初三数学圆的基本知识知识精讲一_人教版.doc

初三数学圆的基本知识知识精讲一
一. 本周教学内容：
圆的基本知识（一）

（一）知识要点
1. 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。

圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。

两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。

2. 与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。
（2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。
（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

3. 圆与三角形、四边形、正多边形的关系
（1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。
（2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。
（3）正多边形有外接圆和内切圆。
（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。

4. 与圆有关的定理
垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。

（二）思想方法总结
1. 转化思想
能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。

量，求一个量，运用方程的思想。

（三）有关辅助线的做法
一些辅助线的添法概括如下：
遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。

【典型例题】
1.
分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，
当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，

过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，
当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，
∴∠BAC=15°
点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，

（1）求证：△ABC是直角三角形；

分析：
则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；
（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF

解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E

又∵AD=DC

∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。
（2）解：连结AE
∵DE是⊙O的直径
∴∠DAE=90°
而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA

例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）

分析：

解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

∵
在△AFB中，有AF+FB>AB

∴选A。
解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE

在△CDE中，有CD+DE>CE
∴2CD>CE
∵AB=2CD，∴AB>CE

∴选A。

例4.
求CD的长。

分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。
解：延长AB、DC交于E点，连结BD

∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

例5.
于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

分析：由题意容易想到作辅助线OC，
（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。

解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，
下面对满足条件PC=PF进行证明，
连结OC，则∠OCA=∠FAH，
∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，
∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。

即AD2=DE·DF
点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。

例6.
D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。
解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC
∴AB、DC切⊙O于点B和点C，
∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，
又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，
DE=DC+EB=4x，
在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，

点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，
（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；

（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。
解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°
∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD
（2）CO2所在直线与AD垂直，
证明：连结O2A、O2B、O2D、AC
在△AO2C与△DO2C中

∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB
∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，
∴△CAD为等腰三角形，
∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。

例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，

积S。（图中阴影部分）

分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解：

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解：

一、选择题
1. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（ ）
A. 30° B. 30°或150°
C. 60° D. 60°或120°
2. 半径不等的两圆⊙O1，⊙O2相交于A和B，现有下列结论：（1）AB平分O1O2；（2）O1O2平分AB；（3）AB⊥O1O2；（4）O1O2<O1A+O2B。上述结论中，正确的共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如果两个圆的半径分别是4cm和6cm，圆心距是2cm，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
4. 已知⊙O中的一条弦AB与直径CD垂直相交于E，并且CE=1，DE=3，那么弦AB的长等于（ ）
A. B. C. 2 D. 4
5. 若正六边形的边长为4cm，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（ ）

A. 15cm B. 20cm C. 30cm D. 60cm
7. 两圆的半径分别是R和r（R>r），圆心距为d，若关于x的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）
A. 一定内切 B. 一定外切
C. 相交 D. 内切或外切
8. 如图所示，P是直径AB上的一点，且PA=2cm，PB=6cm，CD为过点P的弦，那么下列PC与PD的长度中，符合题意的是（ ）

A. 1cm，12cm B. 3cm，5cm
C. 7cm， D. 3cm，4cm
9. 如图所示，矩形ABCD中，AB=1，AD，以BC的中点为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
10. 若圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（10×4=40分）
11. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。
12. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。
13. 若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。
14. 如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。

15. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条数是___________。
16. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。
17. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。

18. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=，则PC的长为___________。

三、解答题：
1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。

（1）求证：EF·BC=DE·AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。
2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。

3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。
（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若AB，求⊙O的半径。

[参考答案]
一、选择题：
1. B 2. C 3. A 4. B 5. D
6. D 7. D 8. D 9. D 10. B
二、填空题：
11. 100° 12. 90° 13.
14. AC=BC，
15 2
16.
17. 10
18. 30
三、解答题
1. （1）证△ACB∽△FED
（2）
2. 略
3. （1）证△PFA∽△PBE
（2）结论仍成立
△PFA∽△PBE
（3）3

用心 爱心 专心 119号编辑 12