初一数学竞赛系列讲座(15)容斥原理.doc

初一数学竞赛系列讲座(15)
容斥原理
一、 知识要点
1、容斥原理
在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：
记A、B是两个集合，属于集合A的东西有个，属于集合B的东西有个，既属于集合A又属于集合B的东西记为，有个；属于集合A或属于集合B的东西记为，有个，则有：=+-
AÇB
A
B
容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，
左圆表示集合A，右圆表示集合B，两圆的公共部分表示，两圆合起来的部分表示，
由图可知：=+-
容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、 例题精讲
例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？
分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2´1，2´2，…，2´100，共100个；
在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3´1，3´2，…，3´66，共66个；
在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6´1，6´2，…，6´33，共33个；
所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：
200-100-66+33=67(个)

例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。
解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050
1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：
2´1+2´2+…+2´50=2´(1+2+3+…+50)= 2´1275=2550
1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：
3´1+3´2+…+3´33=3´(1+2+3+…+33)= 3´561=1683
1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6´1+6´2+…+6´16=6´(1+2+3+…+16)= 6´136=816
所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和
S=5050-2550-1683+816=1633

例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
A
B
C
分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而
能被2、3、5整除的自然数，
表示既能被2整除又能被3整除的自然数
表示既能被2整除又能被5整除的自然数
表示既能被3整除又能被5整除的自然数
表示既能被2整除又能被3整除，还能
被5整除的自然数
由图可看出：属于A、B、C之一的数的个数为：
++-(++)+
解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250
不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166
不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100
不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83
不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50
不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33
不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16
由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：
250+166+100-(83+50+33)+16=366

例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。
解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100
前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：
2´1+2´2+…+2´100=2´(1+2+3+…+100)= 2´5050=10100
前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：
3´1+3´2+…+3´66=3´(1+2+3+…+66)= 6633
前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：
5´1+5´2+…+5´40=5´(1+2+3+…+40)= 4100
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6´1+6´2+…+6´33=6´(1+2+3+…+33)= 3366
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10´1+10´2+…+10´33=10´(1+2+3+…+20)= 2100
前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15´1+15´2+…+15´13=15´(1+2+3+…+13)= 1365
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30´1+30´2+…+30´6=30´(1+2+3+4+5+6)= 630
所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是
S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630

例5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
短跑
游泳
篮球
短跑、
游泳
游泳、
篮球
篮球、
短跑
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
求这个班的学生数。(第三届华杯赛复赛试题)
解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。
但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37
又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。即这个班学生数为：37+2=39。

例6 从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？(第20届全俄九年级试题)
解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，
能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。
而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909
在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923
∴m+p> n+p ∴m>n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。

例7 50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995年华杯赛试题)
分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。
解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个， 所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。
报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。
所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。
评注：若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？
可以得出一个一般的结论：

例8 已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？
解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校高中学生，C表示团员，则有：
=900，=528，=312，=670，
且=192，=336，=247，=175
这样，初中女生的非团员数是：
---+++-
=900-528-312-670+192+336+247-175= -10<0
因人数做到负数，所以数据统计有错误。

例9 从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。
分析：因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。因2002=36´55+22，说明2002是56段中的第22个数。
解：先考虑1到60的整数
在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。
又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个
因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。
因为2002=36´55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。因为第一段中的第22个数是37，所以该序列中第2002个数是55´60+37=3337。
三、 巩固练习
选择题
1、在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有( )个数。
A、20 B、26 C、30 D、40
2、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )种不同的排法。
A、14 B、13 C、12 D、11
3、从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有( )个
A、767 B、734 C、701 D、698
4、从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有( )个
A、12 B、13 C、14 D、15
5、A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90。则A、B、C的公共部分面积是( )
A、12 B、13 C、60 D、15
6、50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有( )
A、17 B、18 C、19 D、20
填空题
7、一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米。两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是 。
8、某班有学生45人，已知其次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人。则数理两科至少有一科优秀的有 人，一科都未达到优秀的有 人。
9、某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有 人。
10、一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 。
11、每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框。把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形。则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 平方厘米。
12、200以内的正偶数中与5互质的数有 个。
解答题
A
B
C
D
13、在线段AB上取两个点以C、D， 已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长。
14、求1到200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。
15、100名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？这些面向老师的学生的报数号的总和是多少？
16、求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数。
17、某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数。
18、某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：
课程
语文
数学
外语
语、数
数、外
语、外
至少一门
得满分人数
9
11
8
5
3
4
18
问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？
19、求出分母是111的最简真分数的和。
20、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。现将其顺序编号为1，2，3，…，1997。将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？