高三文科数学030.doc

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期数： 0511 SXG3 030
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇二十三 高三文科数学总复习十八
——等比数列

【学法引导】
等比数列与等差数列一样，在高考中始终处于热点位置，考题可能出现如放射性物质的衰变、人口增长等为背景的命题，以及利用递推公式求通项公式等问题.
【基础知识概要】
1．等比数列的定义
如果一个数列中从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，通常用q表示.
由定义可知，这也是证明或判断一个数列是等比数列的依据. 等比数列的各项都不为0，公比也不能为0.
2．等比数列的通项公式
在等比数列{an}中，.
3．等比中项
如果a, G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
由等比数列定义可知 ，所以.
结论：{an}是等比数列(nN*)
4．等比数列的性质
设{an}是公比为q的等比数列，那么
（1）；
（2）若，则；
（3）每隔k项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
（4），，…，仍成等比数列；
（5）在等比数列中，从第2项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项.
5．等比数列的前n项和公式

等比数列的前n项和的性质:
若为等比数列的前n项和，则仍成等比数列.

【应用举例】
例1　一个等比数列的第3项与第4项分别为12与18，求它的通项公式.
解：设这个等比数列的首项，公比为 q，那么
. ①
. ②
把②的两边分别除以①的两边，得
.　　　　　　　　　　③
把③代入①，得，
因此，.
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
解：根据题设条件，设这四个数依次为.
依题意有：

由(2)得，代入(1)，得
，即.
∴或9，代入(2)，分别得或.
∴所求四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1.
评析：三个数成等比数列，可设这三个数为：或.
例3 设为等差数列，.已知，，求通项公式.
解：设等差数列的公差为d，则.
∵（常数）0，
∴为等比数列，∴.
又∵，∴.
由知
解得：.
∴或.
∴当时，；
当时，.
例4 设等比数列的首项为a（），公比为q（），前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.
解：由，，故q.
. (3)
∵，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为.
∴.　　　　　　　　　　 (4)
将(3)代入(1)化简得.　　　　 　 (5)
化简得.　　　　　　 　　(6)
由(5)，(6)联立方程组解得 .

【强化训练】
一、选择题
1．和的等比中项是（ ）
　A．1　　　　　　B．－1　　　　　C．±1　　　　　D．2
2．给出下列四个命题：①公比的等比数列的各项都大于1；②公比的等比数列是递减数列；③常数列是公比的等比数列；④公比的等比数列一定是等差数列.
其中正确的命题有（ ）
　A．1个　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　　D．4个
3．“”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
　A．充分但不必要条件　　　　　　B．必要但不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件
4．数列的前n项和为（ ）
　A．0　　　　　B．1　　　　　C．－1　　　　　D．以上答案均不对
5．在等比数列中，，则等于（ ）
　A．210　　　　B．240　　　　C．480　　　　　D．720
6．已知等比数列的公比为2，前4项之和，则等于（ ）
　A．15　　　　　B．17　　　　C．19　　　　　　D．21
二、填空题
7．三个不同的实数a，b，c成等差数列，且a，c，b成等比数列，则＝　　　　.
8．已知等比数列的各项均为正数，且任何一项都等于它后面两项的和，则其公比q＝　 　.
三、解答题
9．设a，b，c成等比数列，x为a，b的等差中项，y为b，c的等差中项，求的值.
10．等比数列中，，，且公比q为整数，求第10项.

参考答案
一、1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B
二、7．4 8．
三、9．将代入中并结合.
　　得
10．因为成等比数列，所以.
　由
　或（舍去，因公比为整数）
　故，∴.