高三文科数学054.doc

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期数：0512 SXG3 054
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇三十九 高三文科数学总复习三十四
———椭圆

【高考命题趋势】
圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高中数学的重要内容，是学习高等数学的必备基础.因而是高考长考不衰的重点、热点之一，题型、题量、难度、分值等方面均风格独特、地位突出，每届试题三大题型都有一个小题分别考查椭圆、双曲线和抛物线.选择题、填空题通常为容易题或中等题，考查圆锥曲线的标准方程、平移式和几何性质.解答题常为难度较大的把关题或压轴题，并多以直线与圆锥曲线的位置关系为主要载体，综合考查圆锥曲线与直线的基础知识与方法，考查方程思想，数形结合，等价转换，分类讨论等基本数学思想方法及画图，逻辑推理，合理运算，分析问题与解决问题的能力.其次是以圆锥曲线为载体考查曲线方程或动点轨迹（整体或部分），充要条件及解析几何的定值，最值问题，范围问题或关系证明.但两圆锥曲线的交点问题不再要求.
椭圆是教材重点研究的圆锥曲线，是解析几何各种题型和技巧的重要载体.历届试题几乎涉及椭圆所有的基础知识，新一届试题仍将保持这一风格，且可能有以椭圆为载体的综合题，以椭圆为数学模型的应用题或探索题.
【应用举例】
例1 是椭圆的焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为________.
分析一：由三角形面积公式作高构造直角三角形求解.
解法一：作F2Q⊥PF1于点Q，设，
则，
∴，
又Rt△F1PF2中，根据勾股定理得
，得mn=4，
而.
分析二：三角形面积公式之二即面积正弦定理，借助定义与余弦定理，求出而得解.
解法二：设，
则∴，
在△F1PF2中，据余弦定理有
，
即，∴mn=4,
∴.
☆点拨解疑
注意隐含条件的挖掘应用.
解法三：以椭圆上任一点和焦点构成的三角形，称为焦点三角形，面积公式为.（为|PF1|与|PF2|所成的角∠F1PF2），故对本题.
☆点拨解疑
焦点三角形面积的常见求法，双曲线类似结论为.
分析三：应用三角形内切圆性质，设三角形半周长为P，内切圆半径为r，则.
解法四：设，作的内切圆、C点为切点，如图，则有，
∴，
又则，
∴，
∴.
☆点拨解疑
三角形内切圆、外接圆（内心、外心）等基本图形是近几年高考的冷点，冷久必热，应加以重视.
例2 椭圆的离心率为，相应于焦点(3,0)的准线方程为x=9，求这椭圆方程.
分析一：椭圆标准方程只需两个独立条件即可，现有三个条件，则一种可能隐含所求椭圆中心不在原点，故用统一定义求轨迹或考虑中心不在原点的方程的平移式用待定系数法求解；另一种可能三个条件中只有两个独立条件，解联立方程组即可验证.
解法一：据椭圆定义有，
∴，
∴，
∴.
解法二：据已知椭圆中心在x轴上，设为(h,0)，
则椭圆方程可设为，
则，
得，
∴椭圆方程为.
☆点拨解疑
由基本量求非标准形式的圆锥曲线方程有一定的迷惑性，是对死记硬背学生的一个打击，请注意体会.
例3 设P为椭圆上任意一点，F2为其一焦点，证明以F2P及椭圆长轴为直径之两圆必相内切.
分析：证明两圆内切，即证圆心距为半径之差，用数形两种思路加以证明.
证明一：设椭圆方程为，
椭圆上任一点P坐标为，则以F2P为直径的圆的圆心O的坐标为，半径长为，且
，
又∵，
∴两圆半径之差为，
∴两圆相内切.
证明二：连结，
∵为的中位线，
∴，
又∵，
设，则，
∴，即圆心距等于半径之差，∴两圆必相内切.
☆点拨解疑
焦点有关问题联想到定义通常较为简便，双曲线也有类似性质：双曲线上任一以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相外切.
例4 设为椭圆上任意一点，过点A作一条斜率为的直线l，设d为原点到直线l的距离，分别为点A到椭圆两焦点的距离，试证明：为常数.
分析：与焦点有关的问题常用定义或焦点有关的衍生知识，如焦半径公式解题.
证明：∵，
∴，
直线l方程为，即，
又点A在椭圆上，∴，
∴l的方程为，
∴，
∴为常数.
☆点拨解疑
圆锥曲线的焦半径（曲线上任一点与焦点连成的线段）公式可简化计算.一般地，设为圆锥曲线上任一点，表示到左焦点的焦半径，表示到右焦点的焦半径.有下列结论：

，
点P在右支上，，
点P在左支上，，

注：上表为焦点在x轴上的情形，若焦点在y轴上，相应地将换成即可.
例5 椭圆的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的横坐标的取值范围.（2000年全国高考题）
分析一：因直径所对的圆周角为直角，而直角是锐角，钝角的交界点，联想到圆来解题.
因为∠F1PF2=90°的充要条件是，
即，∴P点在圆上，
又P点在椭圆上，得到界点（即交点）.
解法一：以O为圆心，C为半径作圆，解方程组得交点横坐标为，又同圆中同弧所对的顶点在圆内的角大于顶点在圆周上的角大于顶点在圆外的角，故当P在椭圆和圆的交点间的上下两段椭圆弧上时∠F1PF2为钝角，∴.
☆点拨解疑
此为一道填空题，注意应用运动与变换的思维过程，解题的方法与技巧是今后命题的一种趋势，这样解题可避免较大的运算量且一般较为简便.另外还有一些解法，同学们可想想并作比较.
解法二：设椭圆上点，
则，
由PF1到PF2的角公式，得，
得，
∴.
解法三：因△F1PF2为焦点三角形，则，
令，则因为∠F1PF2为钝角，∴，
∴，
∴，
又，∴.
☆点拨解疑
与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：
①不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围.
②函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
例6 设椭圆，过点P(0,3)的直线l顺次交椭圆于A、B两点.（1）求的取值范围；（2）是否存在这样的直线l使得以弦AB为直径的圆恰好过原点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由.
（1）解法一：设直线l方程为y=kx+3，联立方程组
消去y得，
由△＞0得，
设A在B上方，设，
∵，
∴，则
∴，
∴，
l与y轴重合，此时，则.
☆点拨解疑
本题是两根之商的一种处理方法，还经常配对成转化为两根和积处理.
解法二：设直线l方程为（t为参数）代入椭圆方程，
得，
∴，
∴由，得，
设，∴，
∵，
∴，
∴，又，∴.
解法三：设P到椭圆上点的距离为d,
则，
∴当y=－2时， y=2时, ,
∴的最小值为，
当A、B重合时，，∴.
（2）∵OA⊥OB，∴，
又，
∴，
∴，
∴，∴，
∴直线l存在，方程为.
【强化训练】
一、选择题
1．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．双曲线一支 D．抛物线
2．将椭圆绕其左焦点按逆时针方向旋转90°所得的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上如果线段PF1的中点在y轴上，那么 是的（ ）
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
4．椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么P的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．表示的曲线是（ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线一部分 D．椭圆一部分
二、填空题
6．椭圆方程为，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆上有不同两点关于该直线对称，则m的范围是________.
7．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且焦点在x轴上，点P到两焦点的距离分别为 和，且点P与两焦点连线所成的角的平分线交x轴于Q(1,0)，则椭圆方程为_______.
8．已知P为椭圆上一点，F1，F2为焦点，若∠F1PF2=75°，∠PF2F1=15°，
则离心率为________.
9．点P(－3,0)是圆内一定点，动圆m与已知圆相内切且过P，则圆心M的轨迹方程为________.
10．如图，，△ABF的面积，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆标准方程为________.

三、解答题
11．已知椭圆内有一点P(1,－1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，求点M的坐标.
12．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，与y轴交于M点，且点M分的比为2.
（1）若，求离心率e的范围；
（2）若，且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆方程.
参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D
二、填空题
6．
7．
8．
9．
10．
三、解答题
11．解：过M作右准线l的垂线于N，则，
∴
（过P作l的垂线交椭圆于MO，交l于NO），
∴取点时，最小，
又P(1,－1)，故纵坐标为－1代入得.
12．解：（1）设，
又B分BF的比为2，
∴，∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2），椭圆，
将代入得，
∴，
又右准线x=4c，
∴弦中点到右准线距离为，
∴，
∴,
∴.