高考名师预测数学试题：知识点06函数与导数.doc

高考猜题
专题06 函数与导数

甘肃天水市第一中学（741000）

一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
1．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 （　　 ）
Ａ．53 B．54　　 C．35 D．45
2．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A．　5 B．　4 C．　3 D．　2
3 已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
A. B. C. D.

4．若函数在区间[—1，1]上没有零点，则函数的递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．若定义运算（*b）=则函数（3x*3-x）的值域是 （ ）
A．（0，1） B．[1，+∞] C．（0．＋∞） D．（-∞，+∞）
6．设在内单调递增，函数不存在零点则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，
，则有 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

9．设，则的值为 （ ）
A． B． C． D．

10、 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 （ ）
A．　　　 B．　　 C．　　 D．
12．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设
，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．设，则曲线在处切线的斜率为 .

14．若函数f（x）＝x3－3bx＋b在区间（0，1）内有极小值，则b应满足的条件是 ；

15 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为 .
16、在下列四个函数、 、 、中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，恒成立”的只有 .

三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17．已知函数
（I）若函数在时取到极值，求实数的值；
（II）试讨论函数的单调性；
（III）当时，在曲线上是否存在这样的两点A，B，使得在点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由．

18、已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）

19．（本题满分12分）设函数。
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点。

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝loga是奇函数（a>0，a≠1）。
（Ⅰ） 求m的值；
（Ⅱ） 求f′（x）和函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ） 若当xÎ（1，a－2）时，f（x）的值域为（1，＋¥），求实数a的值。

21．（本小题满分12分）
已知函数的导函数,数列的前项和为,点均在函数的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式及的最大值;
(Ⅱ)令,其中,求的前项和.
22．(本小题满分12分)
设函数.
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得

成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

答案

一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
1．B 解析：，∴点点切线的斜率，其切线方程为：
，其在轴上的截距分别为2，，
∴切线与坐标轴围成的三角形的面积．故选B．

2答案．D　　提示：由题意至少可得f（0）=f（2）=f（-2）=f（3）=f（-3）=f（-5）=f（5）=f（1）=f（4）=0,即在区间（0，6）内f（x）=0的解的个数的最小值是5,选（D）

3 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝故选A
4．C 解析：由题意，，解得，故。由解得，所以的递减区间是

5答案．解析:A．当x>0时;（3x*3-x）=3-x, 当x=0时，（30*30）=30=1,
当x<0时，（3x*3-x）=3x, 故选A．

6．【解析】B 在内单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即，即；不存在零点，则，即。故成立不一定成立，成立一定成立，故是的必要不充分条件。正确选项B。
7．【解析】A 当时，，故函数在单调递减，，，，
故，即。正确选项A。或者根据图象的对称性，离距离近的函数值大解决。

8．B 解析：，则，又，解得
，所以，，由在区间上单调递减知，解得。

9．解析:C

，故选C．

10 答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。

11．【解析】A 由已知，而，所以，即切线斜率为，又，故，故曲线在点处的切线方程为，即，故选A。
12．A
解析：∵函数是偶函数 ∴
∴函数的图像关于对称。由时，恒成立可知：函数在上单调递增，则在上单调递减。于是。

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．
解析：=，于是曲线，
，∴在处切线的斜率为：。
14．解析：填（0，1），因为f '（x）的图象是开口向上的抛物线，在“f '（x）＝0的大根x0处”当x从x0左侧变化到x0右侧时，f '（x）的值“由负变正”，所以大根x0应为函数f（x）的极小值．
因为f '（x）＝3x2－3b．令f'（x）＝0，得x＝±，函数f（x）在区间（0，1）内有极小值即“f '（x）＝0的大根” ∈（0，1），所以b∈（0，1）．
15 答案 8
16解析：当时， ，
所以恒成立，填

三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17． （ ）
（I）∵函数在时取到极值
∴ 解得
经检验函数在时取到极小值（不检验扣1分）高/考/资*源*网
∴实数的值－2
（II）由得或
①当时，
由得
由得
∴函数得单调增区间为 ，单调减区间为
②当时，，同理可得函数得单调增区间为，单调减区间为
（II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则即解得或
∴A,B
又线段AB与x轴有公共点，∴，
即 又，解得
所以当时，存在满足要求的点A、 B．

18、解：（理）（1）f′(x)=－+a=
(i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。
（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。
∴f(x)在R上单调递减。
(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜
由f′(x)＜0可得x＞或x＜
∴f(x)在[，]单调递增
在（-∞，]，[上单调递减。
综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。
（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。
当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)
∴ln（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x
∴ln[（1+）（1+）……(1+)]
=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
＜=1-+-+…+=1-＜1
∴（1+）（1+）……(1+)＜e

19．【解析】（1），若函数是定义域上的单调函数，则只能在上恒成立，即在上恒成立恒成立，令，则函数图象的对称轴方程是，故只要恒成立，即只要。（5分）
（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，
故时，函数无极值点；
当时，的根是，
若，，此时，，且在上，
在上，故函数有唯一的极小值点；（7分）
当时，，此时，
在都大于，在上小于 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点．（11分）
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。（12分）

20．解析：（Ⅰ） 依题意，f（－x）＝－f（x），即f（x）＋f（－x）＝0，
即loga＋loga＝0，
∴∙＝1，m2x2－1＝x2－1，1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1（不合题意，舍去）
当m＝－1时f（x）的定义域为＞0，即xÎ（－¥，－1）∪（1，＋¥），
又有f（－x）＝－f（x），
∴m＝－1是符合题意的解 （3分）
（Ⅱ） ∵f（x）＝loga ，
∴f′（x）＝（）′logae＝∙logae＝logae （5分）
① 若a>1，则logae>0
当xÎ（1，＋¥）时，1－x2<0，∴f′（x）<0，f（x）在（1，＋¥）上单调递减，
即（1，＋¥）是f（x）的单调递减区间；
由奇函数的性质，（－¥，－1）是f（x）的单调递减区间
② 若0<a<1，则logae<0
当xÎ（1，＋¥）时，1－x2<0，∴f′（x）>0，
∴（1，＋¥） 是f（x）的单调递增区间；由奇函数的性质，
（－¥，－1）是f（x）的单调递增区间 （8分）
（Ⅲ） 令t＝＝1＋，则t为x的减函数
当xÎ（1，a－2）（1，＋¥），即当1<a－2时，
有a>3，且tÎ（1＋，＋¥）要使f（x）的值域为（1，＋¥），
需loga（1＋）＝l，解得a＝2＋

21．解:(Ⅰ),
由得:,所以
又因为点均在函数的图象上,所以有
当时,
当时,，
令得,当或时,取得最大值
综上, ,当或时,取得最大值
(Ⅱ)由题意得
所以,即数列是首项为,公比是的等比数列
故的前项和………………①
…………②
所以①②得：

22．解:(I)函数的定义域为.　　
当时，，∴.
由得.
，随变化如下表:

减
0
增

-
极小值
+
由上表可知，，没有极大值.
（II）由题意，.　　
令得，.　　　
若，由得；由得.　
若，
①当时，，或，；，.
②当时，.
③当时，，或，；，.
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；
当时，函数的单调减区间是,
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.
(Ⅲ) 当时，，.
∵，∴.　　
∴，.　
由题意，恒成立.
令，且在上单调递增，
，因此，而是正整数，故，
所以时，存在，时，对所有满足题意.
∴.　

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