布里渊区.ppt

2.32.3布里渊区布里渊区（Brillouin zone）一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价二、布里渊区散射条件和布里渊区二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）1 1、布里渊散射条件（、布里渊散射条件（Brillouins diffraction condition）2 2、布里渊区、布里渊区（Brillouin zone）3 3、布里渊区的性质、布里渊区的性质（properties of Brillouin zone）提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价我们再来看劳厄衍射条件我们再来看劳厄衍射条件或者或者 在在实实际际应应用用中中，用用另另外外一一种种散散射射条条件件表表示示劳劳厄厄衍衍射射条条件件会会更更方方便便一一些些。在在弹弹性性散散射射中中，光光子子的的能能量量是是守守恒恒的的，k 和和 k 的的大小相等，且有，大小相等，且有，（2.3.22.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示形式。形式。由由 有有 （2.3.1）因为因为是一个倒格矢，是一个倒格矢，也应是一个倒格矢，也应是一个倒格矢，替代替代，有有用用（2.3.2）下面我们来说明它与布拉格定律是等价的：下面我们来说明它与布拉格定律是等价的：由倒格子的性质我们已知，以密勒指数由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl）为系数构成倒格矢为系数构成倒格矢垂直于密勒指数垂直于密勒指数（hkl）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为的晶面族，而且这个晶面族的面间距为 因此因此可以写为可以写为 或者或者 其中其中是入射光与晶面之间的夹角。是入射光与晶面之间的夹角。即可以得到布拉格的结果：即可以得到布拉格的结果：来替代来替代 其实，定义倒格矢的整数其实，定义倒格矢的整数 hkl 未必就代表实际的晶面，因为未必就代表实际的晶面，因为hkl 可能包含一个公因数可能包含一个公因数m，在用，在用 hkl 作为晶面的密勒指数时，公作为晶面的密勒指数时，公因数已经消除。因此，我们可以用因数已经消除。因此，我们可以用二、布里渊散射条件和布里渊区二、布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone）1 1、布里渊散射条件（、布里渊散射条件（Brillouins diffraction condition）如图如图2.42.4所示是倒空间的二维格子。所示是倒空间的二维格子。图2.4 倒空间的二维格子O 点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波矢满足（矢满足（2.3.22.3.2）式，将（）式，将（2.3.22.3.2）式两边同除以）式两边同除以4 4，散射条件，散射条件则可写成则可写成 （2.3.3）这就是布里渊的散射条件。这就是布里渊的散射条件。容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满足散射条件。足散射条件。在图在图2.42.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面，所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面，可以得到倒格子的维格纳可以得到倒格子的维格纳赛茨（赛茨（Wigner-SeitzWigner-Seitz）原胞，因为）原胞，因为W-S W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中常采用常采用W-S W-S 原胞，而不是倒矢量原胞，而不是倒矢量 为边矢量围成的平行为边矢量围成的平行六面体作为倒格子的六面体作为倒格子的周期性结构单元。周期性结构单元。提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢发生布拉格反射的波的波矢。倒格子的倒格子的W-S W-S 原胞被称为第一布里渊区原胞被称为第一布里渊区，它的价值和意义在，它的价值和意义在于它为方程（于它为方程（2.3.22.3.2）的衍射条件）的衍射条件2、布里渊区、布里渊区 第一布里渊区第一布里渊区 根据上面的分析，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端点根据上面的分析，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端点落在这些面上时，也必然产生反射。落在这些面上时，也必然产生反射。下面举例说明一维、二维、三维晶格点阵的布里渊区。下面举例说明一维、二维、三维晶格点阵的布里渊区。（1 1）一维晶格的布里渊区）一维晶格的布里渊区 一维晶格点阵的基矢为一维晶格点阵的基矢为 对应的倒格子基矢为对应的倒格子基矢为 离原点最近的倒格矢为离原点最近的倒格矢为和和这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为如图如图2.52.5所示。所示。(2)(2)(2)(2)二维正方格子的布里渊区二维正方格子的布里渊区二维正方格子的布里渊区二维正方格子的布里渊区设方格子的原胞基矢为设方格子的原胞基矢为设方格子的原胞基矢为设方格子的原胞基矢为倒格子的原胞基矢为倒格子的原胞基矢为倒格子的原胞基矢为倒格子的原胞基矢为离原点最近的的倒格点有四个离原点最近的的倒格点有四个离原点最近的的倒格点有四个离原点最近的的倒格点有四个:b b1 1,-b,-b1 1,b,b2 2,-b,-b2 2 它们的垂直平分线围成的区域它们的垂直平分线围成的区域它们的垂直平分线围成的区域它们的垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区就是简约布里渊区就是简约布里渊区就是简约布里渊区,即第一布里渊即第一布里渊即第一布里渊即第一布里渊区区区区.显然显然显然显然,第一布里渊区是一个正第一布里渊区是一个正第一布里渊区是一个正第一布里渊区是一个正方形方形方形方形,面积为面积为面积为面积为 S S*=(2=(2)2 2/a/a2 2.二维方格子布里渊区可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为倒格矢表示为倒格矢表示为为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为 通过这四个矢量的中点通过这四个矢量的中点 分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为 通过这四个倒个是的中点，即通过这四个倒个是的中点，即分别作四个分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数目是多少，各布区的面积是相等的。目是多少，各布区的面积是相等的。（3 3）简单立方格子的布里渊区）简单立方格子的布里渊区 简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近的有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻的有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻的格点连线的垂直平分面围成的立方体。的格点连线的垂直平分面围成的立方体。对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为 原胞体积为原胞体积为对应的倒格子基矢为对应的倒格子基矢为所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。（4 4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区）体心立方结构晶体点阵的布里渊区 对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：原胞体积为原胞体积为则三个倒格子基矢为：则三个倒格子基矢为：倒格子原胞体积为倒格子原胞体积为。可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.离原点最近的倒格点有离原点最近的倒格点有1212个，它们是：个，它们是：这十二个倒格矢的中垂面围成的这十二个倒格矢的中垂面围成的区域就是第一布里渊区，区域就是第一布里渊区，如图如图2.72.7所示是一个十二面体。所示是一个十二面体。第一布里渊区种典型第一布里渊区种典型对称点的坐标为：对称点的坐标为：图2.7 体心立方正格子的第一布里渊区（5 5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区）面心立方结构晶体点阵的布里渊区 取面心立方的原胞基矢为：取面心立方的原胞基矢为：原胞体积为原胞体积为倒格子原胞基矢为：倒格子原胞基矢为：原胞体积为原胞体积为因为面心立方结构的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格点有因为面心立方结构的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格点有8 8个，它们是个，它们是其倒格矢为其倒格矢为 它们的中垂面构成一个八面体，每一个面离原点的距离为它们的中垂面构成一个八面体，每一个面离原点的距离为正八面体的体积是正八面体的体积是比倒格子的原胞体积大比倒格子的原胞体积大可见这个八面体不是第一布里渊区。可见这个八面体不是第一布里渊区。必须再考虑次紧邻的六个倒格点，倒格矢为：必须再考虑次紧邻的六个倒格点，倒格矢为：它们的中垂面截去了正八面体的它们的中垂面截去了正八面体的 6 6 个顶角，形成一个截角八面体，个顶角，形成一个截角八面体，它有八个正六边形和六个正方形，即十四面体。而截去的体积恰好是它有八个正六边形和六个正方形，即十四面体。而截去的体积恰好是可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图2.82.8所示。所示。图2.8 面心立方正格子的第一布里渊区第一布里渊区种典型第一布里渊区种典型对称点的坐标为：对称点的坐标为：3 3、布里渊区的性质、布里渊区的性质从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质：从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质：（1 1）布里渊区的形状与晶体结构有关；）布里渊区的形状与晶体结构有关；（2 2）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成；）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成；（3 3）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都相同，都等于倒格子的原胞体积。相同，都等于倒格子的原胞体积。其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-赛茨原胞，赛茨原胞，它的体积就是倒格子原胞体积。它的体积就是倒格子原胞体积。2.32.3布里渊区布里渊区（Brillouin zone）一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价二、布里渊区散射条件和布里渊区二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone）1 1、布里渊散射条件（、布里渊散射条件（Brillouins diffraction condition）2 2、布里渊区、布里渊区（Brillouin zone）3 3、布里渊区的性质、布里渊区的性质（properties of Brillouin Zone）summary The central cell in the reciprocal lattice is of special importance in the theory of solids.It is the first Brillouin zone.The first Brillouin zone is the smallest volume entirely enclosed by the planes that are perpendicular bisectors of the reciprocal lattice vectors.The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.Brillouin zone2.4 2.4 原子的形状因子和结构因子原子的形状因子和结构因子(atomic form factor and structure factor)一、散射波振幅（一、散射波振幅（Diffraction amplitude）二、结构基元的傅立叶分析二、结构基元的傅立叶分析 （Scattering from a lattice with basis）三、原子形状因子（三、原子形状因子（atomic form factor）本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因子，给出几种晶体衍射消光的条件。子，给出几种晶体衍射消光的条件。一、散射波振幅（一、散射波振幅（Diffraction amplitude）1 1、振幅的表示、振幅的表示 （express of amplitude）考虑如图所示的考虑如图所示的X X射线被固体散射的情况，入射平面波射线被固体散射的情况，入射平面波波矢为波矢为，散射平面波，散射平面波，波矢为，波矢为当入射当入射 X 射线与固体中电荷密度为射线与固体中电荷密度为 的电子相互作用时发生散射。的电子相互作用时发生散射。散射的振幅与有限体积元散射的振幅与有限体积元 dV 中的电荷中的电荷 成正比，其位相因子为成正比，其位相因子为 位相的改变为位相的改变为 （2.4.12.4.1）散射波的总振幅是散射波的总振幅是与相位因与相位因子子 的乘积在整个晶体体积内的积分，即的乘积在整个晶体体积内的积分，即 （2.4.2）散射波的强度与振幅散射波的强度与振幅的平方的平方振幅振幅 F 决定散射波的强度和衍射峰值的宽度。决定散射波的强度和衍射峰值的宽度。成正比，因此，成正比，因此，2 2、电荷密度的傅立叶展开、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性，在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性，也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即 这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢展开为傅立叶级数展开为傅立叶级数 （2.4.42.4.4）（2.4.3）其中其中 nG 是是电荷密度的电荷密度的傅立叶分量，由傅立叶逆变换给出：傅立叶分量，由傅立叶逆变换给出：这里的这里的 V 是固体的体积。是固体的体积。（2.4.5）(1)(1)一维情况下傅立叶级数一维情况下傅立叶级数 具有一维晶格周期具有一维晶格周期 a 的函数的函数 满足满足 可以展开为傅立叶级数可以展开为傅立叶级数 其中其中 p 是整数，是整数，是傅立叶系数。是傅立叶系数。（2.4.6）这个展开式可以写成更简洁的形式这个展开式可以写成更简洁的形式 （2.4.72.4.7）系数系数 由由 给出。给出。定义定义 ，可以把方程（，可以把方程（2.4.72.4.7）写成如下的形式）写成如下的形式这里，这里，g 可以看成是以可以看成是以 a 为周期的一维晶格的倒格矢。为周期的一维晶格的倒格矢。（2.4.82.4.8）式就是三维情况下的普遍形式（）式就是三维情况下的普遍形式（2.4.42.4.4）在一维情况下的具）在一维情况下的具体表现形式。体表现形式。（2.4.8）(2)(2)电荷密度的傅立叶展开式具有平移不变性电荷密度的傅立叶展开式具有平移不变性将（将（2.4.42.4.4）式中所有的）式中所有的 换成换成 ，有，有 其中用到了其中用到了，即即 的条件。的条件。所以，电荷密度傅立叶展开式具有平移不变性。所以，电荷密度傅立叶展开式具有平移不变性。（2.4.9）将（将（2.4.42.4.4）式代入（）式代入（2.4.22.4.2）式，有）式，有 如果如果 ，这里，这里 是一个特殊的倒格矢，则散射振幅为是一个特殊的倒格矢，则散射振幅为 ，否则，振幅的值就小的可以忽略。，否则，振幅的值就小的可以忽略。（2.4.10）因此，布拉格峰值的强度取决于电荷密度各自的傅立叶分量因此，布拉格峰值的强度取决于电荷密度各自的傅立叶分量二、结构基元的傅立叶分析二、结构基元的傅立叶分析 （Scattering from a lattice with basis）当晶体结构是复式格子时，原胞中包含不止一个原子，每一个原当晶体结构是复式格子时，原胞中包含不止一个原子，每一个原子在原胞中的位置是不等价的，这时必须考虑每一个原子的散射情况。子在原胞中的位置是不等价的，这时必须考虑每一个原子的散射情况。散射布拉格峰值的强度，将取决于基元中每个原子的散射波与其它原散射布拉格峰值的强度，将取决于基元中每个原子的散射波与其它原子的散射波之间干涉的程度。子的散射波之间干涉的程度。1 1、结构因子的定义（、结构因子的定义（definition of structure factor）首先我们重新写出方程（首先我们重新写出方程（2.4.22.4.2）将衍射条件下的散射振幅表示为，将衍射条件下的散射振幅表示为，其中的求和表示对所有的格矢进行。其中的求和表示对所有的格矢进行。（2.4.11）为了考虑基元中每个原子的散射情况，为了考虑基元中每个原子的散射情况，由于由于，而且，而且我们得到我们得到 这里这里 N 是固体中的原胞数是固体中的原胞数（2.4.12）（2.4.13）定义结构因子定义结构因子但是这有一个问题，因为我们不是每次都能给出同每个原子相联系的电但是这有一个问题，因为我们不是每次都能给出同每个原子相联系的电荷密度。不过这个问题不太难解决。荷密度。不过这个问题不太难解决。假定一个原胞中含有假定一个原胞中含有 s s 个原子，分别位于个原子，分别位于 处，原胞中处，原胞中处总的电荷密度可以方便地写成与原胞中与每个原子相联系的求和形式处总的电荷密度可以方便地写成与原胞中与每个原子相联系的求和形式 其中其中是第是第 j 个原子对个原子对 处电荷密度的贡献。处电荷密度的贡献。（2.4.14）2 2、形状因子的定义（、形状因子的定义（definition of form factor）上式积分遍及整个空间。如果上式积分遍及整个空间。如果是原子的一个特征参量，那么是原子的一个特征参量，那么 也应该是原子的一个特征参量。也应该是原子的一个特征参量。由方程（由方程（2.4.132.4.13）定义的结构因子，现在可以写成对一个原胞中）定义的结构因子，现在可以写成对一个原胞中s 个原子个原子 s s 个积分的求和：个积分的求和：其中其中 （2.4.15）定义原子的形状因子为：定义原子的形状因子为：（2.4.16）如果将如果将 表示为格矢的形式：表示为格矢的形式：则几何结构因子可以写成则几何结构因子可以写成即即 （2.4.182.4.18）由（由（2.4.152.4.15）式和（）式和（2.4.162.4.16）式，可以将基元的结构因子写成：）式，可以将基元的结构因子写成：（2.4.17）3 3、原胞基矢表示的结构因子、原胞基矢表示的结构因子结构因子的值不一定是实数，因为在散射强度中包含结构因子的值不一定是实数，因为在散射强度中包含项，其中项，其中 是是 SG 的复共轭。的复共轭。由上面的讨论可知，如果已知原子的形状因子由上面的讨论可知，如果已知原子的形状因子f i ，就可以由衍射强，就可以由衍射强度推出原胞中原子的排列。反之，如果已经知道原胞中原子的排列，也度推出原胞中原子的排列。反之，如果已经知道原胞中原子的排列，也可以确定衍射线加强和消失的规律。可以确定衍射线加强和消失的规律。把几何结构因子能使空间点阵所允把几何结构因子能使空间点阵所允许的某些反射抵消，称为衍射消光。许的某些反射抵消，称为衍射消光。以以 C CsCl 结构晶体的结构因子为例。对于氯化铯结构的晶体，结构晶体的结构因子为例。对于氯化铯结构的晶体，一个原胞中有一个原胞中有A A、B B两种原子，其坐标为两种原子，其坐标为A（000），），B代入（代入（2.4.182.4.18）式得到氯化铯结构晶体的几何结构因子为）式得到氯化铯结构晶体的几何结构因子为对于面指数等于奇数的那些晶面，如果对于面指数等于奇数的那些晶面，如果将完全消光。将完全消光。结晶学中选取晶胞为重复单元，以上结论仍然适用，只是晶胞结晶学中选取晶胞为重复单元，以上结论仍然适用，只是晶胞内的原子可能有相同的原子，甚至全部是同种原子。因为同种原子内的原子可能有相同的原子，甚至全部是同种原子。因为同种原子的形状因子完全相同，可能出现某些晶面完全消光。的形状因子完全相同，可能出现某些晶面完全消光。采用晶胞的情况下采用晶胞的情况下4 4、晶胞基矢表示的结构因子、晶胞基矢表示的结构因子结构因子表示为结构因子表示为下面根据（下面根据（2.4.182.4.18）计算几种常见晶体结构的衍射消光条件：）计算几种常见晶体结构的衍射消光条件：（1 1）体心立方晶格的结构因子（）体心立方晶格的结构因子（structure factor of bcc lattice）体心立方结构的晶胞中含有两个原子，其坐标可以选为（体心立方结构的晶胞中含有两个原子，其坐标可以选为（000000）和）和因为同种原子的形状因子相同，即因为同种原子的形状因子相同，即对于晶面族（对于晶面族（hkl）来说（）来说（2.4.182.4.18）式变为：）式变为：（2.4.192.4.19）在上式中，只要指数项的数值等于在上式中，只要指数项的数值等于-1，也就是说，只要其幅角是，也就是说，只要其幅角是乘上一个奇数，乘上一个奇数，SG 的值就是零。的值就是零。衍射强度为衍射强度为 所以，我们有：所以，我们有：当当当当因此，对于元素体心晶体，只要衍射面指数之和为奇数时反射消失。因此，对于元素体心晶体，只要衍射面指数之和为奇数时反射消失。比如，金属钠是体心立方结构，在其衍射图谱中将不出现（比如，金属钠是体心立方结构，在其衍射图谱中将不出现（100100），），（300300），（），（111111）或（）或（221221）谱线，但存在（）谱线，但存在（200200），（），（110110），（），（222222）或）或（211211）谱线。）谱线。（2 2）面心立方晶格的结构因子（）面心立方晶格的结构因子（structure factor of fcc lattice）面心立方结构的晶胞中含有面心立方结构的晶胞中含有4 4个原子，坐标可选为个原子，坐标可选为（000），），对于元素面心立方晶体，晶面族（对于元素面心立方晶体，晶面族（hklhkl）的结构因子为）的结构因子为 衍射强度为：衍射强度为：衍射晶面指数全部为偶数或全部为奇数时，几何结构因子都不等于零，衍射晶面指数全部为偶数或全部为奇数时，几何结构因子都不等于零，可以出现衍射谱线的晶面有（可以出现衍射谱线的晶面有（111111），（），（200200），（），（222222），（），（220220），），（131131）等，当衍射面指数部分为偶数，部分为奇数时，衍射消光。）等，当衍射面指数部分为偶数，部分为奇数时，衍射消光。三、原子形状因子（三、原子形状因子（atomic form factor）（2.4.162.4.16）式给出原子形状因子的定义，它既与原子中电子数）式给出原子形状因子的定义，它既与原子中电子数目和分布相关，又与辐射的波长和散射角度有关，它是原胞中第目和分布相关，又与辐射的波长和散射角度有关，它是原胞中第j j个原子散射本领的量度。个原子散射本领的量度。对于单个原子产生的散射辐射，要考虑到原子内的干涉效应。对于单个原子产生的散射辐射，要考虑到原子内的干涉效应。定义原子的形状因子为：定义原子的形状因子为：（2.4.16）如果电子分布关于原点呈球形对称分布，则对如果电子分布关于原点呈球形对称分布，则对在在 -1 到到 +1 之间进行积分之后，得到之间进行积分之后，得到 积分遍及与单个原子相关的电子浓度不为零的区域。积分遍及与单个原子相关的电子浓度不为零的区域。这时这时 与与 之间的夹角为之间的夹角为，则，则令令 这时，形状因子可以写成这时，形状因子可以写成 如果电子密度集中在如果电子密度集中在 处，那么只有在处，那么只有在趋近于零的情况下才对被积函数有贡献。趋近于零的情况下才对被积函数有贡献。即原子形状因子等于原子中电子的数目。即原子形状因子等于原子中电子的数目。所以，所以，f 是一个原子中实际电子分布所散射的辐射振幅与被局限是一个原子中实际电子分布所散射的辐射振幅与被局限在一个点上的一个电子所散射的辐射振幅之比。在一个点上的一个电子所散射的辐射振幅之比。并且并且 在这个极限下，有在这个极限下，有 当当X射线入射至晶体内，射线入射至晶体内，X射线的电磁波将与组成晶体的射线的电磁波将与组成晶体的原子内的电子发生相互作用，而被散射原子内的电子发生相互作用，而被散射(这里只考虑能量不发这里只考虑能量不发生相互转换的弹性放射生相互转换的弹性放射)。因为每个原子内包含有许多电子，而这些电子在空间中又因为每个原子内包含有许多电子，而这些电子在空间中又有一定分布，因此被这些电子散射的电磁波之间将发生相互有一定分布，因此被这些电子散射的电磁波之间将发生相互干涉。干涉。另外这些原子在空间中又有一定的规则分布，因此各个原另外这些原子在空间中又有一定的规则分布，因此各个原子的散射波之间的相互干涉，结果使总的散射波强度在空间子的散射波之间的相互干涉，结果使总的散射波强度在空间中形成明暗的花纹。中形成明暗的花纹。为了计算原子散射波之间的相互干涉，可以先计算出一个为了计算原子散射波之间的相互干涉，可以先计算出一个原胞内不同原子散射波之间的相互干涉，而后再计算各个原原胞内不同原子散射波之间的相互干涉，而后再计算各个原胞之间的相互干涉情况。胞之间的相互干涉情况。当分析衍射的当分析衍射的 x 射线强度在空间中的分布情况时，可以分成下面射线强度在空间中的分布情况时，可以分成下面三个步骤：三个步骤：1、先计算被一个原于内的各个电子散射的电磁波的相互干涉。、先计算被一个原于内的各个电子散射的电磁波的相互干涉。其结果常用原子散射因子（形状因子）表示，它定义为原子内所有其结果常用原子散射因子（形状因子）表示，它定义为原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅比，它的电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅比，它的大小由下式表示：大小由下式表示：式中式中 及及 A 分别表示原子散射波振幅分别表示原子散射波振幅(即原于内所有电子的散即原于内所有电子的散射波总振幅射波总振幅)及一个电子的散射波振幅，表示电子在原于内的分布及一个电子的散射波振幅，表示电子在原于内的分布密度，及分别表示入射的密度，及分别表示入射的x射线电磁波及被放射的射线电磁波及被放射的x射线电磁波的射线电磁波的波矢。波矢。2 2然后再计算一个原胞内各原于散射波之间的相互干涉。然后再计算一个原胞内各原于散射波之间的相互干涉。一个原胞的总散射波的情况可用几何结构因子表示，它定义为一个原胞的总散射波的情况可用几何结构因子表示，它定义为一个原胞内所有原子散射波振幅的几何和与一个电子散射波的一个原胞内所有原子散射波振幅的几何和与一个电子散射波的振幅比。常可表示为：振幅比。常可表示为：这里这里 是原胞的散射波振幅是原胞的散射波振幅(即是原胞内所有原子散射波即是原胞内所有原子散射波振幅的几何和振幅的几何和)。是原胞中第是原胞中第j个原子的原子散射因子，个原子的原子散射因子，是第是第j个原子的位置矢量。个原子的位置矢量。3 3最后再考虑各原胞散射波之间的相互干涉。最后再考虑各原胞散射波之间的相互干涉。因因为为晶晶体体是是由由各各原原胞胞在在空空间间中中周周期期性性排排列列而而成成，而而它它的的排排列列情情况况完完全全可可由由布布喇喇菲菲格格子子来来表表示示，因因此此各各原原胞胞散散射射被被之之间间的的相相互互干干涉涉加加强强条条件件即即是是布布喇喇菲菲格格中中被被各各格格点点散散射射的的散散射射波波之之间间的的干干涉涉加加强强条条件件。它它们们由由劳劳厄厄方方程程或或布布拉拉格格反反射射条条件件决定。决定。2.4 2.4 原子的形状因子和结构因子原子的形状因子和结构因子(atomic form factor and structure factor)一、散射波振幅（一、散射波振幅（Diffraction amplitude）二、结构基元的傅立叶分析二、结构基元的傅立叶分析 （Scattering from a lattice with basis）三、原子形状因子（三、原子形状因子（atomic form factor）