中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第23讲方案优化型综合问题.doc

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数学高考综合能力题选讲23

方案优化型综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．

范例选讲

例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
．
整理得：．
所以，当时，最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．
点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．

例2．某工厂生产容积为立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．
(Ⅰ) 把制造容器的成本y（元）表示成容器底面半径x（米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；
(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）
讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h，则．
所以，．
因为，所以，
，
等号当且仅当，即时取得．
(Ⅱ) 当时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解的最小值，所以，我们可以考虑函数的单调性．
任取，且设，则
，
由于，所以，，所以，，
所以，函数在区间上单调递增．
所以，当时，取得最小值为：（元）．
点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．

例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：
项目
1年期
2年期
3年期
5年期
年利率
1.98%
2.25%
2.52%
2.79%

利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．
讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．
为叙述方便，用表示把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．
首先，可以考虑下面的问题：是否成立？即把元本金，先存一次n年期，再存一次m年期与先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和是否相同？
因为，
所以，
根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：，，，，．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：
（1）比较与的大小关系：
因为，
，
所以，<．所以，只需考虑上述八种情况中的：，，．
（2）比较和的大小．
，
，
所以，<．所以，只需比较，，．
因为：，
，
．
所以，最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．
点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．

高考真题

1．（2001年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

2．（2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
（Ⅰ）若某人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？
（Ⅲ）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元），并说明理由．

[答案与提示：1．（Ⅰ）表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（Ⅱ）函数应该满足的条件和具有的性质是：且，在上单调递减；（Ⅲ）时，两次清洗后残留的农药量较少，时，效果相同，时，一次清洗残留的农药量较少． 2． （Ⅰ）在A公司和B公司第n年的月收入分别为；（Ⅱ）应选择A公司；（Ⅲ）826元．]
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