第2讲.相似三角形.学生版.doc

板块一、相似三角形的判定及性质
【例1】 （2007年北师大附中期末试题）如图，、是的边、上的点，且，求证：.

【巩固】如图，在中，于，于，的面积是面积
的4倍，，求的长.

【例2】 （重庆市中考题）如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接 （）.
（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.
（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.

【例3】 如图，已知梯形中，，，,,(),,交于点，连接.
（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.
（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.

【例4】 （厦门市中考题）中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.

【例5】 （2007年北师大附中、2004年四川省乐山市中考试题）
如图，已知中，，，，，点在上，与点、不重合，在上.
（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；
（2）当的面积与四边形的周长相等时，求的长；
（3）试问：在上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要的说明理由；若存在，请求出的长.

【巩固】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形和均为正方形，求
_________.

【例6】 如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．
⑴ 当为何值时，为等腰直角三角形？
⑵ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
⑶ 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．

【巩固】如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。

板块二、相似中的角平分线问题
【例7】 如图，是的角平分线，求证：

【变式1】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：

【变式2】已知条件同变式1，求证：

【例8】 已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：

【巩固】已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.

【例9】 已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若
求证：、与成等角.

【例10】 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.
⑴ 证明：是定值；⑵ 求的最小值

【巩固】在中，，平分交于点，求证：

板块三、型结论的证明
【例11】 （2002宁夏中考试题）如图，直角中，，，证明：，，.

【例12】 （2007年北师大附中试题）如图，中，于，于，
于，交于，、的延长线交于点，求证：.

【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图，，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。

【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：（1）；（2）。

【例13】 （据06淄博市中考题改编）已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：．

【巩固】上题中，将等边改为一般等腰三角形（），在不添加辅助线的条件下：
⑴ 当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)．
⑵ 证明你的结论．

【例14】 如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，
求证：．

【例15】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：．

【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，
求证：平分．

板块四、三角形内接矩形问题
【例16】 已知，如图，中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

【变式1】⑴ 若将例题中正方形改为矩形，，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思路即可）
⑵ 若例题中的三角形不是直角三角形，且，则正方形的边长为多少？

【变式2】同例题图，四边形为正方形，在线段上，在上，如果
，，求的面积．

【例17】 (2007年内江)如图，在中，，，，动点 (与点，不重合)在边上，∥交于点．
⑴ 当的面积与四边形的面积相等时，求的长．
⑵ 当的周长与四边形的周长相等时，求的长．
⑶ 试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

【习题1】 （2008年湖北省荆州市）如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为 （　　）
A． B． C． D．

【习题2】 如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．
⑴ ，
⑵ ．

【习题3】 如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间
．
⑴ 当为何值时，为等腰直角三角形？
⑵ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
⑶ 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．

【备选1】 如图，中，，于为的中点，的延长线交于．
求证：．

【备选2】 如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？

【备选3】 （07扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点
出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
⑴ 若厘米，秒，则______厘米；
⑵ 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A