北京市房山区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

房山区2010-2011学年度统练试卷
高三数学（文）
考
生
须知
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 ．
2. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.
1. 已知全集，集合，，那么集合 ( )
A． B．
C． D．
2.是虚数单位，若，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
3.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个边长为的正三角形，俯视图是一个正方形，那么该几何体的侧视图的面积为 ( )
A． B． C． D．
俯视图
正视图
侧视图

4. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
甲
茎
乙
5 7
1
6 8
8 8 2
2
3 6 7
设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成
绩的平均数，则有 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.已知表示两个不同的平面， a，b表示两条不同的直线，则a∥b的一个充分条件是 （ ）
A．a∥, b∥ B．a∥，b∥，∥
C．⊥，a ⊥，b ∥ D．a⊥，b⊥，∥
6.下列命题中，真命题是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
8. 已知集合 ，，定义函数． 若点 ， ， ，的外接圆圆心为D，且 ，则满足条件的函数有 （ ）
A．6个 B．10个 C．12个 D．16个

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）.
9.函数的最小正周期是__ _____，最大值是___ _______．
否
是
开始
输入

输出
结束
10.按如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值是_________．

11．已知平面向量，满足，，与的夹角为， 若，则实数
_________．
12．已知变量满足，则目标函数的最大值为 ．
13．已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线相切，则圆C
的方程为 ．
14.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)
个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数．下列函数：
①；②；③ ； ④；
⑤，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15.（本小题共13分）
在中，角A、B、C的对边分别为、、，角A、B、C成等差数列，，边的长为．
（I）求边的长；
（II）求的面积．

16．（本小题共13分）
如图所示，四边形ABCD和ABEF都是正方形，点M是DF的中点．
（I）求证：；
（II）求证：DF∥平面．

17．（本小题共13分）
已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．
（I）求等差数列的通项公式；
（II）如果数列是等比数列，且，，求的前项和．
18．（本小题共13分）
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将
其编号记为．求关于的一元二次方程有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球
的编号为n．若以 作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．
19.（本小题共14分）
已知函数在时取得极值，曲线在处的切线的斜率为；函数，，函数的导函数的最小值为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求实数的值；
(Ⅲ) 求证：．
20．（本小题共14分）
已知椭圆（a>b>0）的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，点A的坐标为（，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线l的倾斜角；
(Ⅲ)若点Q在线段AB的垂直平分线上，且，求的值．

房山区高三统练阅卷参考答案(数学文科)

单
选
题

1 [B]
2 [C]
3 [C]
4 [B]
5 [D]

6 [D]
7 [A]
8 [C]

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
9. ， .
10. 4 .
11. 3 .
12. .
13. .
14. ②④ （只写出1个正确序号得2分，有错误序号不得分）.

三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15.（本小题共13分）
解：（I）角A、B、C成等差数列，2B=A+C. ---------------------1分

A+C=，
3B=，B=. ---------------------3分

由正弦定理得 ，
， ---------------------5分
. ---------------------6分
（II）， ， ，或
，. ----------------------7分
----------------------8分
---------------------11分
或者 ----------------------8分
---------------------11分
的面积.
--------------------13分

16．（本小题共13分）

解：（I）四边形ABCD和ABEF都是正方形，
，， ---------------------1分
又，
平面. ---------------------2分
，
平面. ---------------------3分
平面，
. ---------------------4分
，在中，M是DF的中点， ---------------------5分
. ---------------------6分
又，
. ---------------------7分
（II）由四边形ABCD和ABEF都是正方形，
，， ---------------------8分
. ---------------------9分
四边形CDFE为平行四边形， --------------------10分
DF∥CE. --------------------11分
又平面，平面， -------------------- 12分
DF∥平面. --------------------13分

17.（本小题共13分）
解：（I）因为数列是等差数列，设其公差为，，则，，.
由，，成等比数列，得=，即
= ---------------------2分
解得或， ------------------- 4分
所以或. -------------------- 6分
（II）当时，，，公比，
的前项和； ---------------------9分
当时，，，公比， ---------------------10分
的前项和. ---------------------13分

18．（本小题共13分）
解：（I）设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．
---------------------2分
基本事件共12个：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），
（4,2），（4,3），其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．
---------------------4分
事件中包含6个基本事件：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），
事件发生的概率为； ---------------------6分
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P（m，n）的所有可能有：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个，
---------------------8分
落在区域内的有（1,1），（2,1），（2,2），（3,1）共4个， ---------------------11分
所以点P落在区域内的概率为． ---------------------13分

19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ），．　
由题意有，　 ---------------------2分
解得． ---------------------3分
函数的解析式为．　　 ---------------------4分
（Ⅱ），，
在单调递增，　 ---------------------7分
，． ---------------------9分
(Ⅲ) ，，
由（Ⅱ）知，当时，，　
当时， ， ---------------------11分
在上是增函数．　 ---------------------12分
．　　　 ---------------------14分

20．（本小题共14分）
解：（I）由题意可知，e，得，，解得.
---------------------2分
所以椭圆的方程为. ---------------------3分
(Ⅱ)由（I）可知点A的坐标是(2,0).设点B的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l
的方程为.
于是A、B两点的坐标满足方程组 ---------------------4分
消去y并整理，得. ---------------------5分
由，得，从而.
所以. ---------------------6分
由，得.
整理得，即，解得k=.
---------------------7分
所以直线l的倾斜角为或. --------------------- 8分
(Ⅲ)设线段AB的中点为M，由（II）得到M的坐标为.以下分两种情况：
(1) 当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是
，由，得.
---------------------10分
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为

令，解得. ---------------------11分
由，，
， ---------------------12分
整理得，故，所以. ---------------------13分
综上，或 ---------------------14分