2013年广州市一模理科数学及文科数学试卷含答案(word版)).doc

2013年广州市一模数学理科试卷
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔
将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A，B相互独立，那么.
线性回归方程中系数计算公式，
其中表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集，集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，其中a,b是实数，i是虚数单位，则a+bi=
A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i
3.已知变量x,y满足约束条件，则的最大值为
A.-3 B .0 C.1 D.3
4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是
A. B. C. D.
5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A.2 B.1 C. D.
6.函数是
A.奇函数且在上单调递增
B.奇函数且在上单调递增
C.偶函数且在上单调递增
D.偶函数且在上单调递增
7.已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m，一艘客船从码头A出发匀速驶往
河对岸的码头B.已知，水流速度为2km/h，若客船行驶完航程所用最短时
图2
间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为
A.8km/h B.
C. D.10km/h

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9-13题）
9.不等式的解集是_________.
10.
11.某工厂的某种型号机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有下表的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.

12.已知，函数，若函数在区间[0,2]上的最大值比
最小值大，则a的值为________.
13.已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分，则
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点，点B在直线上
运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为______.
15.（几何证明选讲选做题）
如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O
交于点D，若BC=3，，则AB的长为______.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分） 已知函（其中）的最大值为2，最小正周期为8．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O坐标原点，求的
面积.

17.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

0
1
2
3
P

a
b

(1)求至少有一位学生做对该题的概率；
(2)求m,n的值；
(3)求的数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，是边长为2的等边三角形，
平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点.
(1)求证：CE//平面A1BD；
(2)若H为A1B上的动点，当CH为平面A1AB所成最大角的正切值为
时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.

19.（本小题满分14分）
已知数列的前n项和为Sn，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断
是否成等比数列？并说明理由.

20.（本小题满分14分）
已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线交于B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为，且与交于点P.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)是否存在满足的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）
已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数.设.
(1)求a的值；
(2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
(3)若m=1，且x>0，求证：

2013年广州市一模数学理科试卷
参考答案

试卷类型：A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）
2013．3
本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.
锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则复数i的虚部为
A． B． C． D．
2．设全集，集合，，则
A． B．
C． D．
3．直线与圆的位置关系是
A．相离 B．相切
C．直线与圆相交且过圆心 D．直线与圆相交但不过圆心
4．若函数是函数的反函数，则的值是
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，且，则实数的值为
A． B． C． D．
6．已知变量满足约束条件则的最大值为
A． B． C． D．
7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A． B. C. D.
8. 已知函数，为了得到函数的图象，
只要将的图象
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9．“”是“一元二次不等式的解集为R”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设函数的定义域为，如果，使
为常数成立，则称函数在上的均值为. 给出下列四个函数：①；
②；③；④, 则满足在其定义域上均值为的函
数的个数是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．函数的定义域是

12．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：

2
3
4
5
6

2.2
3.8
5.5
6.5
7.0

根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．
13．已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则 ， .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最
短时，点的极坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）
如图2，是的直径，是的切线，与交于点，
若，，则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.

17．（本小题满分12分）
沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍.
（1）求,的值；
（2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间
上的果树至少有一株被抽中的概率.

18．（本小题满分14分）
如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，，
，平面，点为的中点.
（1）求证:平面；
（2）求证：；
（3）若，求点到平面的距离.

19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）求满足的最大正整数的值.

20．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）
已知N，设函数R.
（1）求函数R的单调区间；
（2）是否存在整数，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
C
B
C
A
D
B
C

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11． 12． 13．， 14． 15．
说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．
② 第14题的正确答案可以是：Z.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：∵的最大值为2，且，
∴. ……………1分
∵的最小正周期为，
∴，得. ……………3分
∴. ……………4分
（2）解法1：∵， ……………5分
， ……………6分
∴. ……………7分
∴. ……………10分
∴.……12分
解法2：∵， ……………5分
， ……………6分
∴. ……………8分
∴. ……………10分
∴. ……………12分
解法3: ∵，……………5分
，……………6分
∴. ……………7分
作轴, 轴,垂足分别为,
∴,. ………8分
设,
则. ……………10分
∴.………12分

17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）
（1）解:样本中产量在区间上的果树有（株），…………1分
样本中产量在区间上的果树有（株），
……………2分
依题意，有，即.①…………3分
根据频率分布直方图可知， ② …………4分
解①②得:. ……………6分
（2）解：样本中产量在区间上的果树有株，分别记为
， ……………… 7分
产量在区间上的果树有株，分别记为. … 8分
从这株果树中随机抽取两株共有15种情况：，

，. ……………10分
其中产量在上的果树至少有一株共有9种情况：
，. ………11分
记“从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，产量在区间上的
果树至少有一株被抽中”为事件，则. ……………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
(1)证明:连接，与相交于点, 连接，
∵是平行四边形，
∴是的中点. ……………1分
∵为的中点，
∴. ……………2分
∵平面,平面,
∴平面. ……………3分
(2)证明:∵平面，平面，
∴. ……………4分
∵，，
∴

. ……………5分
∴.
∴. ……………6分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………7分
∵平面，
∴. ……………8分
（3）解：取的中点，连接，则且.
∵平面，，
∴平面，. ……………9分
在Rt△中，，，
∵,,
∴.
在Rt△中，.
在△中，，为的中点,
∴.
在Rt△中，.
在Rt△中，.
∴，.…………11分
设点到平面的距离为，
∵，
∴. ……………12分
即， 解得. ……………13分
∴点到平面的距离为. ……………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
（1） 解：∵当时，，
∴. ……………1分
∴. ……………2分
∵，，
∴. ……………3分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列.
∴. ……………4分
（2） 解：由（1）得：， ……………5分
∴
……………6分
……………7分
. ……………8分
（3）解：
……………9分

……………10分
. ……………11分
令，解得：. ……………13分
故满足条件的最大正整数的值为. ……………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
(1) 解法1：设椭圆的方程为,
依题意: 解得: ……………2分
∴ 椭圆的方程为. ……………3分
解法2：设椭圆的方程为，
根据椭圆的定义得，即， ……………1分
∵， ∴. ……………2分
∴ 椭圆的方程为. ……………3分
(2)解法1：设点,，则，
，
∵三点共线,
∴. ……………4分
∴,
化简得：. ① ……………5分
由,即得. ……………6分
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即. ② ……………7分
同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分
设点，由②③得：，
而，则 . ……………9分
代入②得 ， ……………10分
则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为
. ……………11分
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，
……………12分
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点. ……………13分
∴满足条件 的点有两个. ……………14分
解法2：设点,，，
由,即得. ……………4分
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即. ……………5分
∵， ∴ .
∵点在切线上, ∴. ① ……………6分
同理， . ② ……………7分
综合①、②得，点的坐标都满足方程 . ……8分
∵经过两点的直线是唯一的，
∴直线的方程为， ……………9分
∵点在直线上， ∴. ……………10分
∴点的轨迹方程为. ……………11分
若 ，则点在椭圆上，又在直线上，…12分
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点. ……………13分
∴满足条件 的点有两个. ……………14分
解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，得. ……………4分
设,则. ……………5分
由,即得. ……………6分
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即. ……………7分
∵， ∴.
同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分
由解得
∴. ……………10分
∵,
∴点在椭圆上. ……………11分
∴.
化简得.(*) ……………12分
由, ……………13分
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
（1）解：∵ ……………1分
∴. ……………2分
方程的判别式.
当时，，，
故函数在R上单调递减； ……………3分
当时，方程的两个实根为，
. ……………4分
则时，；时，；时，；
故函数的单调递减区间为和，
单调递增区间为. ……………5分
（2）解：存在，对于任意N，关于的方程在区间上有唯
一实数解，理由如下：
当时，，令，解得，
∴关于的方程有唯一实数解. ……………6分
当时，由，
得. ……………7分
若，则，
若，则, ……………8分
若且时，则, ……………9分
当时，,
当时，,
∴，故在上单调递减. ……………10分
∵， ………11分

. …………12分
∴方程在上有唯一实数解. ……………13分
当时，；当时，.
综上所述，对于任意N，关于的方程在区间上有唯一实数解.
∴. ……………14分

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