是减函数。
。
所以当时，由，知是减函数。
所求范围只是所求取值范围的一部分，是它的充分条件。还需对a的取值范围进行分类，再对每一类研究是否是R上的减函数。
因为由已知解析式可知a的取值范围是全体实数，所以再划分为－3与两类来讨论。
（1）当时，。
由函数的单调性及图象的平移变换，可知当a＝－3时，是减函数；
（2）当时，在R上总存在一个区间，其上有，所以当时，函数不是减函数。
综上知，所求a的取值范围是（。
评注：本题的分类与整合完全是由教材中学习的函数单调性与导数的关系定理是非充要的所引发的，先求出所求取值范围的一个充分条件，然后再分类研究。应当注意的是，本题是对a的取值范围的分类，而不是对的正、负、零的分类，弄清楚分类对象是至关重要的。

五、由图形位置不同引发的讨论
有些涉及图形的问题，根据已知条件不能唯一确定图形的位置时，在求解过程中，要根据可能出现的不同位置进行讨论。
例7. 已知两异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d，在a、b上分别取E、F，设A1E＝m，AF＝n，求EF的长。
分析：由于F在b上的位置不同，故应分两种情况讨论求解。
解：如图1所示，过A作c∥a，作EG⊥c于G，连FG，则EG⊥GF。

图1
所以。
因F在b上的位置不同，∠FAG可能等于，也可能等于，故有
（1）当∠FAG＝时，在△FAG中，由余弦定理，得

所以
（2）当∠FAG＝时，类似地，得
。
综上，

8