高三理科数学027.doc

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期数 0510 SXG3 027
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇十九 函数的最大值和最小值

【教材阅读提示】
1．利用导数可以求函数的最值；也可以求一些实际问题中的最大值（最小值）.
2．处理函数最值问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现由未知向已知的转化. 虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至化归为一类已解决或很容易解决的问题，从而获得原问题的解答.

【基础知识精讲】
一、知识结构
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的方法：

二、重要内容提示
1．函数最值的概念：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（小）值，叫做函数y=f(x)的最大值（最小值）.
2．连续函数的最值：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值，且它的最大值是f(x)的极大值与极小值以及f(a), f(b)中的最大的，它的最小值是f(x)的极大值、极小值与f(a)、f(b)中的最小的.
3．开区间上的连续函数不一定有最值, 例如，无最值.
4．如果f(x)在(a,b)可导，且在区间(a,b)内只有一个点使，如果在此点达到极大（小）值（称单峰函数），那么函数在这点处就取得了最大（小）值. 在这里，这个区间适用于开区间、闭区间或无穷区间.
注意：1．准确、深刻地理解函数最值的概念，揭示函数最值与极值的区别与联系.
（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.
（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.
（4）如果函数不在闭区间[a,b]上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
（5）在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较.
2．认识函数最值的实质，把握求函数最值的基本方法，强化应用意识. 导数具有丰富多彩的性质和特性，这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价变换“土壤”. 只要我们认真梳理知识，夯实基础，善于利用等价转化，数形结合等数学思想方法，一定能不断提高解题的灵活性和变通性.

【典型例题解析】
例1已知函数在区间[－2，2].上的最大值为20，求在该区间上的最小值.
分析：若函数f(x)在给定区间上连续、可导，则必有最大值和最小值，因此，在求闭区间[a,b]上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可.
解： 令，解得或（舍去）．
当变化时，得变化情况如下表：

－2
（－2，－1）
－1
（－1，1）
2

－
0
＋

极小值

因为　所以
因此和分别是在区间[－2，2]上的最大值和最小值.
于是有，解得
故 因此
即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7.
例2设函数，求的最小值；
解：对函数求导数：

于是
当在区间是减函数，
当在区间是增函数.
所以时取得最小值，，
例3已知试问当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；
解：令，得，从而，
解得，，其中
当变化时，的变化情况如下表：

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

当在处取到极大值，在处取到极小值。
当时，，，在上为减函数，在上为增函数，
而当时，；当时，
所以当时，取得最小值。
例4用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最
大?最大容积是多少?
解：设容器的高为x，容器的体积为V，
则V=（90－2x）（48－2x）x,(0<V<24) =4x3－276x2+4320x ∵V′=12 x2－552x+4320
由V′=12 x2－552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960又V(0)=0,V(24)=0,
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．函数在[1，5]上的最大值和最小值是（ ）
A．f(1)、f(3) B．f(3)、f(5)
C．f(1)、f(5) D．f(5)、f(2)
2．函数（ ）
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
3．给出下面四个命题：
（1）函数的最大值为10，最小值为；
（2）函数的最大值为17，最小值为1；
（3）函数的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数无最大值，也无最小值.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．函数在[－1，1]上的最大值是__________.
5．当函数取得最小值时，x=_______.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数在闭区间[－1，1]上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是[a,b]上的最大值
B．若f(x)在[a,b]上有极小值，则极小值一定是[a,b]上的最小值
C．若f(x)在[a,b]上有最大值，最小值一定是x=a和x=b时取得
D．若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
3．函数在[－6，8]上的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
4．面积为S的一切矩形中，其周长的最小值是_________.
5．有一杠杆的支点在它的一端，距支点1m处挂一个49kg的物体，同时加力于杆的另一端使杠杆保持水平平衡，若杠杆本身每米重2kg，则最小力的杠杆长为_________.
三、解答题
6．求函数在[－2，2]上的最大值和最小值.
7．某工人需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌壁所用的材料最省？
参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．C 3．B
二、4． 5．7m

同步检测[※※级]
一、1．B 2．D 3．C
二、4．3 5．
三、6．解：
令，有，
解得或，
当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：
x
－2

1
(1,2)
2

+
0
－
0
+

f(x)
21
↗

↘
－6
↗
13
因此，函数f(x)在时取得最大值，最大值为；在x=1时取得最小值，最小值为－6.
7．解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长度为，
∴ ，
令，得x=－16, x=16，
∵x＞0， ∴x=16，
则当x=16时，L取得极小值，且这个极小值为函数L
在上的最小值，(米)，
即：当堆料场的宽为16米，长为米时，可使砌墙所用的材料最省.