一元二次方程的解法------因式分解法.doc

第二章 二次函数
课标要求：
1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
2)会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
3）会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。
4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的进似解。

教材分析：
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章的求最大利润、最大面积等问题；它的图象抛物线形状在建筑上也有广泛的应用，如抛物线形拱桥、隧道等；它还是一种非常基本的初等函数，它的学习，为学生进一步学习函数，体会函数思想奠定基础、积累经验。本章通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、广泛联系多学科的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。同时，还安排了大量的探究活动，通过学生之间的合作交流，获得相应的知识和技能，积累应用函数解决问题的经验。

学情分析：
1）学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
2）学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

教学目标：(单元)
1）经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
2）能用表格，表达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力，能据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。
3）会作二次函数的图象，能据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。
4）能据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
5）理解一元二次方程和二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的进似解。
6）能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。

2．1二次函数所描述的关系
教学目标（课时）
知识与技能：理解掌握二次函数的定义，并能运用它判别一些关系式是否是二次函数关系。
能够表示简单变量之间的二次函数关系，并利用尝试求值的方法解决实际问题
过程与方法：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
能够表示简单变量之间的二次函数关系，并利用尝试求值的方法解决实际问题
情感态度价值观：情境探索，增加学生求知欲；把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的联系及对人类历史发展的作用；并通过相互交流合作，与人进行思维交流，从而培养其合作意识。

教学重点：二次函数的概念及应用
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验

教学方法与手段：讨论探索法（教学中，让学生通过观察、思考、合作、讨论、交流、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。）

使用教材构想：引导学生通过分析实际问题（探究橙子的数量与橙子树之间的关系）从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。

教学过程
一、复习回顾：（3分钟）——（生口答,师板书）
1、什么叫函数？
2、大家还记得我们学过哪些函数吗？还记得这些函数的一般形式吗？
函 数
变量之间的关系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
反比例函数
正比例函数y=kx(k≠0)

设计意图：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
二、情境探索
1、生阅读课本37页，思考并回答下列问题：（5分钟）
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)设果园增种x棵橙子树，则果园共有多少棵橙子树？平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）判断上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
设计意图：为了让学生经历数学化的过程，同时为降低难度，将问题进行了简化或理想化的处理，即为了让学生能较顺利地完成数学建模的过程，同时感受二次函数与生活的密切联系，为下面的学习作了一个引子。
预见性问题：这是一个开放性的问题，答案不唯一，只要合理就应予以肯定。
措施：1）先独立思考 2）再互相交流，补充 3）叫三名C生回答 4)A,B生纠错
2、课本38页 想一想（3分钟）

Y/个
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X/棵
如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？
设计意图：这是学生自然会想到的问题，但还不能完全解决这一问题。鼓励生用自己的方法解决问题，再通过数值统计的方法得到猜想，为学习二次函数最值问题埋下伏笔。
预见性问题：部分学生不能完全解决这一问题
措施：1）安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，
2）鼓励生用自己的方法解决问题，叫A生交流展示，再通过数值统计的方法得到猜想，问题的最后解决可据学情而定。
3）在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象，了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用(求最值)

3、生阅读课本38页 做一做（5分钟）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？若是，是什么函数？
设计意图：设计这一情境是为了让学生体会数学源于生活，又服务于生活的理念，这里不考虑利息税，是为了降低列式的复杂程度。
预见性问题：学生对有关储蓄问题中的本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉且数量关系模糊不清，导致写不出表达式。．
措施：1）师生一起回顾储蓄问题中的概念及数量关系：
本金是存入银行时的资金， 利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，
本息和就是本金和利息的和． 利息＝本金×利率×期数(时间)．
2）小组内交流，总结，叫B生展示，
3）小组内兵教兵，互查。
四、归纳总结（4分钟）
从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
小结：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
设计意图：培养学生的由特殊到一般，由具体到抽象的归纳概括能力。
预见性问题：学生缺乏概括能力。
措施：小组合作交流，互相补充，全面掌握知识。
五、反馈检测(2分钟)——（口答）
设计意图：检查落实学生对基本概念是否掌握。
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr² (3) s=3-2t²

(5) y=(x+3)²-x² (6) y=3(x-1)²+1;

2.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
六、深入探究：(5分钟)
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式右边自变量的最高次数为2,可没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？
设计意图：针对学生检测中存在的问题，需进一步强化对概念的掌握和应用，故而设置了问题串，让学生通过探讨进一步加深对概念的理解。
措施:小组讨论,选B生展示交流,其他学生纠错,补充,最终达到对二次函数概念的深刻理解掌握与应用.
七、强化训练：（4分钟）——（口答）
设计意图：再次落实学生对双基的掌握情况，看学生是否进一步明确二次函数的概念和深刻体会二次函数所描述的关系。
1．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
2.如果函数y=（K-3） +kx+1是二次函数,则k的值一定是______.
八、知识梳理：（3分钟）
设计意图：培养学生的归纳概括能力，让学生明白每节课都要有所得，也要清楚自己的不足。
措施:小组总结,交流
（一）本节课你有哪些收获？
1.二次函数的概念
注意：任何二次函数的关系式都可化为一般式：y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数）;a，b，c的取值要求;等号右边一般按自变量的降幂排列。
2.二次函数：y=ax2＋bx＋c的特征
等号左边是函数y，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2
a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
3.判定一个函数为二次函数的方法步骤
1)先将函数进行整理,使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量
2）判定右边含自变量的代数式是否为整式
3）判定含自变量的项的最高次数是否为2
4）判定二次项的项系数是否为0
（二）你还有哪些困惑？

节节清
必做题
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，

b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2. 下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
3．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
4．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，则菱形的面积S与对角线a的关系为 。
5．圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,面积增加ycm²,写出y与x之间的函数关系表达式.

提高题
某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？

板书设计
变量之间的关系
函 数
一次函数
y=kx+b (k≠0)
反比例函数
正比例函数y=kx(k≠0)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
①y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).

课外作业
1. 下列函数中,二次函数的个数有（ ）① ② ③ ④ ⑤y=（x＋3）2－x2；⑥y=＋x ⑦y=3（x－1）2＋2；
A 2个 B 3个 C 4个 D 5 个
2．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
3．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
(第3题) (第5题)
4．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？
5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
教学反思
1．给出表格让学生探索，好比学生被牵着鼻子，沿着老师预设的思维进行思考和探究，这样做不仅限制了学生的思维，而且使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，不使用计算器，放手让学生自主探索，学生也能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，还考察了学生数学解题思想方法的应用。如：①发现计算量较大，所以采用计算器，不笔算，体现了现代教学方法的便捷性。②函数与方程的联系，令－5x2+100x＝0，解得x1＝0，x2=20，取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算思想，分段取值，逐步逼近。③发现变与不变的关系，60000是常量，进而用配方法去研究－5x2+100x的值的大小。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。在学习第二次函数的图象时，学生能自然地想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习形象、直观，不再抽象难懂。
2．在小组讨论探究之前，应留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问（尤其在深入探究环节）。另外，教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对学困生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
3.知识的落实需循序渐进，先反馈检测，发现问题，组织学生进一步深入探究，再强化训练，使学生把知识细化，深化，从而全面掌握。最后通过节节清，再次检测学生对知识的达标情况，使老师对全体学生的学情有一个整体印象与把握，对下一步的教学安排做到心中有数。
教师简介
我叫齐巧爱，是清徐县清源镇中学一名数学教师，二00一年被评为中学二级教师。在教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，训练为主线的思想为指挥棒，以三维目标为终极目标，面向全体学生，以差生为本，分层优化，落实到位，问题引领，以学定教，让学生动起来，课堂活起来，效果好起来。通过努力，教学上也取得了一些成绩：论文曾两次分别获省二、三等奖；二00五年在县教学设计评比活动中获二等奖；二00八年被评为县优秀班主任，在公开课赛讲中荣获县教学能手的荣誉；二00九年在山西省第十一届中小学多媒体教育软件评选活动中获初中组三等奖。我的座右铭：生命不息，“战斗”不止。
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