北京市东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科.doc

东城区2010-2011学年度第一学期期末教学继往统一检测
高三数学 （文科）
学校_____________班级________________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设全集，集合，，则集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）在等差数列中，若，，则的值为
（A） （B）
（C） （D）
（4）直线过点且与圆交于两点，如果，那么直线的方程为
（A） （B）或
（C） （D）或
（5）已知，为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）设，，，则
（A） （B）
（C） 　 （D）
（7）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴相交于点，若△（为坐标原点）的面积为，则抛物线方程为
（A） （B）
（C）或 （D）或
（8）已知函数的定义域为R，若存在常数，对任意，有，则
称为函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数均有　．其中是函数的序号为
（A）①②④ （B）②③④
（C）①④⑤ （D）①②⑤
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知为第二象限角，且，则 ．
（10）已知向量，满足：，则与的夹角为　　　　；
．
（11）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
6
4
正（主）视图
2
侧（左）视图
俯视图
2
2

（12）如果实数满足条件那么的最大值为 ．
（13）设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
（14）已知函数（其中为自然对数的底数，且），若，则实数的取值范围是　　　　　　　　．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值及的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）
在公差不为的等差数列中，，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和公式.

（17）（本小题共14分）
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面．

(18)（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

（19）（本小题共14分）
已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若以为直径的圆过原点，求直线方程．

（20）(本小题共13分)
已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，有．
(Ⅰ) 判断集合是否具有性质；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求证：．

东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）B （4）D
（5）A （6）B （7）D （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）；
（11） （12）
（13） （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）

. ……………………6分
可知，且函数的最小正周期为．…7分
（Ⅱ）由可得，．
　　　所以，当，即时，有最大值，最大值为；
　　　当，即时，有最小值，最小值为．………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设数列的公差为，又，
可得，， ．
由，，成等比数列得，
即，
整理得， 解得或．
由,可得．
，
所以． ……………………6分
（Ⅱ）由，，可得.
所以．
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列． ………………12分
所以的前项和公式为．…………13分
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）取中点，连结．
N
在△中，分别为的中点，
所以,且．
由已知，，
所以，且．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又因为平面，且平面，
所以平面． ……………………7分
（Ⅱ）因为为正方形，
所以．
又因为平面平面，且平面平面．
又因为平面，
所以平面．
所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．……………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由，
可得．
令，解得．
因为当或时，；当时，，
所以的单调递增区间是和，
单调递减区间是．
又，，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值． ……………………6分
（Ⅱ）．
由已知对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，
即 对于任意恒成立.
因为，所以（当且仅当时取“=”号）．
所以的最小值为2．
由，得，
所以恒成立时，实数的取值范围是．……………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意：，．
所求椭圆方程为．
又点在椭圆上，可得．
所求椭圆方程为． ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，椭圆右焦点为．
因为以为直径的圆过原点，所以．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为．
直线交椭圆于两点，
，不合题意．
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为．
由可得．
由于直线过椭圆右焦点，可知．
设，
则，
．
所以．
由，即，可得．
所以直线方程为． ……………………14分
（20）(共13分)
(Ⅰ)解：由于，，，
，，，
所以集合具有性质． ……………………4分
（Ⅱ）证明：依题意有，又，
因此．
可得．
所以．
即． ……………………8分
（Ⅲ）证明：由(Ⅱ)可得．
又，可得，因此．
同理，
可知．
又，可得，
所以均成立．
当时，取，则，可知．
又当时，．
所以． ……………………13分